2023-2024学年广东省深圳市宝安实验学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市宝安实验学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2. 根据下列表格的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是( )
A. B. C. D.
3. 如图，在平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是( )
A. B. C. D.
4. 如果分式中的、都扩大为原来的倍，那么下列说法中，正确的是( )
A. 分式的值不变 B. 分式的值缩小为原来的
C. 分式的值扩大为原来的倍 D. 分式的值扩大为原来的倍
5. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )
A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形
C. 矩形 D. 对角线互相垂直的四边
6. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角
7. 如图，为正方形的对角线，为上的一点，连接，，当时，的度数为( )
A. B. C. D.
8. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长米的盲道由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加米，结果提前天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，绕点顺时针旋转到的位置如果，那么等于( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交，于点和点若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，在四边形中，，，，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
12. 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 若分式的值为，则的值为______ ．
14. 若，，则的值为______ ．
15. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是______．
16. 如图，已知函数为常数和为常数且的图象交于点，则关于的不等式的解集是______ ．
17. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时，恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 先化简，再从，，三个数中选一个合适的数作为的值，代入求值．
四、解答题（本大题共4小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解方程：
；
．
20. 本小题分
解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
21. 本小题分
为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的．
求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？
若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，要使两个工程队施工的总费用不超过万元，则甲工程队至多施工多少天？
22. 本小题分
在等腰中，，点是射线上的动点，垂直于直线于点，交直线于点．
【探索发现】
如图，若点在的延长线上，点在线段上时，请猜想，，之间的数量关系为______ ；
【拓展提升】
如图，若点在线段上不与点，重合，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
【灵活应用】
当，时，直接写出线段的长为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：未明确，，的取值情况，不一定是一元二次方程；
B.不是整式方程，不是一元二次方程；
C.是一元二次方程；
D.整理得，不是一元二次方程；
故选：．
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的定义，注意：、一元二次方程包括三点：是整式方程，只含有一个未知数，所含未知数的项的最高次数是；一元二次方程的一般形式是．
2.【答案】
【解析】解：，，
，，
时，，
即方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
利用，，而，，则可判断方程为常数的一个解的范围是．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，、的角平分线的交点落在边上，
，
，，
，
，，，，
，，
，，即，
由题意可得：，，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可证明是直角三角形，利用勾股定理可求出的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出，，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质和角平分线的性质，勾股定理等知识，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
即如果分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值扩大为原来的倍，
故选：．
先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
故AC．
故选：．
根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．
本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．
6.【答案】
【解析】解：、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故A选项错误；
B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故B选项错误；
C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C选项正确；
D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故D选项错误；
故选：．
根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．
本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
．
故选：．
由四边形是正方形得，又由得，进而解答即可．
本题考查了正方形的性质，关键是根据正方形的性质解答．
8.【答案】
【解析】解：实际每天修建盲道的长度比原计划增加米，且原计划每天修建盲道米，
实际每天修建盲道米．
根据题意得：．
故选：．
根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成修建任务，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：绕点顺时针旋转到的位置，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由作图得：垂直平分，
，
设，则，
，
，即：，
解得：，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质及勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质及勾股定理的应用是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：延长，交于，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
故选：．
延长，交于，根据邻补角的定义得到，求得是等边三角形，推出，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等边三角形 的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
第一次旋转后的坐标为，
第二次旋转后的坐标为，
第三次旋转后的坐标为，
第四次旋转后的坐标为，
第五次旋转后的坐标为，
第六次旋转后的坐标为，
，
次一个循环，
，
第次旋转结束时，点对应点的坐标为，
故选：．
次一个循环，分别求出第一次到第六次的点的坐标，利用规律解决问题即可．
本题考查之比与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：若分式的值为，则
，
解得或，
又当时，分母，
，
的值为，
故答案为：．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．
考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以“分母不为零”这个条件不能缺．
14.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
将所求式子提取公因式，分解因式后，将与的值代入即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，分解因式的方法为提取公因式法，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知是的平分线，
．
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
故答案为：
只要证明即可解决问题．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，函数为常数和为常数且的图象交于点，则关于的不等式的解集是．
故答案为：．
找出直线落在的下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
根据折叠的性质，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
故答案为：．
先根据等边三角形的性质可得，，根据折叠的性质，，再利用平行四边形的性质证明，，利用三角函数值计算出，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握：平行四边形的对边平行且相等，直角三角形角所对的边等于斜边的一半．
18.【答案】解：原式，
当时，原式．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值，注意分母不为，即不能取，．
19.【答案】解：方程两边都乘得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
原方程可变形为：，
或，
，．
【解析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程因式分解法，掌握解分式方程一定要检验是解题的关键．
20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21.【答案】解：设甲队每天完成千米，则乙队每天完成千米．
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解．
．
答：甲队每天修千米，乙队每天修千米．
设甲队改造千米，则乙队改造千米．
根据题意得，
解得：．
，
答：甲工程队至多施工天．
【解析】本题主要考查的是分式方程、一元一次不等式的应用，依据题意列出方程或不等式是解题的关键．
设甲队每天完成千米，则乙队每天完成千米，然后依据甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的列方程求解即可；
设甲队改造千米，则乙队改造千米，然后依据两个工程队施工的总费用不超过万元列不等式求得的范围，从而可求得甲工程队至多施工的天数．
22.【答案】 或
【解析】解：，理由如下：
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
，理由如下：
是等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，
，
≌，
，
，
；
如图，点在线段的延长线上，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，，
；
如图，点在线段上，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，，
．
故答案为：或．
根据等腰直角三角形的性质可知，，再利用垂直的定义及余角的定义可知≌，最后利用全等三角形的性质即可解答；
根据等腰直角三角形的性质可知，，再利用垂直的定义及余角的定义可知≌，最后利用全等三角形的性质即可解答．
根据题意，分点在线段的延长线上，点在线段上两种情况讨论即可解答．
本题考查了三角形的综合应用，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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