24.1.1圆的有关性质（2） 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
24.1.1圆的有关性质（2）
人教版九年级上册
知识回顾
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
1.圆的定义
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
2.弦的定义
3.弧的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧.
教学目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
新知导入
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？
新知探究
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
●O
不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
新知探究
例 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
新知探究
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意
一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′,
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD，∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，
在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
新知探究
如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
)
(
(
(
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．
(
(
(
(
·
O
A
B
D
E
C
新知小结
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，
(
(
AC =BC，
(
(
AD =BD.
推导格式：
新知探究
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
新知探究
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；
②垂直于弦；
③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的优弧 ；
⑤平分弦所对的劣弧.
在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，可以推出其他三个结论吗？
A
B
O
C
D
E
新知探究
问题2：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
（2）根据图形对称性可得AC =BC， AD =BD.
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解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
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⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
已知条件“知二”
∵CD为直接 ∴已知①过圆心 ；
∵AE=BE ∴已知③平分弦（非直径）；
结论“推三”：
CD⊥AB（②垂直于弦）
AC=BC（④平分弦所对的优弧 ）
AD=BD（⑤平分弦所对的劣弧）
新知探究
问题2：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
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·
O
A
B
C
D
E
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当弦AB为直径时，相关结论还成立吗？
·
O
A
B
C
D
新知小结
“不是直径”这个条件不能去掉，因为当AB、CD互相平分且是直径时，虽然“知二”，但AB不一定垂直CD。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
新知典例
赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
例1
新知探究
解：
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
(
(
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
(
连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
(
由题设可知AB=37，CD=7.23，
所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
新知探究
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
新知小结
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
A
B
C
D
O
h
r
d
新知典例
如图，D，E分别为 的中点，DE交AB，AC于点M，N.求证：AM＝AN.
F
G
证明：连接OD，OE分别交AB，AC于点F，G.
∵D，E分别为 的中点，（知二）
∴∠DFM＝∠EGN＝90°（推三）.
例2
∵OD＝OE,
∴∠D＝∠E,
∴∠DMB＝∠ENC,
∵∠DMB＝∠AMN, ∠ENC＝∠ANM,
∴∠AMN＝∠ANM,
∴∠AM＝∠AN.
新知练习
1.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
A
解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB= ×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
新知练习
2．已知弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为 cm.
3．如图，AB为⊙O的直径，E是 的中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝____．
8
新知练习
4．如图，⊙O中弦CD交半径OE于点A，交半径OF于点B，若OA＝OB，
求证：AC＝BD.
证明：过点O作OG⊥CD于点G.
∵OG过圆心，
∴CG＝DG.
∵OA＝OB.
∴AG＝BG，
∴CG－AG＝DG－BG，
∴AC＝BD.
G
课堂总结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂练习
（2018 安顺中考）已知圆O的直径CD=10 cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD ，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为( )
A.2cm B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2 cm或4 cm
解：连接AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB= ×8=4(cm)，OD=OC=5cm，
当C点位置如图(1)所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3(cm)，
∴CM=OC+OM=5+3=8(cm)，
∴AC= =4(cm)；
课堂练习
（2018 绥化中考）如图，下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升 cm.
10或70
解：设圆心为O，下雨前水面与圆交于A，B两点，
过点O作OC⊥AB于C，连接OB ，如图所示，
由垂径定理得：BC=AB=30(cm)，
在Rt△OBC中，OC==40(cm)，
当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，设水面为，
与OC交于C′，连接，则OC′= =30(cm)，
水面上升的高度为40-30=10(cm)；
当水位上升到圆心以上时，设水面为，过点O作OE⊥于E，连接O，则OE==30(cm)，所以水面上升的高度为40+30=70(cm)，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
课堂练习
已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.
解：分两种情况进行讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，
过O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA，
∵ AB//CD，∴ OE⊥AB，
∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2 cm.
图1
课堂练习
已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.
2或14
解：②当弦AB和CD在圆心异侧时，过O作OE⊥CD，交CD于点E，
延长EO交AB于点F，连接OC，OA，如图2所示，
∵ AB//CD，∴ OF⊥AB，
∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=8cm，OF=6cm，∴EF=OF+OE=14cm；
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm．
图2
课堂练习
如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx-3k+4与圆O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为 .
24
解：∵直线y=kx-3k+4必过点(3，4)（设为点D），
∴连接OD，OB，当OD⊥BC时，BC最短，如图所示，
∵点D的坐标是(3，4)，∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，
∴圆O的半径为13，∴OB=13，∴OB =BD +OD ，
∴BD==12，
∴弦BC的长的最小值为24.
谢谢
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