第5章 导数及其应用 培优课 三次函数的图象与性质 分层作业（含解析）

培优课 三次函数的图象与性质
分层作业
A层 基础达标练
1. 若函数是增函数，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
2. 设函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. ， D. ，
3. 在等比数列中，,是函数的极值点，则( )
A. 或2 B. C. 2 D.
4. 若函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是.
5. 已知函数，若过点可作函数图象的两条切线，则实数.
6. 设函数.
（1） 求在处的切线方程；
（2） 求的极值点和极值.
7. 已知函数.
（1） 若函数在点处的切线方程为，求，的值；
（2） 当，时，记在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围.
B层 能力提升练
8. 若函数在区间，内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 对于三次函数,现给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数,则( )
A. B. 0 C. 1 D.
10. 设，若为函数的极大值点，则( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，其中实数，，则下列结论错误的是( )
A. 必有两个极值点
B. 当 有且仅有3个零点时， 的取值范围是
C. 当 时，点 是曲线 的对称中心
D. 当 时，过点 可以作曲线 的3条切线
12. （多选题）函数，下列对函数的性质描述正确的是( )
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 若 ，则函数 有极值点
C. 若 ，则函数 在区间 上单调递减
D. 若函数 有且只有3个零点，则 的取值范围是
13. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为.
14. 已知是函数的导函数，且，，则下列说法正确的是.（填序号）
①；
②曲线在处的切线斜率最小；
③函数在内存在极大值和极小值；
④在区间内至少有一个零点.
15. 已知函数.
（1） 讨论的单调性.
（2） 是否存在,，使得在区间的最小值为且最大值为1 若存在，求出,的所有值；若不存在，说明理由.
16. 已知函数.
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 若，,且，都有成立，求实数的取值范围.
C层 拓展探究练
17. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1） 若，且在内有且只有一个零点，求的值.
（2） 若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（3） 若，，试讨论是否存在，使得.
培优课 三次函数的图象与性质
分层作业
A层 基础达标练
1. D
2. B
3. C
4. （,）（,3）
5. 0或1
6. （1） 解 ，所以，，在处的切线方程为，即.
（2） 令，则，解得，.当时，可得，即的单调递减区间为,；当或时，可得，即的单调递增区间为，,，所以的极大值点为，极小值点为.因为，，所以极大值是，极小值是.
7. （1） 解 由题知，，
，，
即解得
（2） 当，时，，.令，即，解得.因为，所以，所以函数在,上单调递减，在,上单调递增，所以，即.因为，，，所以，即，所以.令，则，即函数在上单调递减，所以，即，所以的取值范围是,.
B层 能力提升练
8. A
[解析]由,得或，可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.令，得或;令，得或.作出的大致图象如图所示，由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，则解得.故的取值范围是.故选.
9. B
[解析]由,得,所以.由,得,解得,而,即的对称中心为,所以,则.故选.
10. D
[解析]若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故，所以有和两个不同零点，且在左右附近是不变号的，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，所以在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如图1所示.
图1
由图可知，，故.
当时，由，，画出的图象如图2所示.
图2
由图可知，，故.故选.
11. B
[解析]对于，.令，得或.
因为，所以令，得或，令，得，所以在,上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值,故正确；对于，要使有且仅有3个零点，只需即所以，所以的取值范围是，故错误；对于，当时，，，，所以点是曲线的对称中心，故正确；对于，，设切点为，所以在点处的切线方程为.又因为切线过点，所以，解得.令,，所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.
令，得或.因为，所以令，得或，令，得，则在,上单调递增，在上单调递减，,.如图，当时，与的图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故正确.故选.
12. AD
[解析]对于，因为，所以，所以,函数的图象关于点对称，故正确；对于，,当时，，函数在定义域内为增函数，此时函数没有极值点，故错误；对于，当时，由，得,又因为当时，，所以函数在上单调递增，故错误；对于，，当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意，当时，由，得.又因为时，,时，,时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值是,极大值是因为函数有三个不同的零点，所以解得,故正确.故选.
13. ，）
[解析]令，易可知恒成立，且，则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意；当时，因为函数为奇函数，所以可得，解得，则.综上，实数的取值范围为.
14. ②③④
[解析]因为，，所以，即.
因为，所以，，即，，，的符号不确定，故①错误；由，可得在处取得最小值，即在处的切线斜率最小，故②正确；由，可得与轴有两个交点，
则函数在内存在极大值和极小值，故③正确；于是，，，当时，因为，，则在区间内至少有一个零点，当时，因为，，则在区间内至少有一个零点，故导函数在区间内至少有一个零点，故④正确.
15. （1） 解 的定义域为，.令，解得或.
①当时，，函数在上单调递增.
②当时，函数在，，上单调递增，在，上单调递减.
③当时，函数在 ，，上单调递增，在，上单调递减.
（2） 由（1），得①当时，函数在上单调递增，
则，，解得，，满足条件.
②当时，函数在，上单调递减.
当，即时，函数在上单调递减，则
解得满足题意.
当，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，
则的最小值为，化简得.而，，所以的最大值为或.
若解得，矛盾，舍去.
若解得或，矛盾，舍去.
综上，存在或满足条件.
16. （1） 解 由题意，函数，可得.
①当时，在上单调递减.
②当时，，所以在上单调递减.
③当时，令，即，解得或；
令，即，解得，所以在 ,,,上单调递增，在,上单调递减.
（2） 当时，函数，由（1）可知在上单调递减.不妨设，则，,所以，即，即对任意的,成立，所以在上单调递增，则，即对恒成立.令，可得.令，即，解得;令，即，解得或，所以在,上单调递增，在,上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数的取值范围为,.
C层 拓展探究练
17. （，，
[解析]函数令，则.令，得，.
①当，即时，令，即，解得或；令，解得，所以的单调递增区间是 ，，，单调递减区间是，.又因为，所以的单调递增区间是，，，单调递减区间是，，，满足条件，故（此种情况函数的图象如图1）.
图1
②当，即时，，函数的图象如图2，则的单调递增区间是，单调递减区间是，满足条件，故.
图2
③当，即时，令，即，解得或；令，解得，所以的单调递增区间是，，，单调递减区间是，.
又因为，所以的单调递增区间是，，，单调递减区间是，，，要使在上单调递增，必须满足，即.又因为，所以（此种情况函数的图象如图3）.
图3
综上，实数的取值范围是.
18. （1） 解 ，函数，.令，可得或.当时，，
由三次函数的图象可知，，在内没有零点，所以，在内有且只有一个零点，可得，即，解得.
（2） ，当时，，此时不存在三个不同的零点；
当时，函数，，
，有两个根，.
要使有三个不同的零点，则极大值与极小值的乘积小于0，
即.
不妨设的三个零点为，，，且，则，
，
，
，
，得.
因为，所以，
同理，
，得.
因为，所以.
又，所以，，
所以，所以，即，.
因为函数的极小值为，
函数的极大值为.
综上，存在实数满足条件.
（3） 因为，所以若存在，，，使得，即，则关于的方程在，，内必有实数解.
因为，所以，方程的两根为，即.
因为，所以.
依题意有，且，即，且，所以，且，
得，且.
综上，当时，存在唯一的，使得成立；
当时，不存在，使得成立.