15.3互斥事件和独立事件
一、单选题
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D
【解析】
【分析】
按照试验进行分析得到A、B、C中的两个事件不互斥，而D中的事件互斥但不对立.
【详解】
对于A：至少有一个黑球与都是黑球，其中至少有一个黑球包含1个黑球和2个黑球，而都是黑球即为2个黑球，所以既不互斥，更不对立.故A错误；
对于B：至少有一个红球与都是红球，其中至少有一个红球包含1个红球和2个红球，而都是红球即为2个红球，所以既不互斥，更不对立.故B错误；
对于C：至少有一个黑球与至少有1个红球都包含1个黑球和1个红球这种情况，所以既不互斥，更不对立.故C错误；
对于D：恰有1个黑球即为1个黑球和1个红球，而恰有2个黑球为2个黑球，所以恰有1个黑球与恰有2个黑球为互斥事件，而基本事件还包括2个红球的情况，所以恰有1个黑球与恰有2个黑球不是对立事件.故D正确.
故选：D
2．设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1
B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1
C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
【答案】A
【解析】
【分析】
A.该选项正确；B. 事件A，B，C两两互斥，举例说明该选项错误；C. 若A和B互斥，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.
【详解】
A. 若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，所以该选项正确；
B. 事件A，B，C两两互斥，如 : 投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1点}，{向上的点数是2点}，{向上的点数是3点}，则A，B，C两两互斥，, P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以该选项错误；
C. 若A和B互斥，则，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；
D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.
故选：A
3．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.
【详解】
射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.
故选：B
4．一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用独立事件的乘法公式求三次都摸到篮球的概率，再应用对立事件的概率求法求至少摸到一次红球的概率.
【详解】
由题设，每次摸到红、篮球的概率均为，则三次都摸到篮球的概率为，
所以至少摸到一次红球的概率是.
故选：B
5．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
【答案】B
【解析】
【分析】
利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可
【详解】
解：因为， ，
又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
6．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少两次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现正面 B．至少2次出现正面
C．有2次或者3次出现反面 D．有2次或者3次出现正面
【答案】C
【解析】
【分析】
考虑硬币抛掷3次的结果的情况，利用对立事件的含义解答即可.
【详解】
连续抛掷一枚硬币3次，
结果可能是三次都是正面或两次正面一次反面或一次正面两次反面或三次反面，
故事件“至少两次出现正面”的对立事件是有2次或者3次出现反面，
故选：C
二、多选题
7．已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据事件的包含关系、相互独立 互斥事件概率计算方法计算即可.
【详解】
如果，那么，，故 A正确；
如果A与互斥，那么，，故 B正确；
如果A与相互独立，那么，，故C错误；
如果A与相互独立，那么，故 D正确；
故选：ABD
8．下列说法错误的是（ ）
A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为
B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为
C．若，为两个任意事件，则事件对立事件是事件，都发生
D．试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率
【答案】AD
【解析】
【分析】
由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.
【详解】
对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为，故A错；
对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有，6个基本事件，故由古典概型可知，故B正确；
对于C，和事件发生，就是，事件至少一个发生，它的对立事件就是，事件都不发生，即事件，都发生，故C正确；
对于D，试验次数足够多，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，不一定是事件发生的概率，故D错误.
故选：AD
9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
依题意可得、、为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到、、，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D；
【详解】
解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误；
∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、，
则，∴A、D正确，
故选：ABD.
10．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中
100 55 18 27
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
依题意事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，根据和事件和对立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：由题意可知，，，
事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，
所以，
，
，
故选：AC.
三、填空题
11．甲、乙、丙三人同解一道数学题目，三人解对的概率分别为，，，且三人解题互不影响，则三人均未解对的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据相互独立事件的概率计算公式，结合对立事件的概率计算，即可得答案.
【详解】
设甲、乙、丙三人解对数学题目分别为事件，，，则，，相互独立，
所以所求事件的概率为,
故答案为：
12．已知事件与事件是互斥事件，若事件与事件同时发生的概率记为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据互斥事件的概念即可得出结果.
【详解】
由事件A与事件B为互斥事件，得
故答案为：0
四、解答题
13．某高校的人学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目答对与否相互独立.
(1)求小明同学恰好答对1道题目的概率；
(2)若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接计算小明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率相加即可；
（2）分小明答对2道题目、3道题目、4道题目面试成功，依次计算概率，再相加即可.
(1)
设事件“小明同学恰好答对1道题目”，
所以.
(2)
设事件“小明同学面试成功”.若小明同学恰好答对2道题目面试成功，则必定答对了第3题和第4题，
则小明同学恰好答对2道题目面试成功的概率；
若小明同学恰好答对3道题目，则必定面试成功，则小明同学恰好答对3道题目面试成功的概率；
若小明同学答对4道题目，则必定面试成功，则答对4道题目面试成功的概率.
所以.
14．甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，成平局的概率为0.25，求：
（1）甲不输的概率；
（2）乙不输的概率.
【答案】（1）0.55；（2）0.7.
【解析】
【分析】
（1）利用互斥事件的概率加法公式即得；
（2）利用对立事件的概率计算公式即得.
【详解】
（1）甲不输即为甲胜或成平局，记甲胜为事件A，平局为事件B.
因为，所以A与B互斥，
则，
故甲不输的概率为0.55.
（2）因为甲胜即乙输，所以甲获胜与乙不输互为对立事件，
则乙不输的概率.15.3互斥事件和独立事件
一、单选题
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
2．设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1
B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1
C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
3．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．以上都不对
4．一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
6．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少两次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现正面 B．至少2次出现正面
C．有2次或者3次出现反面 D．有2次或者3次出现正面
二、多选题
7．已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
8．下列说法错误的是（ ）
A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为
B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为
C．若，为两个任意事件，则事件对立事件是事件，都发生
D．试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率
9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中
100 55 18 27
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
11．甲、乙、丙三人同解一道数学题目，三人解对的概率分别为，，，且三人解题互不影响，则三人均未解对的概率为______.
12．已知事件与事件是互斥事件，若事件与事件同时发生的概率记为，则_______．
四、解答题
13．某高校的人学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目答对与否相互独立.
(1)求小明同学恰好答对1道题目的概率；
(2)若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率.
14．甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，成平局的概率为0.25，求：
（1）甲不输的概率；
（2）乙不输的概率.
