第四章《一元一次方程》教案

第四章 一元一次方程
课标要求：
（1）能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）会解一元一次方程；（3）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
课时1 从问题到方程（1）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：学会用方程描述问题中数量之间的相等关系.
过程与方法：通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型.
情感、态度与价值观：初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值.
2.重、难点：理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程.
二、教材处理：
1.情景创设：
（1）天平称球（或硬币、铅笔等），见课本P114.
（2）排球联赛，某队胜多少场？见课本P114.……
建议根据实际情况，创设较多的与学生生活相关的实际问题，以激发学生学习兴趣.
2.学生活动、意义建构、数学理论：
用天平演示实验后，学生思考问题一：可以用什么方法解决这个问题？问题二：你是如何解决这个问题的？借助方程能否解，怎样解？
对排球队胜多少场的问题，学生思考问题一：猜一猜，该队胜了多少场？问题二：可以用什么方法解决这个问题？（尝试法；枚举法；列方程等）问题三：设该队胜了x场，能用方程来解吗？如何解？从而揭示课题——从问题到方程.
3.数学运用：
例1（补）：见教师教学参考资料“某校七年级共有216名师生参加某次活动，用一辆面包车和若干辆客车接送，已知这一辆面包车只能坐16人，还需用多少辆40座的客车？”
学生思考一：设用x辆40座的客车，则客车能接送多少人？
学生思考二：列方程，等量关系是什么？
师提供正确的解题格式“设还需用x辆40座的客车.根据题意，得40x+16=216”.
变式训练一：用四辆轿车和若干辆客车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆40座的客车？
变式训练二：用轿车和客车共9辆车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆轿车和多少辆40座的客车？……
思维拓展见课本P115试一试；也可补充题，见教师教学参考资料……
习题处理，见课本P115练一练1，2，3.学生说清每小题的等量关系式，而后师小结.
建议补充一些能借用一元一次方程来解的简单的实际问题，如行程问题、工程问题、形积问题、商品销售问题等，介绍一些名词，为后面的学习作一铺垫，但一定要控制难度.
4.回顾反思：
（1）本课只是要求教师帮助学生在现实情境中，通过对多种实际问题的分析，感受方程是作为刻画现实世界模型的重要意义，建立方程思想.为第3单元作铺垫，对本章知识的学习起到提纲挈领的作用.
（2）教学时，要在调动学生的积极性和激发他们的学习兴趣上下工夫.
课时2 从问题到方程（2）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：通过对具体实际生活问题的分析，进一步学会根据实际问题的意义设未知数并列出方程，了解一元一次方程的概念.
过程与方法：经历把实际问题抽象出数学问题的过程，体会方程是人们分析、解决实际问题的有效工具.
情感、态度与价值观：进一步领会方程与现实生活间的密切联系，感受数学建模思想的应用.
2.重、难点：分析问题，探寻等量关系列一元一次方程.
二、教材处理：
1.情景创设：
（1）列车提速问题，见课本P115.
生活背景：从1997年到2004年，我国共进行了5次列车提速.
（2）见教师教学参考资料手机通讯话费付费方式
2.学生活动、意义建构、数学理论：
结合问题情景，思考：解决这个问题的关键是什么？题中涉及哪些量？这些量之间的关系如何？你能找出表示问题意义的相等关系吗？用方程怎样表达？
方法一：用直接未知数.设甲、乙两城市间的路程为x km，相等关系：提速前的运行时间－提速后的运行时间=缩短时间.
方法二：用间接未知数.设提速前列车从甲地到乙地的运行时间为x 小时，相等关系：提速前的运行速度×运行时间=提速后的运行速度×运行时间，即80x=100（x－3）.
建议只让学生多一些方法，但不要讲的太多.
3.数学运用：
例1（补）：某班学生39人到公园划船，共租用9艘船，每艘大船可坐5人，每艘小船可坐3人，每艘船都坐满.问：大船、小船各租了多少艘？
教学时可以先让学生尝试和探索，然后交流.而后概括从实际问题到方程一般要经历的过程：找出表示问题意义的相等关系，设未知数（通常用x、y等），用含未知数的代数式表示题中相关的量，根据相等关系列方程.
思维拓展见课本P116试一试，P116练一练1.
习题见课本P117及教师教学参考资料等.
……
最后，学生观察所列方程的特点，归纳得出一元一次方程的概念，再举出几个类似的方程.建议结合导学与评价，补充练习.
4.回顾反思：
（1）把实际问题抽象为数学问题，再从数学问题到列出方程.关键在于弄清题意，恰当地巧设未知数，找出问题中的相等关系.
（2）设元设得巧，方程列得妙；设元设得好，方程列的得快.一般问什么则设什么，有时设未知的另一个量来求也较方便.
（3）解题时，找出问题中的相等关系，要深刻理解题意，把握题中隐含条件及内在联系（如题中等量关系语句、量与量之间的关系）.
（4）学有余力的同学鼓励其解方程（小学根据逆运算原理），对一般同学不作要求.
课时3 解一元一次方程（等式的基本性质）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：了解与一元一次方程有关的概念，掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
过程与方法：经历数值代入计算的过程，领会方程的解和解方程的意义.知道求方程的解就是将方程变形为x=a的形式.
情感、态度与价值观：强调检验的重要性，养成检验反思的好习惯.
2.重、难点：比较方程的解和解方程的异同；归纳等式的性质；利用性质解方程.
二、教材处理：
1.情景创设：
（1）见课本P118“如何解2 x＋1=5”.通过填表尝试，即采用枚举这一合情推理的方法找出满足方程的未知数的值，得出方程的解和解方程的概念.
（2）见华东师大版七（下）P4由用天平测物，联想到等式的几种变形.探索得出：如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以看到天平依然平衡，得x＋2=5→x=5－2，3x=2x＋2→3x－2x=2；如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡，得2x=6→ x=6÷2.学生归纳等式的性质.
2.学生活动、意义建构、数学理论：
出示问题情景（1）后，学生考虑：怎样求方程中的未知数的值？分别将1、2、3、4、5代入方程，哪一个值能使方程成立？
学生做课本P118试一试，教师讲授方程的解和解方程的概念.
引入问题情景（2）后，鼓励学生说出各自不同的想法，相互交流、补充，逐步引导启发学生归纳等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式. 等式的性质比较抽象，教学时不必在理论上作过多的展开，重在问题情景②探索的过程，可多举例讨论.
3.数学运用：
处理完问题情景（1）（2），学生阅读课本P118—119，进一步熟悉学习内容，思考：比较方程的解和解方程的异同？（方程的解是使方程成立的未知数的值；解方程是求方程解的过程，是一个等价变形过程，而求方程的解就是将方程变形为x=a的形式）.
出示例1 解下列方程：（1）x＋5=2；（2）－2x=4.
引导学生自己尝试运用等式的基本性质解方程，说清楚每一步的依据，交流解题方法.教师提供正确的解题格式.强调检验方法及检验的必要性.
习题训练：（1）以下变形是否正确？（2）说明变形的依据？（3）解方程，如课本P120练一练1，教师教学参考资料例题等.
思维拓展：（1）求作一个方程，使它的解为－1；（2）简单应用题如课本P120练一练2.
4.回顾反思：
（1）小学阶段利用加减法、乘除法互为逆运算的方法解方程，学生印象深刻，教学时鼓励学生运用等式的性质来求，但不强求.
（2）解方程后，虽不要书面检验，但要求学生培养检验反思的好习惯.
（3）注意等式的性质中的“都”和“同”：“都”表示两边均要变形，“同”表示两边要作一样的变形.
（4）简单介绍等式的另两条性质：对称性与传递性.
课时4 解一元一次方程（移项）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：会应用移项、合并同类项法则解一些简单的一元一次方程.
过程与方法：通过具体的实例感知、归纳移项法则，进一步探索方程的解法.
情感、态度与价值观：进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想.
2.重、难点：移项法则的归纳与应用.
二、教材处理：
1.情景创设：
开门见山，专题训练.解方程（写出解答过程中的第一步）：
（1）x＋2=7→ ；（2）3＋2x=1＋x→ ；
（3）－x＋3=－2→ ；（4）2x－3=1→　　　　　　　　；
（5）－2x＋9=－5→　　　　　　；（6）3＋4x=1－2x→ .
2.学生活动、意义建构、数学理论：
结合上面问题与课本P120例2，P121例3，让学生尝试解答，讨论辨析，观察方程的变形，并叙述这种变形规律，得出移项法则.
3.数学运用：
课本P120例2，P121例3的教学处理：先让学生自主探求，师发问：解方程4x－15=9时，能否直接把等式左边的－15改变符号移到等式右边？方程4x－15=9与4x=9＋15的差别在哪儿？解方程2x=5 x－21时，能否直接把等式右边的5 x改变符号移到等式左边？为什么？
指导学生在例2、例3解方程的过程中发现规律，结合两例课本云图说明及卡通人的介绍，引出这种方程的变形是移项.学生自主总结出移项法则——移项要变号. 牢记：从等式左边移到等式右边的项要变号；从等式右边移到等式左边的项也要变号.“叛变”了嘛！
建议补充什么是多项式的项，未知项，常数项？
用移项法解方程须注意：
（1）目标明确，解方程目标是把方程变形为x=a的形式；
（2）移项时，要移谁，移到哪？
（3）怎样移项？方法一是利用加、减法互逆运算这一关系；方法二是利用等式的性质；方法三是移项法则.
用课本P121例4来进一步熟悉移项法则在解方程中的运用.注意解题步骤的规范化.
习题训练：（1）以下移项变形是否正确？（2）解方程，如课本P122练一练1，2等.
思维拓展，解简单的应用题，如课本P122练一练3或补充一些题.
4.回顾反思：
（1）学生从利用逆运算解方程到用移项法则解方程要有个过程，不宜操之过急.在移项时，学生常犯的错误是忘记变号，这主要是学生不熟悉移项法则，要对照等式的性质逐渐来理解.
（2）解例题时要不拘泥于课本上的解法，追求解题策略的多样化.另外，注意解题格式的规范化和检验的必要性.
（3）合并同类项法则学生可能已淡忘，适时进行整式的加减法的专项训练.教训：不要求学生“－x＋2x=（－1＋2）x=1x=x”谨小慎微，步子小了，也会拌自己的脚.
（4）以练促讲，以练代讲.当堂检测，即时反馈.
课时5 解一元一次方程（去括号）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：会应用去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解一些简单的一元一次方程.
过程与方法：经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形的依据.
情感、态度与价值观：初步掌握解方程的一般步骤，培养学生的概括能力和耐心、细致的学习态度..
2.重、难点：去括号法则在解方程中的熟练应用.
二、教材处理：
1.情景创设：
（1）小明说：“我姐姐今年的年龄是我去年的年龄的2倍少6，”已知姐姐今年20岁，问小明今年几岁？
（2）见教师教学参考资料，即课本P116试一试.
2.学生活动、意义建构、数学理论：
学生分析：情景（1）是配平问题.若取小明今年为x岁，则依据下面的等量关系式列方程：姐姐今年的年龄=小明去年年龄的2倍－6.
得2（x－1）－6=20.
情景（2）得方程：x＋2（30－x ）=50.
师提出问题，如何解方程？用上节课的知识能不能求解？有什么困难？如何去掉这个方程中的括号？谈谈你的想法.
学生讨论，教师把话题引到课本较为简单的例5上（见下面数学运用），引出去括号.
3.数学运用：
学生讨论：解方程P122例5 －3（x＋1）=9
教师充分让学生活动起来，畅所欲言，说出如何变形为x=a的形式.
（生：利用乘除法互为逆运算；利用等式的基本性质；利用乘法分配律；利用去括号的方法等等）
前两种方法实际上是把x＋1看作一个整体；后两种方法只是整理方程的左边，实则去括号.
师生一道解方程例5、情景问题（1）、（2）.总结：根据乘法分配律和去括号法则（括号前面是“＋”号，把“＋”号和括号去掉，括号内各项都不改变符号；括号前面是“－”号，把“－”号和括号去掉，括号内各项都改变符号）去括号时要注意：（1）不要漏乘括号内的任何一项；（2）若括号前面是“－”号，，记住去括号后括号内各项都变号.
习题训练：解方程，如课本P122练一练1，P113练一练2等.
思维拓展，解简单的应用题，如课本P123练一练3或补充一些题，如含小括号、中括号、大括号的方程（这方面课本安排几乎没有，只限浅显问题，教师不必深究）.
4.回顾反思：
（1）注意解法的灵活性，不要过分强求学生按固定格式来解，可适当引导学生找出较好的解题方法和书写过程.
（2）学生去括号时错误之处：数字系数漏乘某一项；乘后各项符号的确定不准确.
（3）系数化为1时，注意不要和移项搞混，建议整数和小数系数可用除法，分数系数可改用乘法.
课时6 解一元一次方程（去分母）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：知道解一元一次方程的一般步骤，能灵活运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等五大步骤解一元一次方程.
过程与方法：巩固方程解法，经历求解过程，能体会到解法应根据具体方程本身特点而定.
情感、态度与价值观：体会化归思想——把复杂变简单，将未知变已知的作用，体会数学的应用价值.
2.重、难点：利用“去分母”将方程作变形处理.
二、教材处理：
1.情景创设：
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯，请告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？” 毕达哥拉斯回答说：“我的学生，现在有在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外，还有三名妇女.”算一算：毕达哥拉斯的学生有多少名？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
由情景问题入手，引导学生审清题意，根据等量关系：学生总数的＋学生总数的＋学生总数的＋3＝学生总数列出方程.即设毕达哥拉斯的学生有x名，由题意得x/2＋x/4＋x/7＋3＝x.
学生独立思考问题，尝试解方程，交流自己的解法，相互加以比较.
（生：①先移项再合并同类项；②先合并同类项后移项；③两边同时乘以28，56，84……）
学生比较上述方法，判断选择，引入——去分母.
3.数学运用：
结合情景问题的解法，师生互动处理课本P123例7、例8.
反馈矫正学生出现的问题，让学生展开讨论，发现解答时出错之处.
去分母时须注意：（1）确定各分母的最小公倍数；（2）不要漏乘没有分母的项；（3）分数线有括号作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体.建议进行专项训练，如，－乘以6，8……
概括解一元一次方程一般步骤，强调变形时各步易出现错误的内容.
习题练习：见课本P124练一练1，2，3
思维拓展：见课本P124议一议－=3；又如－=1
（提示：分子、分母是小数、分数的可以首先利用分数的基本性质将其化为整数系数，然后再解方程.）
4.回顾反思：
（1）回顾去分母注意事项，见上面数学运用.（2）本课时蕴涵的数学思想方法主要是化归思想.解方程的过程就是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、（未知数）系数化为1等步骤，把一个一元一次方程逐步转化为x=a的形式.这是一个等量变形的过程，也是一个化归的过程.（3）具体解方程时，可根据具体情况，有些步骤可能用不上；有些步骤可以前后顺序颠倒；有时还可以省略一些步骤，以使运算简化.
课时7 用方程解决问题（配料问题）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：大致了解用方程解决问题的一般步骤和方法，明确其关键是找出能表示实际问题全部含义的相等关系.
过程与方法：经历活动和思考、交流与讨论、分析解决问题等过程，体会数学的应用价值.
情感、态度与价值观：经历“问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，感悟数学建模思想.
2.重、难点：寻找等量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
冰淇淋配料问题，见课本P126.
2.学生活动、意义建构、数学理论：
借用课本中两个卡通人的对话，学生思考：（1）如果用算术解法你能解出结果吗？如何求？（2）若用方程求解，如何设未知数？等量关系式是什么？（3）如果在三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料比是2∶3∶5，那么如何设未知数？
学生在教师指导下完成问题，了解解法步骤：理解题意，找出一个能表示实际问题全部含义的相等关系，分析解答过程，设未知数，再根据相等关系列出方程，解这个方程，并写出答案.在设未知数和作出解答时，应注意量的单位.
3.数学运用：
课本P127问题1：
分析：根据题中关键语句“做这批桌子，恰好用去木材3.8m3”，得相等关系：做桌面的木材＋做桌腿的木材=3.8m3.设共做了x张桌子，做桌面的木材需0.03x m3，做桌腿的木材需4×0.002x m3，方程为0.03x＋4×0.002x=3.8……学生自主解决问题.
习题练习：课本P128练一练1，2；再举例如螺母螺栓、盒身底盖、人员调配问题等.
思维拓展：数学实验室（月历问题），下图提供2005年11月的月历表
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30
问题（1）（2）见课本P128；
（3）根据“数学实验室”中的游戏，请你再编一个游戏，并列出方程求解. 如：
①某列3个数的和为54，这3个数是几？和能为56吗？
②月历中能有2×2矩形方块中的4个数之和为80吗？若有，这四个数之间有什么样的关系？
4.回顾反思：
（1）进一步熟悉解一元一次方程的方法步骤；
（2）弄清楚用一元一次方程解决问题的关键；
（3）根据学生情况，适当补充安排较多类型的问题.如课本P129练一练3，4和教师教学参考资料补充例题.
课时8 用方程解决问题（表格建模）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：能利用表格作为建模策略，分析实际问题中的数量关系列方程解决问题.
过程与方法：进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力.
情感、态度与价值观：综合运用已有知识，在探索和解决问题的过程中获得体验，发展自己的思维能力.
2.重、难点：表格设计，用表格分析题中的数量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
广东宏远队的朱芳雨是中国男篮的主力前锋.在一场洲际杯比赛中，他一人独得23分（不含罚球得分）.已知他投进3分球比2分球少4个，他一共投进了几个3分球和几个2分球？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
学生分析：题中涉及哪几个量？（投中3分球和2分球的个数关系，得分）；相等关系是什么？（3分球的得分＋2分球的得分=23）
3分球 2分球
个数 x
得分
教师提示，师生建构表格，学生填写.
根据表格和相等关系列出方程：
3x＋2（x＋4）=23.
……
学生在问题情景中初步体验用表格建模策略分析问题各量间的相互关系，列表格是解决问题的一个重要手段.
3.数学运用：
课本P129问题2.
价格（元/kg） 质量/kg 总金额/元
苹果 3.2
橘子 2.6
学生仔细审题（齐读或精读后能复述题意）思考：（1）指出问题中的数、数量、已知数量和未知数量；（2）表格可以怎样设计？（3）设小丽买了xkg苹果，如何用表格分析问题中的数量关系？列出方程是什么？
思维拓展：本题还有没有其它解法？
（如：设小丽买了xkg橘子；设小丽买了x元苹果；设小丽买了x元橘子）
教师小结，让学生体会用方程解决问题时，设未知数的方法不同，方程的复杂程度也常常不同，因此要有所选择.
习题练习：见课本P130练一练2，3或安排其它.
4.回顾反思：
（1）解方程，读懂题意是解决问题的前提，审题不要留于形式，“磨刀不误砍材工”.
（2）所谓解题建模策略，是帮助学生理解题意，找清楚各量间的关系的一种方法，一种策略，一种途径，一个手段，不要过多地加大对解题策略（列表格）的分析、构建，这不应成为解方程的新的难点.学习时，可用列表格法表示问题的数量关系，列出代数式，帮助理清思路，找准等量关系列方程.
课时9 用方程解决问题（示意图建模）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：能利用示意图作为建模策略，分析实际问题中的等量关系列方程解决问题.
过程与方法：经历用方程解决实际问题的过程，提高应用数学的意识.
情感、态度与价值观：进一步体会建构方程模型的作用，培养抽象、概括、分析问题的能力的勇于克服困难的意志.
2.重、难点：示意图的构建和分析.
二、教材处理：
1.情景创设：
简介“中国结”的文化内涵：见教师教学参考资料“课程资源”.
问题情景，见课本P130.
2.学生活动、意义建构、数学理论：
呈现问题后，教师点拨：（1）直接分析：题中两个条件分别交代了计划做“中国结”总数可用含小组成员数（设x）的两个代数式来表示，得方程 5x－9=4x＋15；（2）借助示意图分析相等关系.结合课本示意图，学生
思考：根据问题中的第（2）个条件，这个
小组计划做的中国结多少个？怎样在示意图
上表示？你能根据示意图中线段和或差写出
相等关系吗？并根据相等关系列出方程吗？你能列出几个不同的方程，不妨与同学交流一下.（5x－4x =9＋15；5x－9－15=4x；5x=4x＋15＋9等）
示意图通常可以画成直线图或环形图等，用线段的长或曲线的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线的长度关系列出方程.行程类问题中的数量关系多数可以用示意图来表达.
3.数学运用：
例：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步.已知环形跑道一圈长400m，乙每秒中跑6m，甲每秒中跑8m.（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8m处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲在乙前面8m处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
安排构思：补充环形示意图和线形示意图的作用，为下节课学习作一准备.
分析：第（1）问是相遇问题，相等关系为：甲的行程＋乙的行程=环形跑道一圈长－8m；第（1）问是追及问题，相等关系为：甲的行程=乙的行程＋相差距离（400一8）m..
教师可以指导学生利用环形示意图
和线形示意图来帮助理清相等关系.
习题见课本P131练一练1，2，3，4.
思维拓展：情景问题若设计划做x个中国结，能不能解决？
课本习题可提高要求，一题多解，变式训练.
4.回顾反思：
（1）利用示意图进行分析是继列表格法之后解决问题的又一个重要手段，示意图帮助我们分析各个量之间的相互关系的一种有效的工具.教学时，可多找一些实例去分析，让学生切身体会示意图的作用.
（2）教学时，多让学生去探索、讨论、交流，来感悟画示意图帮助分析问题、解决问题.
课时10 用方程解决问题（行程问题）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：能利用示意图和列表格作为建模策略，分析行程问题中的等量关系列方程.
过程与方法：经历和体验运用方程解决实际问题的过程，提高分析问题、解决问题的能力.
情感、态度与价值观：培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的经验，激发学生的学习热情.
2.重、难点：借助示意图和列表格分析问题，建立等量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
题中的相等关系是：我军追击的距离＋1km=敌人逃跑的距离＋25km. 问题情景涉及一个常见的数量关系：路程=速度×时间.
设战斗是在开始追击后x小时发生的，列表分析：
速度（km/h） 时间（h） 路程（km）
我军 5 x
敌军 8
线形示意图略.
列方程得5x＋25=8x＋1.
3.数学运用：
例题见课本P132问题4.
学生利用所学知识自己尝试分析，教师提示：这个问题可以用列表和画示意图的方法来分析，试试看.你借助分析过程能得出问题的相等关系吗？根据相等关系如何列方程，把你的想法与大家交流.
议一议：如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，几分钟后小红再次与爷爷相遇？
学生熟悉用表格和线形示意图分析解决.
思维拓展：问题设计：请结合下面的方程，自编一个情景应用题，并与同伴交流.
2x×3＋3x=400.（模仿课本，如运动场跑道周长400m，哥哥和弟弟从同一起点沿跑道的相反方向出发，3min后他们第一次相遇，如果哥哥跑步的速度是弟弟的2倍，你知道他们跑步的速度吗？
设计问题：甲、乙两地相距460km，A、B两车分别从甲、乙两地开出.A车速度为60km/h，B车速度为80km/h.请同学们展开想象，提出问题，看一看，谁的问题更有新意？
习题：见课本P133练一练1，2.
4.回顾反思：
（1）课时结构构思：呈现问题情景——学生尝试解决问题，引导相关经验和认知的冲突——教师引导，学生合作探究——教师组织学生交流学习过程，达成深层理解——呈现新问题，思维拓展，促进知识的应用与整合.
（2）行程问题中三个量的关系学生印象深刻，分析问题重在理顺三者的内在关系，抓住其中的一条线索路程（或时间或速度）找相等关系，这是解题的关键.
课时11 用方程解决问题（工程问题）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：理解工程类问题中工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，尝试用一元一次方程解决有关工程类问题.
过程与方法：经历对实际问题具体分析、抽象的过程，进一步熟悉解决问题的策略.
情感、态度与价值观：体验知识之间的内在联系，获得研究问题的方法和经验，发展思维能力.
2.重、难点：分析工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，寻求问题中的相等关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
课本P133问题5 将一批会计报表输入电脑，甲单独做需20h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做4h，剩下的部分由甲、乙合作完成，甲、乙两人合做的时间是多少？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
教师点拨：工程类问题涉及三个量之间的关系——工作量、工作时间、工作效率，其中工作量=工作时间×工作效率.
学生分析情景问题，明确这个问题中的相等关系：全部工作量=甲单独做的工作量＋甲、乙合作的工作量.如果把全部工作量看作单位1，则甲单独做的工作量为×4，甲、乙合作的工作量为（＋）×问题要求的工作时间.
参考课本借助表格和圆形示意图（略）分析.
全部工作量 甲单独做的工作量 甲、乙合作的工作量
1
3.数学运用：
例题：学校需制作若干块标志牌，请来师徒2名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，请对上述情境提出一个问题？试一试并给予解答，必要时可对情境作适当补充看看谁的问题更有创意.
学生思考、交流.
（①两人合作需几天完成？②师傅先单独做2天，剩下的由徒弟单独做，还需几天完成？③师傅先单独做2天，剩下的由师徒俩共同做，还需几天完成？……）
思维拓展一：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
学生尝试解答这一问题，并与同学们一起交流各自的做法.
思维拓展二：解决课本P134试一试.
习题练习：见课本P135练一练1，2.建议教学时先补充一些关于工程类实际应用问题.
4.回顾反思：
（1）在解决实际问题时，经常画出“表格、示意图”这样的图形帮助寻找等量关系，从而很好的解决问题.表格和示意图是挖掘题中的等量关系的常用方法.学习时，既要学会将文字语言转化为图形语言、符号语言，也要学会将图形语言、符号语言转化为文字语言.通过前几课时的学习，要综合全面的考虑问题，巧借表格、线形示意图、圆形示意图等分析题意，学会比较区别各种方法的优劣，并能加以合理运用.
（2）及时总结各类题型所要常用的基本数量关系.
课时12 用方程解决问题（商品销售问题）
一、教材分析：
1.学习目标：
知识与技能：理解商品销售中的进价、标价、折扣率、利润（率）、售价等概念及其之间的关系.能根据利润=实际售价一进价等数量关系列一元一次方程求解.
过程与方法：进一步体会方程模型的作用，，总结运用方程解决实际问题的一般方法，提高应用数学的意识.
情感、态度与价值观：通过商品销售的学习，使学生认识到数学的应用价值，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.
2.重、难点：理清标价、折扣率、利润（率）、售价等数量之间的关系，找准等量关系.
二、教材处理：
1.情景创设：
某商场在销售一种皮装时，为了吸引顾客，先按进价的150%标价，再按标价的8折（标价的80%）出售，结果每件皮装仍获利160元，问这种皮装的进价为每件多少元？
2.学生活动、意义建构、数学理论：
分析：本题含有明显的等量关系是利润=售价－进价.
学生思考：设这种皮装的进价为每件x元，则标价应是 元，售价为 元，列方程是 .
解：设这种皮装的进价为每件x元，根据题意得x×150%×80%－x=160；
解这个方程得x=800.
答：略.
学生自读课本P135问题6，比较与情景问题的区别、联系.进一步理解示意图的作用.
3.数学运用：
例：某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价是多少？（0.75x＋25=0.9x－20，x=300）
学生独立思考，解决问题.
习题练习：见课本P136练一练1，2. P137 14，P138 15.
思维拓展：见课本P136试一试.
4.回顾反思：
应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系（仅作参考）
（1）等积类：变形前的体积（容积）=变形后的体积（容积）；
（2）调配类：注意调配前的数量关系，调配后的数量关系；
（3）利息类：本息和=本金＋税后利息，税后利息=本金×利率×80%；
（4）商品销售类：利润率=利润/进价，利润=售价－进价；
（5）工程类：工作量=工作时间×工作效率；
（6）行程类：路程=速度×时间①相遇问题：总路程=甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：追者走的路程=前者走的路程＋两地间的路程；②环形跑道问题：“同时同地同向出发：快的多跑一圈才能追上慢的；同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.”③航行问题：顺水速度=静水速度＋水速；逆水速度=静水速度－水速；顺水速度－逆水速度=2×风速；
（7）比例类：若甲、乙的比是3:5，可设甲为3x，乙为5x；
（8）数字类：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为：100a＋10b＋c.
9个
5x个
计划做“中国结”的个数