14.4.2用样本估计总体的离散程度参数
一、单选题
1．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平均数和方差公式计算即得解.
【详解】
解：设7个数为，
则，
，
所以，
所以，
则这个数的平均数为，
方差为．
故选：D．
2．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的有（ ）个
①乙的记忆能力优于甲 ②乙的观察能力优于创造能力
③甲的六大能力整体水平优于乙 ④甲的六大能力比乙较均衡
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据雷达图中的数据，利用均值和方差公式计算可得答案.
【详解】
甲的记忆能力指标值为5，乙的记忆能力指标值为4，所以甲的记忆能力优于乙，故①不正确；
乙的观察能力指标值为4，创造能力指标值为3，所以乙的观察能力优于创造能力，故②正确；
甲的六大能力指标值的平均值为，
乙的六大能力指标值的平均值为，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故③正确；
甲的六大能力指标值的方差为，
乙的六大能力指标值的方差为，
因为，所以甲的六大能力比乙较均衡，故④正确.
所以叙述正确的有②③④.
故选：C
3．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是8 B．这组数据的极差是4
C．这组数据的中位数是8 D．这组数据的方差是2
【答案】D
【解析】
【分析】
由平均数、中位数、极差、方差的概念计算后逐一判断
【详解】
对于A，平均数为，故A正确
对于B，极差为，故B正确，
对于C，数据排序后为，中位数为，故C正确，
对于D，方差为，故D错误，
故选：D
4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为，总体方差为
B．乙地：总体均值为，中位数为
C．丙地：总体均值为，总体方差大于
D．丁地：中位数为，总体方差为
【答案】A
【解析】
【分析】
根据均值，方差，中位数的概念分析四地疑似病例的情况，即可选出正确选项.
【详解】
对于A，假设至少有一天的疑似病例超过人，
此时方差，这与题设矛盾，所以假设不成立，故A正确；
对于B，平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过人，故B不正确；
对于C，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，
因此不能确定数据的波动大小，故C错误；
对于D，中位数为，总体方差为，如，
平均数为，
方差，
满足题意，但是存在大于的数，故D错误.
故选：A.
5．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（ ）
A．极差 B．平均数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平均数、极差、方差、标准差的定义直接求解．
【详解】
对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故不选A；
对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故选B；
对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，
即方差能反映样本数据的离散程度大小，故不选C；
对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故不选D．
故选：B．
6．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 30 2
乙 20 3
其中，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（ ）A．2.2 B．2.6 C．2.5 D．2.4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数和方差的计算性质即可计算.
【详解】
设甲、乙两班学生成绩分别为，甲班平均成绩为，乙班平均成绩为，因为甲、乙两班的平均成绩相等，所以甲、乙两班合在一起后平均成绩依然为，
因为，
同理，
∴甲、乙两班合在一起后的方差为：
.
故选：D.
7．如果数据x1，x2，…，xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（ ）
A．和s2 B．3+2和9s2
C．3+2和3s2 D．3+2和9s2+2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用均值、方差的性质求新数据的均值和方差.
【详解】
由题设，，，
故选：B
8．如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为和，标准差分别为和，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据图表得到答案.
【详解】
根据图表：样本数据均小于等于10，样本数据均大于等于10，故；
样本数据波动大于样本数据，故.
故选：B.
二、多选题
9．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（ ）
A．中位数为3，众数为5 B．中位数为3，极差为3
C．中位数为1，平均数为2 D．平均数为3，方差为2
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可
【详解】
对于A，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是3，则第4和5个为5，所以这5个数中一定没有出现6，所以A正确，
对于B，由于中位数为3，极差为3，所以这5个数可以是3，3，3，4，6，所以B错误，
对于C，由于中位数为1，平均数为2，所以这5个数可以是1，1，1，1，6，所以C错误，
对于D，由平均数为3，方差为2，可得，，若有一个数为6，取，则，，所以，所以这4个数可以是4，3，3，3或2，3，3，3，与 矛盾，所以，所以这5个数一定没有出现6点，所以D正确，
故选：AD
10．下列统计量中，能描述一组样本数据，，，…，的离散程度的是（ ）
A．这组样本数据的标准差 B．这组样本数据的中位数
C．这组样本数据的极差 D．这组样本数据的平均数
【答案】AC
【解析】
【分析】
理解平均数、中位数、标准差、极差的含义和意义即可
【详解】
对选项A，方差和标准差是用于测度数据离散程度的最常用测度值，故正确；
对选项B，中位数也就是选取中间的数，是一种衡量集中趋势的方法，故错误；
对选项C，极差指数据集中的最大值与最小值之差，能从一定程度上反映数据集的离散情况，故正确；
对选项D，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故错误.
故选：AC
三、填空题
11．若样本数据的方差为8，则数据的方差为________．
【答案】32
【解析】
【分析】
根据方差的性质计算即可.
【详解】
若样本数据的方差为8，则数据的方差为，
故答案为：32
12．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出各线城市方差所占的比例，然后利用方差的关系建立方程进行求解即可.
【详解】
设二线城市的房价的方差为，由题意可知
解得，
即二线城市房价的方差为.
故答案为：.
13．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.
由图判断从___________日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
【答案】5
【解析】
【分析】
结合方差越大，说明数据的波动性越大，然后根据图表即可判断.
【详解】
因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图可知从5日开始连续5，6，7三天的空气质量指数方差最大，
故答案为：5
14．甲 乙 丙 丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是___________.（填“甲”、“乙”、“丙”、“丁”中的一个）
【答案】丙
【解析】
【分析】
根据平均数和方差确定正确结论.
【详解】
首先乙、丙的平均数最高，
乙、丙两人中，丙的方差较小，
所以最佳人选是丙.
故答案为：丙14.4.2用样本估计总体的离散程度参数
一、单选题
1．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的有（ ）个
①乙的记忆能力优于甲 ②乙的观察能力优于创造能力
③甲的六大能力整体水平优于乙 ④甲的六大能力比乙较均衡
A．1 B．2 C．3 D．4
3．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是8 B．这组数据的极差是4
C．这组数据的中位数是8 D．这组数据的方差是2
4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为，总体方差为
B．乙地：总体均值为，中位数为
C．丙地：总体均值为，总体方差大于
D．丁地：中位数为，总体方差为
5．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（ ）
A．极差 B．平均数 C．方差 D．标准差
6．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 30 2
乙 20 3
其中，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（ ）A．2.2 B．2.6 C．2.5 D．2.4
7．如果数据x1，x2，…，xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（ ）
A．和s2 B．3+2和9s2
C．3+2和3s2 D．3+2和9s2+2
8．如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为和，标准差分别为和，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（ ）
A．中位数为3，众数为5 B．中位数为3，极差为3
C．中位数为1，平均数为2 D．平均数为3，方差为2
10．下列统计量中，能描述一组样本数据，，，…，的离散程度的是（ ）
A．这组样本数据的标准差 B．这组样本数据的中位数
C．这组样本数据的极差 D．这组样本数据的平均数
三、填空题
11．若样本数据的方差为8，则数据的方差为________．
12．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.
13．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.
由图判断从___________日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
14．甲 乙 丙 丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是___________.（填“甲”、“乙”、“丙”、“丁”中的一个）
