涪陵区第二高级中学校2024届高三上学期开学考试
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A. B. C. D.
3. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）
A. 9 B. C. D.
5．已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的解集是
6. 已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设函数，若是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题
9. 当时，幂函数的图像在直线的下方，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A. 图象关于直线对称 B.
C. 的最小正周期为4 D. 对任意都有
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 函数的减区间是
12. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________.
14. 若函数满足，则__________.
15. 已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是_______.
已知函数，的最大值为M，最小值为m，则______.
解答题
17. （本题满分10分）计算：（1）
（2）
18. （本题满分12分）已知集合，．
（1）若，求m的取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．
19.（本题满分12分）
已知函数
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
20.（本小题满分12分） 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某机构从某地区抽取了500名近期购买新能源汽车的车主，调查他们的年龄情况，其中购买甲车型的有200人.
（1）将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青年人数与中年人数之比为.完成下列列联表，依据的独立性检验，能否认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关？
青年 中年 合计
甲车型
其他车型
合计
（2）用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中随机抽取4人，记青年有人，求的分布列和数学期望.
附：.
2.706 3.841 6.635 7.879
21.（本题满分12分） 已知函数．
（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若，
①判断函数的奇偶性，并证明；
②若恒成立，求实数k的取值范围．
22.（本题12分） 已知函数，.
（1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围.涪陵区第二高级中学校2024届高三上学期开学考试
数学试卷 答案解析
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合，再求交集即可.
【详解】由得，故，
所以，又，
所以．
故选：B．
2. 下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性与单调性的概念判断即可.
【详解】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；
对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B
3. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）
A. 9 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.
【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，
即，于是，又，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16.
故选：C
5．已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的解集是
6. 已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数两段都是减函数，以及端点处函数值的关系可得答案．
【详解】因为是上的单调递减函数，
所以，解得．
故选：C．
7. 设函数，若是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性求出，得到函数的解析式，根据解析式求函数值即可.
【详解】由已知可得，
则．因为是奇函数，
所以，
因为，解得，所以，
所以.
故选：D．
8. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.
【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，
∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将问题转化为与的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的个数.
二、多选题
9. 当时，幂函数的图像在直线的下方，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
转化为当时，恒成立，可得，由此可得解.
【详解】根据题意得当时，，可知，
故选：AB
10. 已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A. 图象关于直线对称 B.
C. 的最小正周期为4 D. 对任意都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.
【详解】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 函数的减区间是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域可判断A，根据指数函数图象和性质判断B，根据函数图象的平移变换判断C，根据对数函数的图象和性质判断出D即可．
【详解】选项A，函数的定义域为，由，解得，
所以函数的定义域为，故选项A正确
选项B，，因为，所以由指数函数的单调性可得，
所以当时函数取得的最小值为，故选项B不正确
选项C，因为的对称中心为，将函数的图象向左平移个单位，
再向上平移个单位得到，对称中心为，故选项C正确；
选项D，为开口向上的二次函数，且时，解得或，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
结合对数函数的单调性可知函数的减区间是，故选项D错误；
故选：AC
12. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式和不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据基本不等式可知，则，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；
因，，变形得，
所以
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，故B错误；
由，，，所以，即，故C正确；
由，可得，
根据前面分析得，即，所以，即，故D正确．
故选：ACD
三、填空题
13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________.
【解题思路】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
【解答过程】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
14. 若函数满足，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据，分别令，求解.
【详解】因为，
令可得：，①
令可得：，②
联立①②可得：，
故答案为：1.
15. 已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇偶性及单调性将原命题等价转化为，从而解该不等式组即可求得正解.
【详解】由已知可得原不等式等价于，结合单调性可得．
故答案为：
已知函数，的最大值为M，最小值为m，则______.
解答题
17. （本题满分10分）计算：（1）
（2）
【答案】4，,11/2
（1）
.
（2）原式
.
18. （本题满分12分）已知集合，．
（1）若，求m的取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，由得到，得到不等式组，求出m的取值范围；（2）根据充分不必要条件得到是的真子集，分与两种情况进行求解，求得m的取值范围.
【小问1详解】
，解得：，故，
因为，所以，
故，解得：，
所以m的取值范围是.
小问2详解】
若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
则是的真子集，
当时，，解得：，
当时，需要满足：或，
解得：
综上：m的取值范围是
19.（本题满分12分）
已知函数
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【解析】（1），，
因函数在上单调递增，
所以在恒成立，即，
的最小值为．
（2）与有且只有一个交点，
即只有一个根，
只有一个根，
20.（本小题满分12分） 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某机构从某地区抽取了500名近期购买新能源汽车的车主，调查他们的年龄情况，其中购买甲车型的有200人.
（1）将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青年人数与中年人数之比为.完成下列列联表，依据的独立性检验，能否认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关？
青年 中年 合计
甲车型
其他车型
合计
（2）用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中随机抽取4人，记青年有人，求的分布列和数学期望.
附：.
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）有的把握认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关.
（2）分布列见解析, .
【解析】
【分析】（1）根据分布列和已知条件求出购买甲车型和其他车型的青年、中年人数，可得列联表，然后计算卡方，查表可作出判断；
（2）先计算各层所抽取人数，然后由超几何分布概率公式求概率可得分布列，再根据期望公式可解.
【小问1详解】
由直方图可知，购买甲车型的青年人数为人，中年人数为人，
购买其他车型的青年人数为人，中年人数为人，
于是的列联表：
青年 中年 合计
甲车型 125 75 200
其他车型 225 75 300
合计 350 150 500
因为，
所以，有的把握认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关.
【小问2详解】
用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，
则青年有人，中年有人，所以的可能取值为1,2,3,4.
，，
，，
所以的分布列为：
X 1 2 3 4
P
所以.
21.（本题满分12分） 已知函数．
（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若，
①判断函数的奇偶性，并证明；
②若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）函数是上的增函数，证明见详解；
（2）①函数为奇函数，证明见详解；②
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可.
（2）当时，①，直接利用函数奇偶性的定义判断；
②利用函数是奇函数，将，转化为，再利用是上的单调增函数求解.
【小问1详解】
函数是增函数，定义域：，
任取，不妨设 ，
，
，
∵，
∴.
又，
∴，
即，
∴函数是上的增函数.
【小问2详解】
当时，
①，定义域为，关于原点对称，
，
∴函数是定义域内的奇函数.
②等价于
，
∵是上的单调增函数，
∴，即恒成立，
∴，
解得.
22.（本题12分） 已知函数，.
（1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）2 （2）[ ， +∞）
【解析】
【分析】（1）分别求得和，根据，列出方程，即可求解；
（2）将不等式变形转化为，构造函数，，利用导数求得函数单调性和最值，即可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
依题意，，，
则，，
因为在点,处的切线与在点,处的切线互相平行，
所以，又因为，所以
【小问2详解】
由，得，
即，即，
设，则，，
由，设，可得，
所以时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以,
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，故，
所以实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
