第5章 导数及其应用 培优课曲线的切线问题 分层作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 第5章 导数及其应用 培优课曲线的切线问题 分层作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 447.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-14 11:16:40 | ||
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文档简介
培优课 曲线的切线问题
分层作业
A层 基础达标练
1. 曲线在点（1，（1））处的切线的方程为( )
A. B. C. D.
2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为( )
A. B. C. 或 D.
3. 曲线在点处的切线方程为.
4. 若曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.
5. 设函数 的图象在点处的切线经过点，则的值为.
6. 若直线与曲线及都相切，则直线的方程为.
7. 已知函数，其中是的导函数.
（1） 求；
（2） 求曲线过原点的切线方程.
8. 已知函数，
（1） 若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率为，求，的值；
（2） 若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围.
B层 能力提升练
9. 函数在点处的切线与两坐标轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D. 1
10. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则( )
A. B. 1 C. 2 D.
11. 已知曲线：，直线：，则“”是“直线与曲线相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 已知定义在区间上的函数， ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则的值为( )
A. 2 B. 5 C. 1 D. 0
13. 已知过坐标原点的直线与函数的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为 ，则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则.
15. 若关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为.
16. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为函数图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为.
17. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设，则曲线在点处的切线方程为，用此结论计算.
18. 设函数，曲线在点（2，（2））处的切线方程为.
（1） 求的解析式；
（2） 证明曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
C层 拓展探究练
19. 已知曲线在点处的切线与曲线 在点处的切线相同，则 ( )
A. B. C. 1 D. 2
20. 已知函数，和直线：，且
（1） 求的值.
（2） 是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
午练31 切线问题
1. [2020全国Ⅰ]函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2. 设是曲线上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. 若直线与曲线和圆都相切，则的方程为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，，直线与函数，的图象都相切，与图象的切点为，则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则( )
A. 0 B. C. 0或 D. 或
6. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7. [2022新高考Ⅱ]曲线过坐标原点的两条切线方程为.
8. [2022新高考Ⅰ]若曲线有两条过坐标原点的切线,则的取值范围是.
9. 如果曲线和曲线存在有公共切点的公切线，那么该公切线的方程为.
10. 已知曲线.
（1） 求曲线在点处的切线方程；
（2） 求曲线过点的切线方程.
培优课 曲线的切线问题
分层作业
A层 基础达标练
1. D
2. C
3.
4.
5. 0
6.
7. （1） 解 因为，所以.令，得，所以.
（2） 由（1）可得，所以.设切点坐标为，则，所以切线方程为.因为过原点，所以，整理得，解得或.当时，切线方程为；当时，切线方程为.综上，曲线过原点的切线方程为或.
8. （1） 解 .
8. （1） 由题意，得
解得，或.
（2） 因为曲线存在两条垂直于轴的切线，所以关于的方程有两个不相等的实数根，所以，即，所以,所以的取值范围为，，.
B层 能力提升练
9. B
10. C
11. A
[解析]因为曲线，所以.设直线与曲线相切，且切点的横坐标为，则切线方程为,所以解得或所以“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件.故选.
12. C
[解析]根据题意，设两曲线与的公共点为，其中.由，可得，则切线的斜率为.由，可得，则切线的斜率为.因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以，解得或（舍去）.又，即公共点的坐标为，将点代入，得.故选.
13. D
[解析]如图，作出函数的图象，直线过原点，与函数图象有三个公共点，且横坐标的最大值为 ，则 是直线与在上的切点的横坐标.，则 ，所以 ，即.故选.
14. 0或1
[解析]设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为的导数为，的导数为，可得.又由，消去，可得，则或，则直线与曲线的切点坐标为，或，与曲线的切点坐标为或，所以或，则切线方程为或，可得或1.
15. （，）
[解析]由题意，临界情况为与相切的情况，，则，所以切点坐标为，则此时，所以只要图象向左移动，都会产生3个交点，所以，即.
16.
[解析]令，则，，.因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以，两点之间距离的最小值等于点到直线距离的最小值的2倍.函数在点处的切线斜率为，令，得，，所以点到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为.
17. ;
[解析]函数，则，，，所以切线方程为，所以.根据以直代曲，也非常接近切点，所以可以将代入切线近似代替，即.
18. （1） 解 方程可化为，当时，.又，
所以解得故.
（2） 证明 设为曲线上任一点，由，得曲线在点处的切线方程为，即.令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，.令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为.故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，且定值为6.
C层 拓展探究练
19. B
[解析]已知曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即
由题意，得
得，，则.又，所以，所以，所以.故选.
20. （1） 解 由已知,得.因为，所以，解得.
（2） 存在.
由已知，得直线恒过定点，若直线是曲线的切线，则设切点为.因为，所以切线方程为，将代入切线方程，解得当时，切线方程为；当时，切线方程为.由（1）知.由，得，解得或.在处，的切线方程为；在处，的切线方程为，所以与的公切线是.由,得，解得或.在处，的切线方程为；在处，的切线方程为，所以与的公切线不是.综上，与的公切线是，此时.
分层作业
A层 基础达标练
1. 曲线在点（1，（1））处的切线的方程为( )
A. B. C. D.
2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为( )
A. B. C. 或 D.
3. 曲线在点处的切线方程为.
4. 若曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.
5. 设函数 的图象在点处的切线经过点，则的值为.
6. 若直线与曲线及都相切，则直线的方程为.
7. 已知函数，其中是的导函数.
（1） 求；
（2） 求曲线过原点的切线方程.
8. 已知函数，
（1） 若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率为，求，的值；
（2） 若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围.
B层 能力提升练
9. 函数在点处的切线与两坐标轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D. 1
10. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则( )
A. B. 1 C. 2 D.
11. 已知曲线：，直线：，则“”是“直线与曲线相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 已知定义在区间上的函数， ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则的值为( )
A. 2 B. 5 C. 1 D. 0
13. 已知过坐标原点的直线与函数的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为 ，则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则.
15. 若关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为.
16. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为函数图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为.
17. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设，则曲线在点处的切线方程为，用此结论计算.
18. 设函数，曲线在点（2，（2））处的切线方程为.
（1） 求的解析式；
（2） 证明曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
C层 拓展探究练
19. 已知曲线在点处的切线与曲线 在点处的切线相同，则 ( )
A. B. C. 1 D. 2
20. 已知函数，和直线：，且
（1） 求的值.
（2） 是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
午练31 切线问题
1. [2020全国Ⅰ]函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2. 设是曲线上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. 若直线与曲线和圆都相切，则的方程为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，，直线与函数，的图象都相切，与图象的切点为，则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则( )
A. 0 B. C. 0或 D. 或
6. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7. [2022新高考Ⅱ]曲线过坐标原点的两条切线方程为.
8. [2022新高考Ⅰ]若曲线有两条过坐标原点的切线,则的取值范围是.
9. 如果曲线和曲线存在有公共切点的公切线，那么该公切线的方程为.
10. 已知曲线.
（1） 求曲线在点处的切线方程；
（2） 求曲线过点的切线方程.
培优课 曲线的切线问题
分层作业
A层 基础达标练
1. D
2. C
3.
4.
5. 0
6.
7. （1） 解 因为，所以.令，得，所以.
（2） 由（1）可得，所以.设切点坐标为，则，所以切线方程为.因为过原点，所以，整理得，解得或.当时，切线方程为；当时，切线方程为.综上，曲线过原点的切线方程为或.
8. （1） 解 .
8. （1） 由题意，得
解得，或.
（2） 因为曲线存在两条垂直于轴的切线，所以关于的方程有两个不相等的实数根，所以，即，所以,所以的取值范围为，，.
B层 能力提升练
9. B
10. C
11. A
[解析]因为曲线，所以.设直线与曲线相切，且切点的横坐标为，则切线方程为,所以解得或所以“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件.故选.
12. C
[解析]根据题意，设两曲线与的公共点为，其中.由，可得，则切线的斜率为.由，可得，则切线的斜率为.因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以，解得或（舍去）.又，即公共点的坐标为，将点代入，得.故选.
13. D
[解析]如图，作出函数的图象，直线过原点，与函数图象有三个公共点，且横坐标的最大值为 ，则 是直线与在上的切点的横坐标.，则 ，所以 ，即.故选.
14. 0或1
[解析]设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为的导数为，的导数为，可得.又由，消去，可得，则或，则直线与曲线的切点坐标为，或，与曲线的切点坐标为或，所以或，则切线方程为或，可得或1.
15. （，）
[解析]由题意，临界情况为与相切的情况，，则，所以切点坐标为，则此时，所以只要图象向左移动，都会产生3个交点，所以，即.
16.
[解析]令，则，，.因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以，两点之间距离的最小值等于点到直线距离的最小值的2倍.函数在点处的切线斜率为，令，得，，所以点到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为.
17. ;
[解析]函数，则，，，所以切线方程为，所以.根据以直代曲，也非常接近切点，所以可以将代入切线近似代替，即.
18. （1） 解 方程可化为，当时，.又，
所以解得故.
（2） 证明 设为曲线上任一点，由，得曲线在点处的切线方程为，即.令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，.令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为.故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，且定值为6.
C层 拓展探究练
19. B
[解析]已知曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即
由题意，得
得，，则.又，所以，所以，所以.故选.
20. （1） 解 由已知,得.因为，所以，解得.
（2） 存在.
由已知，得直线恒过定点，若直线是曲线的切线，则设切点为.因为，所以切线方程为，将代入切线方程，解得当时，切线方程为；当时，切线方程为.由（1）知.由，得，解得或.在处，的切线方程为；在处，的切线方程为，所以与的公切线是.由,得，解得或.在处，的切线方程为；在处，的切线方程为，所以与的公切线不是.综上，与的公切线是，此时.