1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
1.1.1空间向量及其线性运算
新知探究
2
新知引入
教学目标：
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展
数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用
教学难点：空间向量的线性运算及其应用
情景引入
这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？
正东
正北
向上
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间的夹角都为90度,
它们的合力的大小为多少N
F3
F1
F2
这需要进一步来认识空间中的向量
问题1：
问题2：
如图：已知OA=6米，
AB=6米，BC=3米，
那么OC=
起点
终点
起点
起点
定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。
表示
几何表示法：有向线段
符号表示法：
长度（模）
平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，记作
a
c
b
注意：写向量的时候要带箭头！
空间向量的基本概念
零向量：
规定：长度为0的向量叫做零向量，记作:
单位向量：
模为1的向量称为单位向量.
当有向线段的起点A与终点B重合时，
相反向量：
与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量。
记作：
相等向量：
方向相同且模相等的向量称为相等向量。
因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
共线向量：
如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 ∥
注意：任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量.
空间向量的有关概念
空间向量的线性运算 加法
减法
数乘
运算律
空间向量的线性运算和运算律
交换律：a＋b＝b＋a
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
空间向量的加减运算
空间任意两个向量是否一定能够平移到同一个平面中？
在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间两个向量的加法和减法运算与平面向量相同.
空间向量的加法的运算律．
问题：平面向量的加法运算符合交换律和结合律，空间向量是否也符合？能否借助平行六面体图形证明？
⑴加法交换律： ；
⑵加法结合律： ；
空间向量的加减运算
如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式．
规律总结
掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量、相等向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解；
A
B
C
D
D
C
B
A
E
练习
在正方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,
求下列各式中的x,y,z.
A
B
E
C
F
D
空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简：
(2)原式
练习
A
B
C
D
D
C
B
A
E
在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
F
练习
新知探索
问题：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.


如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
新知探索
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
新知：共面向量的定义
向量与平面平行：若表示向量的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，则称向量平行于平面α.
共面向量：平行于同一个平面的向量.
②任意两个空间向量必共面.
③任意三个空间向量可能共面，也可能不共面.
注：①共面向量所在直线可能平行、重合、相交或异面.
新知探究
回顾平面向量基本定理：
共面
思考：什么情况下三个空间向量共面？
可平移到同一平面内
新知探究
新知：向量共面的判定
向量共面的充要条件：
作用: 判定三个向量是否共面(找x,y).
推论: 判定四点是否共面(同起点/系数和为1，或转化为三个向量共面).
例 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点О作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
分析:欲证E,F,G,H四点共面，只需证明共面．而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式.
例 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点О作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.
证明：因为，
所以,
因为四边形ABCD是平行四边形，所以
过同一点 ，从而 , , , 四点共面.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
1.如图，E,F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB,CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
巩固练习
A
B
D
C
A'
B'
D'
C'
E
F
解：(1)
(2)
(3)
(4)
2.如图平行六面体ABCD-A'B'C'D'，用 表示 及 .
巩固练习
A
B
C'
B'
A'
D
C
D'
解：
3.如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，E,F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x, y的值：
巩固练习
B
C
A
D
B'
C'
A'
D'
E
F
(2)
(1)
(3)
解：(1)
(2)
(3)
小结
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
作业
课本P9 复习巩固1、2
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