第5章 导数及其应用 培优课 函数的存在性与恒成立问题 分层作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 第5章 导数及其应用 培优课 函数的存在性与恒成立问题 分层作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 517.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-14 11:15:43 | ||
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文档简介
培优课 函数的存在性与恒成立问题
分层作业
A层 基础达标练
1. 若函数在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知函数存在最大值0,则的值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. （多选题）函数在内有最小值,则的值可以为( )
A. 0 B. C. D. 1
5. 若不等式对任意的实数恒成立,则实数的最大值为.
6. 已知函数,其中,是自然对数的底数.
（1） 当时,求函数在区间上的零点个数；
（2） 若对任意的实数恒成立,求的取值范围.
7. 已知函数.
（1） 若,求函数的单调区间；
（2） 当时,恒成立,求实数的取值范围.
B层 能力提升练
8. 若对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. （多选题）定义在上的函数的导函数为,且对任意的恒成立.下列结论正确的是( )
A.
B. 若 , ，则
C.
D. 若 , ，则
10. 若存在,使得不等式成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. 4 D.
11. 已知函数在上单调递减，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数若使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. , C. D. ,
13. （多选题）已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是
C. 的最小值是 D. 恒成立
14. 已知是奇函数，当时，,当时，的最小值为1，则的值为.
15. 设函数，若对于任意的,都有成立，则实数的值为.
16. 已知对任意的,都成立，则实数的最小值是.
17. 已知函数,.
（1） 当时，求函数的单调区间；
（2） 当时，恒成立，求的取值范围.
18. 已知函数.
（1） 当时,求函数的单调区间；
（2） 若函数在上的最小值是,求的值.
C层 拓展探究练
19. 已知函数为定义在上的增函数，且对，，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.
20. 已知函数,其中为常数.
（1） 若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围；
（2） 若在上恒成立,求实数的取值范围.
培优课 函数的存在性与恒成立问题
分层作业
A层 基础达标练
1. A
2. D
3. A
4. BC
5.
6. （1） 解 当时,,
则,所以在上单调递增.
又,,故,使得,所以函数在区间上有一个零点.
（2） 若对任意的实数恒成立,则恒成立.
令,则.
令,得,
令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以的取值范围为.
7. （1） 解 当时,,.令,得；令,得；令,得，所以函数的增区间为,减区间为.
（2） 当时,恒成立,等价于对任意的恒成立,即.
设,则,显然当时,恒成立，所以在上单调递增,所以,所以,即.故实数的取值范围为 ,.
B层 能力提升练
8. A
[解析]因为不等式恒成立，，所以恒成立.设，则因为，令，得，所以当 ,时，；当,时，，所以在 ,上单调递减，在,上单调递增，所以，所以.故选.
9. CD
[解析]设,
则
,
当时,,所以,
故在上单调递减,从而,整理得,,故错误,正确；
当时,若,因为在上单调递减,所以,即,即,故错误，正确.故选.
10. A
[解析]因为,,,所以有解.设,则,则.当时,,单调递减;当时,,单调递增.因为存在,，使得成立，所以.因为,,所以,所以,所以故选.
11. D
[解析]由在,上单调递减,得,,即,.令,,则,.当,时,,则,所以,即,所以在,上单调递减,所以,所以,所以的最小值为.故选.
12. D
[解析]由题意可得,存在实数,使得成立.假设,则,所以,则.令,则.
令,即,解得；
令,即,解得,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以.故选.
13. BC
[解析]因为的定义域为，，所以当,时，；当,时，,所以的单调递减区间为,，单调递增区间为,，故错误，正确；，故正确；
因为，所以不恒成立，故错误.故选.
14. 1
[解析]由题意知,当时,的最大值为.
令,得.
当时,；
当时,.
所以,
解得.
15. 4
[解析]由题意得,,当时,令,解得,.
①当时,,单调递增,
②当时,,单调递减；
③当时,,单调递增.
所以只需,且即可.由,得,解得.由,得.综上，.
16.
[解析]因为,，所以可等价变形为.令,则.由，得，则函数在，上单调递增；由，得，则函数在，上单调递减.所以当,时，，故.
17. （1） 解 当时，，，.由，得;由，得，所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2） ，故.当时，因为，所以，所以恒成立，即在上单调递增，所以恒成立.当时，令,得，当,,单调递增；当,,单调递减，所以,与恒成立相矛盾.综上，的取值范围为.
18. （1） 解 函数 的定义域为 ,
.
18. （1） 因为,所以,故函数在上单调递增，所以的增区间为,无减区间.
（2） 当时,分如下情况讨论：
①当时,,函数单调递增,其最小值为,这与函数在上的最小值是相矛盾；
②当时,函数在上有,单调递减,在上有,单调递增,所以函数的最小值为,由,得.
③当时,显然函数在上单调递减,其最小值为,与最小值是相矛盾.
综上,的值为.
C层 拓展探究练
19. ,
[解析]因为,所以，又不等式对恒成立，所以因为为定义在上的增函数，所以，即在上恒成立.令,，则,易得当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，函数取得最大值,所以.
20. （1） 解 由,得.因为函数在区间上单调递增,所以在区间上恒成立,即在区间上恒成立.因为当时,,所以,即实数的取值范围是.
（2） 在上恒成立,等价于在上恒成立,令,则.因为,所以在上单调递减,所以在区间上的最大值为,所以,即实数的取值范围是.
分层作业
A层 基础达标练
1. 若函数在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知函数存在最大值0,则的值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. （多选题）函数在内有最小值,则的值可以为( )
A. 0 B. C. D. 1
5. 若不等式对任意的实数恒成立,则实数的最大值为.
6. 已知函数,其中,是自然对数的底数.
（1） 当时,求函数在区间上的零点个数；
（2） 若对任意的实数恒成立,求的取值范围.
7. 已知函数.
（1） 若,求函数的单调区间；
（2） 当时,恒成立,求实数的取值范围.
B层 能力提升练
8. 若对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. （多选题）定义在上的函数的导函数为,且对任意的恒成立.下列结论正确的是( )
A.
B. 若 , ，则
C.
D. 若 , ，则
10. 若存在,使得不等式成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. 4 D.
11. 已知函数在上单调递减，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数若使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. , C. D. ,
13. （多选题）已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是
C. 的最小值是 D. 恒成立
14. 已知是奇函数，当时，,当时，的最小值为1，则的值为.
15. 设函数，若对于任意的,都有成立，则实数的值为.
16. 已知对任意的,都成立，则实数的最小值是.
17. 已知函数,.
（1） 当时，求函数的单调区间；
（2） 当时，恒成立，求的取值范围.
18. 已知函数.
（1） 当时,求函数的单调区间；
（2） 若函数在上的最小值是,求的值.
C层 拓展探究练
19. 已知函数为定义在上的增函数，且对，，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.
20. 已知函数,其中为常数.
（1） 若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围；
（2） 若在上恒成立,求实数的取值范围.
培优课 函数的存在性与恒成立问题
分层作业
A层 基础达标练
1. A
2. D
3. A
4. BC
5.
6. （1） 解 当时,,
则,所以在上单调递增.
又,,故,使得,所以函数在区间上有一个零点.
（2） 若对任意的实数恒成立,则恒成立.
令,则.
令,得,
令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以的取值范围为.
7. （1） 解 当时,,.令,得；令,得；令,得，所以函数的增区间为,减区间为.
（2） 当时,恒成立,等价于对任意的恒成立,即.
设,则,显然当时,恒成立，所以在上单调递增,所以,所以,即.故实数的取值范围为 ,.
B层 能力提升练
8. A
[解析]因为不等式恒成立，，所以恒成立.设，则因为，令，得，所以当 ,时，；当,时，，所以在 ,上单调递减，在,上单调递增，所以，所以.故选.
9. CD
[解析]设,
则
,
当时,,所以,
故在上单调递减,从而,整理得,,故错误,正确；
当时,若,因为在上单调递减,所以,即,即,故错误，正确.故选.
10. A
[解析]因为,,,所以有解.设,则,则.当时,,单调递减;当时,,单调递增.因为存在,，使得成立，所以.因为,,所以,所以,所以故选.
11. D
[解析]由在,上单调递减,得,,即,.令,,则,.当,时,,则,所以,即,所以在,上单调递减,所以,所以,所以的最小值为.故选.
12. D
[解析]由题意可得,存在实数,使得成立.假设,则,所以,则.令,则.
令,即,解得；
令,即,解得,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以.故选.
13. BC
[解析]因为的定义域为，，所以当,时，；当,时，,所以的单调递减区间为,，单调递增区间为,，故错误，正确；，故正确；
因为，所以不恒成立，故错误.故选.
14. 1
[解析]由题意知,当时,的最大值为.
令,得.
当时,；
当时,.
所以,
解得.
15. 4
[解析]由题意得,,当时,令,解得,.
①当时,,单调递增,
②当时,,单调递减；
③当时,,单调递增.
所以只需,且即可.由,得,解得.由,得.综上，.
16.
[解析]因为,，所以可等价变形为.令,则.由，得，则函数在，上单调递增；由，得，则函数在，上单调递减.所以当,时，，故.
17. （1） 解 当时，，，.由，得;由，得，所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2） ，故.当时，因为，所以，所以恒成立，即在上单调递增，所以恒成立.当时，令,得，当,,单调递增；当,,单调递减，所以,与恒成立相矛盾.综上，的取值范围为.
18. （1） 解 函数 的定义域为 ,
.
18. （1） 因为,所以,故函数在上单调递增，所以的增区间为,无减区间.
（2） 当时,分如下情况讨论：
①当时,,函数单调递增,其最小值为,这与函数在上的最小值是相矛盾；
②当时,函数在上有,单调递减,在上有,单调递增,所以函数的最小值为,由,得.
③当时,显然函数在上单调递减,其最小值为,与最小值是相矛盾.
综上,的值为.
C层 拓展探究练
19. ,
[解析]因为,所以，又不等式对恒成立，所以因为为定义在上的增函数，所以，即在上恒成立.令,，则,易得当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，函数取得最大值,所以.
20. （1） 解 由,得.因为函数在区间上单调递增,所以在区间上恒成立,即在区间上恒成立.因为当时,,所以,即实数的取值范围是.
（2） 在上恒成立,等价于在上恒成立,令,则.因为,所以在上单调递减,所以在区间上的最大值为,所以,即实数的取值范围是.