2023-2024学年北京市海淀区锦秋学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区锦秋学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列标志是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是三角形( )
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条内角平分线的交点
3. 如图，四个图形中，线段是的高的图是( )
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 已知三角形三边长分别为，，，且为奇数，则这样的三角形有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 如图，在中，，，平分交于点，交于点，下列四个结论：
；
点在的垂直平分线上；
图中共有个等腰三角形；
≌；
其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7. 如图，一块三角形的玻璃碎成块图中所标、、，小华带第块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共36.0分）
9. 如图，已知，若以“”为依据证明≌，还需要添加的条件是______ ．
10. 已知，点在的内部，，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的周长为______ ．
11. 如图，在中，，为边上一点，于，连结，，若，则______
12. 若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长满足，则这样的三角形有______ 个
13. 已知，，则______．
14. 如图，一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为______ ．
15. 如图，在中，，，，射线于点，点、分别在线段和射线上运动，并始终保持，要使和全等，则的长为______．
16. 如图，小亮从点处出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处，小亮走出的这个边形的周长是______ 米
三、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
如图，点、、、在一条直线上，，，求证：．
19. 本小题分
如图，在直线一侧、两点，在上找一点，使、、三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
如图，在内部有两点、，是否在、上分别存在点、，使彻、、、，四点组成的四边形的周长最短，找出、两点，保留作图痕迹．
20. 本小题分
如图，已知是等边三角形，于点，于点，，求证：
≌；
是的垂直平分线．
21. 本小题分
爱思考的小候同学在学习因式分解的课上因为走神，没能听到刘老师讲的十字相乘法，因为害怕批评，小侯同学不敢去问刘老师，于是对于使用十字相乘法因式分解的题目，进行了如下研究：
对多项式进行因式分解，小侯同学通过观察发现，这个多项式的前两项与完全平方公式相似，于是他将整个多项式，使得多项式变为：；
随后他先使用完全平方公式变形得到：；
再次通过观察，他发现可以理解为，此时借由平方差公式，可以将这个代数式变为：．
经过验证，所得答案确实为原多项式因式分解的结果，请你按照小侯同学的步骤解决一下问题：
因式分解：；
因式分解：．
22. 本小题分
问题背景：如图，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证：__________________；用，，填空
拓展延伸：如图，将中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请求出，，三条线段的数量关系，并证明；
实际应用：如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标．
23. 本小题分
如图，是等边三角形，延长至点，将点关于直线对称得到点，延长线段至点使得，连接，，，，记线段交直线于点，线段交直线于点，连接请你补全图形，判断的形状，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：根据角平分线性质可知：三角形内一点到三边的距离相等的点是角平分线的交点，
故选：．
根据角平分线的判定定理得出即可．
本题考查了角平分线的判定，能熟记角平分线的判定定理的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高．
【解答】
解：由图可得，线段是的高的图是选项．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意；
故选：．
A.根据合并同类项法则：系数相加减，字母和字母指数不变，进行解答；
B.根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加解答；
C.根据同底数幂相除法则：底数不变，指数相减解答；
D.先根据积的乘方法则计算，再按照幂的乘方法则计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握合并同类项、同底数幂相乘相除、幂的乘方和积的乘方法则．
5.【答案】
【解析】解：三角形三边长分别为，，，
，即，且为奇数，
的取值可以为，，
三角形三边长分别为，，或，，，
这样的三角形有个，
故选：．
根据三角形的三边大小关系即可求解．
本题主要考查三角形三边大小关系，掌握构成三角形三边的大小关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
，所以正确；
，
，
点在的垂直平分线上，所以正确；
，
，
，
，
，，
，
，
、、、、都是等腰三角形，所以正确；
在和中，
，
≌，所以正确．
故选：．
利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到，从而可对进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对进行判断；根据全等三角形的判定方法可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质．
7.【答案】
【解析】解：、块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：．
根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
本题主要考查三角形全等的判定，看这块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，，设的面积为．
，
的面积为，的面积为，
，
的面积的面积，
，
的面积，的面积，
，
的面积的面积，
的面积，
，
的面积为，
故选：．
如图，连接，，设的面积为利用等高模型的性质，用表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论．
本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
9.【答案】
【解析】解：添加条件．
理由：在≌中，
，
≌．
故答案为：．
根据题意，对顶角，若以“”为依据证明≌，还需添加一个边的信息且该边与夹角相邻，据此解题．
本题考查三角形的判定，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，交于，交于，则此时的周长最小，连接，，
关于直线的对称点，关于直线的对称点，
，，，，，
，
，
是等边三角形，
，
即的周长的最小值是，
故答案为：．
作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，交于，交于，则此时的周长最小，连接，，根据对称性质得出，，，，，求出，得出是等边三角形，推出，求出的周长的最小值是，代入即可得出答案．
本题考查了轴对称最短路线问题，对称的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是找出符合条件的、点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】
解：，，
是线段的垂直平分线，
，
，
由题意得，，
解得，．
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：设中间的数为，则前面一个为，后面一个为，由题意得：
，
解得：，
是自然数，
是，，，，，，，，，，，
即这样的三角形有个，
故答案为：．
首先根据连续自然数的关系可设中间的数为，则前面一个为，后面一个为，根据题意可得，再解不等式即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法和幂的乘方进行计算即可．
【解答】
解：，，
．
14.【答案】，，
【解析】解：当时，，理由如下，如图所示：
，，
，
又，
；
当时，，理由如下，如图所示：
，
，
，
，
；
当时，理由如下：
延长交于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
综上，三角形有一条边与平行的所有的度数为：，，．
故答案为：，，．
根据平行线的判定定理分情况求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：，
要使和全等，只需再添加一组直角边相等，
或，
或．
故答案为：或．
由判定的三角形全等的方法可知只需再添加一组直角边相等就满足题意，由此写出的长即可．
本题主要考查了三角形全等的判定方法，清楚判定全等以及分类讨论是本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：走次后构成一个边形，
多边形外角和为，
，
解得，
小亮走出的这个边形的周长是米，
故答案为：．
这个边形每个外角度数为，根据多边形外角和，用除以求出边数，周长为边数乘以边长．
本题主要考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过多边形外角和求解边数．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先计算幂的乘方，再计算整式的除法；
先计算整式的乘法，再合并同类项．
本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由平行线的性质得，，再证，然后证≌，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点，即为所求．

【解析】作点关于直线的对称点连接交与点，连接，，点即为所求；
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交与点，交乙点，连接，，，点，即为所求．
本题考查作图复杂作图，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
20.【答案】证明：是的角平分线，
．
于点，于点，
．
在和中，
，
≌．
．
于点，于点，
．
在和中，
，
≌．
≌，
．
又，
．
在和中，
，
≌．
，．
是的中垂线．
【解析】依据证明≌，依据全等三角形的性质可得到，然后依据证明≌即可；
先证明，然后依据证明≌，由全等三角形的性质可得到，，故此可证明是的中垂线．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：
；
．
【解析】先配方，再由平方差公式因式分解即可；
先配方，再由平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握配方法和平方差公式是解题的关键．
22.【答案】解：，，；
，
证明：在中，，
，，
．
在和中，
≌，
，，
；
点的坐标为．
【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可；
根据三角形内角和定理、平角的定义证明，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可；
根据≌，得到，，根据坐标与图形性质解答．
解：，
证明：，，
，．
，
，
．
在和中，
≌
，，
；
见答案；
如图，作轴于点，轴于点．
点的坐标为，点的坐标为，
，，．
由可知，≌，
，，
，
点的坐标为．
23.【答案】解：补全图形如下：
是等边三角形，证明如下：
是等边三角形，
，，
，关于对称，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形．
【解析】根据题意补全图形，证明≌，可得，从而≌，有，而，即得是等边三角形．
本题考查轴对称性质和等边三角形的性质，判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
第1页，共1页