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第十四章 整式的乘法与因式分解
培优精练38 幂的运算
已知10a＝5，10b＝2，求103a＋2b－1的值．
解：∵10a＝5，10b＝2，
∴103a＋2b－1＝103a×102b÷10
＝(10a)3×(10b)2÷10
＝53×22÷10
＝50.
1．已知am＝2，an＝3，求(a3m－n)2的值．
解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m＝(am)3＝23＝8，
2．(1)已知8m÷4n＝16，求(－3)2n－3m的值．
解：∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m－2n＝16＝24，
∴3m－2n＝4，
∴2n－3m＝－4.
(2)计算：42 023×0.252 022－82 021×0.1252 020.
解： 42 023×0.252 022－82 021×0.1252 020
＝4×12 022－8×12 020
＝4－8
＝－4.
3．阅读：已知正整数a，b，c，显然，当底数相同时，指数大的幂也大．
若对于相同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb.
根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：520_____420(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)比较233与322的大小(写出比较的具体过程)．
＞
解：∵233＝(23)11＝811，322＝(32)11＝911，
∴233＜322.
(3)比较1714与3111的大小(写出比较的具体过程)．
解： 1714＞1614，3111＜3211.
∵1614＝(24)14＝256，3211＝(25)11＝255，
∴1614＞3211，
∴1714＞1614＞3211＞3111，
∴1714＞3111.
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培优精练44 乘法公式与规律
1．回答下列问题：
(1)计算：
①(x＋2)(x＋3)； ②(x＋8)(x－10)；
③(x－7)(x－9)．
解：原式＝x2＋2x＋3x＋6
＝x2＋5x＋6.
解：原式＝x2－10x＋8x－80
＝x2－2x－80.
解：原式＝x2－9x－7x＋63
＝x2－16x＋63.
1．回答下列问题：
(2)由(1)的结果，直接写出下列计算的结果：
①(x＋1)(x＋4)＝___________；
②(x－6)(x－3)＝___________；
③(x＋10)(x－15)＝___________；
(3)总结公式：(x＋a)(x＋b)＝_______________．
x2＋5x＋4
x2－9x＋18
x2－5x－150
x2＋(a＋b)x＋ab
(4)已知a，b，n均为整数，且(x＋a)(x＋b)＝x2＋nx＋8，求n的所有可能
值．
解：∵(x＋a)(x＋b)＝x2＋nx＋8，
∵8＝1×8＝(－1)×(－8)＝2×4＝(－2)×(－4)．
∴n＝1＋8＝9或n＝－1＋(－8)＝－9或n＝2＋4＝6
或n＝－2＋(－4)＝－6.
∴n＝±6或n＝±9.
∴n＝a＋b，8＝ab.
2．探究应用：
(1)计算：(x－1)(x2＋x＋1)＝______；(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)＝________．
(2)上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律(公式)？用含字母a，b
的等式表示该公式为：________________________．
(3)下列各式能用第(2)题的公式计算的是____．
A．(m＋2)(m2＋2m＋4) B．(m－2n)(m2＋2mn＋2n2)
C．(3－n)(9＋3n＋n2) D．(m－n)(m2＋2mn＋n2)
x3－1
8x3－y3
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3
C
(4)设A＝109－1，利用上述规律，说明A能被37整除．
解：A＝109－1＝(103)3－1＝(103－1)(106＋103＋12)
＝999×1 001 001
∴A能被37整除．
＝3×3×3×37×1 001 001，
3．利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片
若干张拼成图2(卡片间不重叠，无缝隙)，可以用来解释完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
请你解答下面的问题：
(1)填空：(2a＋3)2＝4a2＋ka＋9，则k＝_____；
(5x＋m)2＝25x2＋10x＋n，则m＝____，n＝_____．
(2)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：
_______________________________________________．
(3)利用上述拼图的方法计算：(2a＋b)(a＋3b)＝_______________．
12
1
1
(a＋b)(2a＋b)＝2a2＋3ab＋b2
2a2＋7ab＋3b2
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培优精练42 a2＋b2，(a±b)2，a±b，ab
之间的互化
[教材P112T7改编]已知a＋b＝5，ab＝3，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
解：a2＋b2
＝(a＋b)2－2ab
＝52－2×3
＝25－6
＝19.
(2)(a－b)2；
解：(a－b)2
＝(a＋b)2－4ab
＝52－4×3
＝25－12
＝13.
(3)a2－ab＋b2；
解：a2－ab＋b2
＝(a＋b)2－3ab
＝52－3×3
＝25－9
＝16.
(4)(a2＋1)(b2＋1)．
解：(a2＋1)(b2＋1)
＝a2b2＋a2＋b2＋1
＝(ab)2＋(a＋b)2－2ab＋1
＝32＋52－2×3＋1
＝29.
1．(1)若a2＋b2＝10，ab＝－3，则(a－b)2＝____．
(2)已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，则xy＝____．
(3)若m－n＝4，mn＝12，则m2＋n2＝____．
(4)若(2a＋b)2＝11，ab＝1，则(2a－b)2＝____．
(5)若(2 022－m)2＋(2 021－m)2＝3，则(2 022－m)(2 021－m)＝____．
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3
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3
1
3．要说明(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．
(1)小刚：可以根据乘方的意义来说明等式成立；
解：(a＋b＋c)2
＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)
＝a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc＋ac＋bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
(2)小王：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；
解：(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
＝a2＋b2＋2ab＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
(3)小丽：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．
解：如图，
＝a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＋ab＋ac＋bc
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
(a＋b＋c)2
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培优精练45 多种方法分解因式
方法 示 例
十字相乘法 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
分组分解法 am＋bm＋an＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)
＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)
换元法 (x2－4x＋1)(x2－4x＋2)－12
解：设x2－4x＝y，
则 (x2－4x＋1)(x2－4x＋2)－12＝(y＋1)(y＋2)－12
＝y2＋3y－10＝(y＋5)(y－2)＝(x2－4x＋5)(x2－4x－2)
方法 示 例
添项法 x5＋x＋1＝x5－x2＋x2＋x＋1＝x2(x3－1)＋(x2＋x＋1)
＝x2(x－1)(x2＋x＋1)＋(x2＋x＋1)
＝(x2＋x＋1)[x2(x－1)＋1]
＝(x2＋x＋1)(x3－x2＋1)
拆项法 x3－9x＋8＝x3－9x－1＋9＝(x3－1)－9x＋9
＝(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)
＝(x－1)(x2＋x－8)
1．用十字相乘法分解因式：
(1)x2＋7x＋12； (2)(a2－a)2＋2(a2－a)－3.
解：原式＝x2＋(4＋3)x＋4×3
＝(x＋4)(x＋3).
解：原式＝(a2－a)2＋(3－1)(a2－a)
＋3×(－1)
＝(a2－a＋3)(a2－a－1)．
2．用分组分解法分解因式：
(1)x3＋2x2y－9x－18y; (2)1－a2－4b2＋4ab.
解：原式＝x2(x＋2y)－9(x＋2y)
＝(x＋2y)(x2－9)
＝(x＋2y)(x＋3)(x－3)．
解：原式＝1－(a2＋4b2－4ab)
＝1－(a－2b)2
＝(1＋a－2b)[1－(a－2b)]
＝(1＋a－2b)(1－a＋2b)．
3．用换元法分解因式：
(1)(x2－4x－3)(x2－4x＋11)＋49;
解：设x2－4x＝A，
则(x2－4x－3)(x2－4x＋11)＋49
＝(A－3)(A＋11)＋49
＝A2＋8A＋16
＝(A＋4)2
＝(x－2)4.
＝(x2－4x＋4)2
(2)1 999x2－(1 9992－1)x－1 999.
解：设1 999＝a，
则1 999x2－(1 9992－1)x－1 999
＝ax2－(a2－1)x－a
＝(ax＋1)(x－a)
＝(1 999x＋1)(x－1 999)．
4．分别用添项法、拆项法分解因式：
(1)x7＋x5＋1;
解：原式＝x7＋x6＋x5－x6＋1
＝x5(x2＋x＋1)－(x3＋1)(x3－1)
＝x5(x2＋x＋1)－(x－1)(x3＋1)(x2＋x＋1)
＝(x2＋x＋1)[x5－(x－1)(x3＋1)]
＝(x2＋x＋1)(x5－x4＋x3－x＋1).
(2)a4＋2a3＋3a2＋2a＋1.
解：原式＝a4＋2a3＋a2＋2a2＋2a＋1
＝a2(a＋1)2＋2a(a＋1)＋1
＝[a(a＋1)＋1]2
＝(a2＋a＋1)2.
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培优精练46 因式分解的应用
1．若2a－3b＝－3，求4a2－6ab＋9b的值．
解：∵2a－3b＝－3，
∴4a2－6ab＋9b
＝－3(2a－3b)
＝2a×(－3)＋9b
＝－6a＋9b
＝2a(2a－3b)＋9b
＝－3×(－3)
＝9.
2．计算：1002－992＋982－972＋…＋22－12.
解：原式＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)
＝(100＋99)(100－99)＋(98＋97)(98－97)＋…＋(2＋1)(2－1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝(100＋1)＋(99＋2)＋…＋(51＋50)
＝101×50
＝5 050.
4．求方程x3＋3x2－4x－12＝0的解．
解：x3＋3x2－4x－12＝0，
x3－4x＋3x2－12＝0，
∴x－2＝0或x＋2＝0或x＋3＝0.
解得x＝2或x＝－2或x＝－3.
5．对于形如x2＋2ax＋a2的多项式，可用“配方法”将它分解成(x＋a)2的形
式，如在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使它与x2＋2ax的和成
为一个完全平方式，再减去a2，它不会改变整个式子的值，其变化过程如
下：
x2＋2ax－3a2＝(x2＋2ax＋a2)－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2
＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋3a)(x－a)．
请完成下列问题：
(1)利用“配方法”分解因式：x2＋4xy－5y2.
解：原式＝x2＋4xy＋4y2－4y2－5y2
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求△ABC的周长．
解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＋50－9－16－25＝0.
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
∴C△ABC＝3＋4＋5＝12.
(3)比较多项式2x2＋2x－3与x2＋3x－4的大小．
＝2x2＋2x－3－x2－3x＋4
＝x2－x＋1
∴2x2＋2x－3＞x2＋3x－4.
(4)试说明：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－4x＋2y＋6的值总为正数．
解：x2＋y2－4x＋2y＋6
＝(x－2)2＋(y＋1)2＋1.
∴(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0.
∴(x－2)2＋(y＋1)2＋1≥1＞0.
∴无论x，y取任何实数，x2＋y2－4x＋2y＋6的值总为正数．
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培优精练40 应用平方差公式进行简便计算
计算：(2x－y＋1)(2x＋y－1)．(用公式法计算)
解：原式＝[2x－(y－1)][2x＋(y－1)]
＝4x2－y2＋2y－1.
＝(2x)2－(y－1)2
1．如果a2－9b2＝4，那么(a＋3b)2(a－3b)2＝____．
2．运用整式乘法公式简便计算：1 9992－2 000×1 998.
16
解：1 9992－2 000×1 998
＝1 9992－(1 999＋1)×(1 999－1)
＝1 9992－1 9992＋1
＝1.
3．解不等式：(1－5x)(x－2)－(3－x)(x＋3)≤(2x－3)(3－2x)．
解：x－2－5x2＋10x－(9－x2)≤－(4x2－12x＋9).
11x－2－5x2－9＋x2≤－4x2＋12x－9.
解得 x≥－2.
4．丽丽在做题目(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的时候是这样分析的：
这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比
较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运
算．她尝试添加因式(2－1)，很快得到计算结果．
(1)填空：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝________；
解： (2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(28－1)(28＋1)(216＋1)
＝(216－1)(216＋1)
＝232－1.
232－1
(2)请参考丽丽的方法进行计算：(5＋1)(52＋1)(54＋1) … (52 048＋1)．
解：(5＋1)(52＋1)(54＋1) … (52 048＋1)
＝…
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培优精练39 整式乘法的应用
已知6x－5y＝10，求[(－2x＋y)(－2x－y)－(2x－3y)2]÷2y的值．
解：原式＝[4x2－y2－(4x2－12xy＋9y2)]÷2y
∵6x－5y＝10，∴原式＝10.
＝(12xy－10y2)÷2y
＝6x－5y.
1．[2023 厦门湖滨中学期中]先化简，再求值：
(2a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2，其中a＝1，b＝2.
解：(x3＋mx2＋2x－8)(3x－n)
＝3x4＋3mx3＋6x2－24x－nx3－mnx2－2nx＋8n
＝3x4＋(3m－n)x3＋(6－mn)x2＋(－2n－24)x＋8n.
∵A与B的乘积中不含有x3和x项，
2．多项式A＝x3＋mx2＋2x－8，B＝3x－n，若A与B的乘积中不含有x3和x项，试确定m和n的值．
解：(2a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2
＝2a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2
当a＝1，b＝2时，
＝2a2－2ab－b2－(a2－2ab＋b2)
＝a2－2b2，
原式＝12－2×22＝1－2×4＝1－8＝－7.
3．街心花园有一块长为a m，宽为b m(a＞b)的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x m，宽增加x m(x＞0)，改造后仍得到一块长方形的草坪．
(1)求改造后长方形草坪的面积．
解：依题意得改造后长方形草坪的面积
＝(a－x)(b＋x)
＝(ab＋ax－bx－x2)m2.
(2)小明认为无论x取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．
解：小明的观点不正确，理由如下：
解法一：设改造前长方形草坪的面积为S前，改造后长方形草坪的面积为S后，
则S后－S前＝(ab＋ax－bx－x2)－ab＝ax－bx－x2＝x(a－b－x)．
∵x＞0，a＞b，
即0＜x＜a－b时，S后－S前＞0，
即S后＞S前．
当a－b－x＝0，即x＝a－b时，
S后－S前＝0，即S后＝S前．
当a－b－x＜0，即x＞a－b时，
S后－S前＜0，即S后＜S前．
∴当a－b－x＞0，
解法二：如图，设①的面积为S1，②的面积为S2，③的面积为S3，
则S2－S1＝x(a－x)－bx＝ax－bx－x2＝x(a－b－x)．
∵x＞0，a＞b，
∴当a－b－x＞0，即0＜x＜a－b时，S2－S1＞0，即S2＞S1.
∴S2＋S3＞S1＋S3，
即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积大．
当a－b－x＝0，即x＝a－b时，S2－S1＝0，即S2＝S1.
即改造后长方形草坪的面积与改造前长方形草坪的面积相等．
当a－b－x＜0，即x＞a－b时，S2－S1＜0，即S2＜S1.
即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积小．
∴S2＋S3＝S1＋S3，
∴S2＋S3＜S1＋S3，
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培优精练41 完全平方公式的应用
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0.
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
∴m＋n＝0，n－3＝0.
∴m＝－3，n＝3.
仔细理解上面的解题方法，并解决下面的问题：
(1)若x2＋2y2－2xy－4y＋4＝0，求xy的值．
解：x2＋2y2－2xy－4y＋4
＝x2－2xy＋y2＋y2－4y＋4
＝(x－y)2＋(y－2)2＝0，
解得x＝2，y＝2.
∴xy＝22＝4.
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
解：∵a2＋b2＝10a＋8b－41，
∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0.
即(a－5)2＋(b－4)2＝0.
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9.
运用上面的解题方法解决以下问题：
解：设2 020－x＝a，x－2 016＝b，
a＋b＝2 020－x＋x－2 016＝4.
12
＝(a+b)2－2ab
＝42－2×2
＝12.
∴(2 020-x)2＋(x-2 016)2＝a2＋b2
则(2 020-x)(x-2 016)＝ab＝2，
解：设2 021－2x＝a，2x－2 018＝b，
则(2 021－2x)2＋(2 018－2x)2＝a2＋b2＝2 020，
a＋b＝2 021－2x＋2x－2 018＝3.
即9－2ab＝2 020.
∴(2 021－2x)2＋(2 018－2x)2＝a2＋b2
＝(a＋b)2－2ab＝2 020，
(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝30，BC＝18，点E，F分别是BC，CD
上的点，且BE＝DF＝x.分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形
CFGH和CEMN.若长方形CEPF的面积为200，则图中阴影部分的面积为
_____．
544
解：在长方形ABCD中，
AB＝30，BC＝18，
∴DC＝AB＝30.
∴CF＝DC－DF＝30－x，
CE＝BC－BE＝18－x.
∵长方形CEPF的面积为200，
设30－x＝a，x－18＝b，
30－x＋x－18＝a＋b＝12.
∴阴影部分的面积为544.
∴S阴影＝(30－x)2＋(18－x)2＝(30－x)2＋(x－18)2
＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝144＋400
＝544.
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培优精练43 数形结合在乘法公式中的
应用
类型一 求证面积关系
1．如图1，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形
后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图2.通过计算阴影部分的面积可
以得到的等式为_________________________．
a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
2．如图，从边长为a＋4的正方形纸片中剪去一个边长为a＋1的正方形(a＞
0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为__________．
6a＋15
类型二 验证公式
3．[2023 厦门十一中期中]从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是_____．(请选择正确的一个)
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．a2＋ab＝a(a＋b)
B
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值；
解：∵x2－4y2＝12，
∴(x＋2y)(x－2y)＝12.
又x＋2y＝4，
∴x－2y＝12÷4＝3.
谢谢大家！
