2023-2024学年江苏省徐州市部分校高二（上）期初联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省徐州市部分校高二（上）期初联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是( )
A. B. C. D.
2. 过点且垂直于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
3. 圆关于直线对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5. 已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7. 两圆与有且只有一条公切线，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴截距为的直线方程为
10. 对于直线以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
11. 已知直线：和圆：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线：垂直
C. 直线与圆相离
D. 若，则直线被圆截得的弦长为
12. 圆：，直线：，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是( )
A. 直线与圆相交
B. 的最小值是
C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知点在圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为__________．
14. 经过点，并且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是__________．
15. 已知圆过点，则圆的方程为__________．
16. 函数的最小值是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，，．
若点满足，，求点的坐标；
若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
18. 本小题分
在中，，
求边的垂直平分线所在的直线方程；
若的角平分线所在的直线方程为，求所在直线的方程．
19. 本小题分
已知圆的圆心为，且与轴相切．
求的方程
设直线与交于，两点，从条件中选择一个作为已知，求的值．
20. 本小题分
已知圆：，圆，其中．
若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程
设圆与圆的公共弦所在直线为，且圆的圆心到直线的距离为，求直线的方程以及公共弦长．
21. 本小题分
设直线的方程为．
求证：不论为何值，直线必过一定点；
若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长．
22. 本小题分
已知表示圆的方程．
求实数的取值范围；
当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程．
为圆上任意一点，已知，在的条件下，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题．
根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．
【解答】
解：对于：斜率，倾斜角是锐角，
对于：斜率，倾斜角是钝角，
对于：斜率，倾斜角是角，
对于：斜率不存在，倾斜角是直角，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线方程，属于基础题．
过点且垂直于直线的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程，并化为一般式．
【解答】
解：过点且垂直于直线的直线的斜率为，
由点斜式求得直线的方程为，
化简可得，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程，属于基础题．
设对称圆的方程为，则，解出即可．
【解答】
解：设对称圆的方程为，则
解得
故所求圆的方程为，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系，属于一般题．
直线与线段有公共点且过点，直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，利用斜率计算公式即可得出．
【解答】
解：直线与线段有公共点且过点
直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间
，
直线的斜率的取值范围是
直线的倾斜角的取值范围为，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长公式的运用，属于中档题．
化圆的方程为标准方程，求出圆心和半径，判断点与圆的位置关系，以及线段，的位置关系，然后解出、，即可求四边形的面积．
【解答】解：将圆的方程化成标准形式为 ，所以圆心为，半径为；
由于点到圆心的距离为，小于半径，则点在圆内，
则最长弦是直径，最短弦的中点是，且
，，
则
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用斜率的几何意义求出取值范围，属于基础题．
将原问题转化为斜率问题，然后考查临界条件和直线与圆的位置关系即可得出取值范围．
【解答】
解：圆的方程化为，圆心，半径为，
过点作圆的切线，设切线方程为，即．
则，解得．
则的取值范围为．
故本题选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的公共弦、公切线，圆与圆的位置关系，由基本不等式求最值，属于中档题．
根据题意，由两个圆的方程确定两个圆的圆心与半径，结合共切线的条数可得两圆内切，进而可得，变形可得，可得，利用基本不等式即可求出的最小值．
【解答】
解：根据题意可得，圆的圆心为，半径为，
圆，即，
圆的圆心为，半径为，
若两圆有且只有一条公切线，则两圆内切，则有，变形可得，
则，
、，则，当且仅当时等号成立，
故，即的最小值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想．
先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为，的最小值为，故最大值是 ，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
【解答】
解：圆：的圆心，半径为，
圆：的圆心，半径是．
要使最大，需最大，且最小，最大值为，的最小值为，
故最大值是
关于轴的对称点，，
故的最大值为，
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线的点斜式方程、斜截式方程、直线方程的运用，属于基础题．
根据相关知识逐个分析解答．
【解答】
解：对于，该直线过一、二、四象限，
所以直线的斜率，截距，
故点在第二象限，A正确；
对于，由直线方程得到，
所以无论取何值点都满足方程，B正确；
对于，由点斜式方程知正确；
对于，由斜截式直线方程得到斜率为，
在轴上的截距为的直线方程为，D错误．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定、两条直线垂直的判定、直线系方程及其应用、点到直线的距离公式，属于中档题
求出的充要条件即可判断验证时，两直线斜率之积是否为，判断求出直线经过的定点即可判断判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断．
【解答】
解：当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，故C错误；
因为直线过定点，
当直线与点和的连线垂直时，
到直线的距离最大，最大值为 ，故D正确，
故选BD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系应用，涉及直线被圆截得的弦长问题、直线过定点问题、直线与圆位置关系的判断，以及两直线垂直的判定与应用，属于中档题．
选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点；
选项，两直线斜率存在且垂直，则斜率乘积为，从而存在满足题意；
选项，直线过的定点在圆的内部，由此可以判断选项；
选项，当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长．
【解答】
解：直线，即，则直线恒过定点，故A错误；
当 时，直线与直线垂直，故B正确；
定点在圆：内部，直线与圆相交，故C不正确：
当时，直线化为，即，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为，故D正确，
故选BD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了点到直线的距离公式，斜率公式，直线与圆的位置关系，有关圆的最值问题，属于中档题．
由圆心到直线的距离可判断，当时，的值最小，可判断，当时，切线长最小，可判断，由数形结合可得到．
【解答】
解：圆，
，圆心，，
圆心到直线的距离为： ，
直线与圆相离，故A错误；
当且，，共线时，的值最小，
最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故B正确；
从点向圆引切线，
当时，切线长最小，最小值是，故C正确；
根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线恒过，，
又曲线图象为以为圆心，为半径的半圆，
当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，
即，解得：
当直线过点时，直线的斜率为，
则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，求出圆心距离是解决本题的关键．
【解答】
解：圆心坐标为，半径，圆心坐标为，半径，
则，
则的最小值为，
故答案为．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
当直线经过原点时，直线方程为：，当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入解得即可得出．
【解答】
解：当直线经过原点时，直线方程为：，即满足题意，
当直线不经过原点时，设直线方程为：，
把点代入，解得，
直线方程为，
综上可得直线方程为：或．
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的方程求法，属于基础题．
利用待定系数法即得．
【解答】
解：设圆的方程为，
则
解得，
所以圆的方程为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，
令，，，
则，
函数的几何意义是动点到定点，两点距离之和的取值范围，
由图象可知，当，，三点共线时，的值最小，
此时，
故答案为：．
将根式进行配方，将函数转化为两点间的距离关系进行求解即可．
本题主要考查函数的最值的求法，利用根式的特点将代数问题转化为几何问题是解决本题的关键，考查了两点之间线段最短的性质．
17.【答案】解：设，由题意得，．
因为，所以，即
又，所以，即
由，得，，即．
如图所示：
设，因为，所以．
又，，所以，即，
所以，又，所以轴，
故直线的倾斜角为．

【解析】本题考查两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系，直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．
第问中，若存在，两直线垂直，则有，两直线平行，则有，设出点的坐标，列方程组即可求解．
第问中，根据，可知，设点坐标列方程即可求解．
18.【答案】解：设边的垂直平分线为，
有题可知，，
又可知中点为，
的方程为，即，
设关于直线的对称点的坐标为；
则，解得，所以，
由题可知，两点都在直线上，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
所以所在直线方程为．

【解析】本题考查求直线方程，属于一般题求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，再定量．
设边的垂直平分线为，求出，即得边的垂直平分线所在的直线方程；
设关于直线的对称点的坐标为，求出即得解．
19.【答案】解：因为圆心坐标为，且圆与轴相切，
所以圆心到轴的距离等于半径，则半径，
所以圆的方程为：；
若选条件，，
设圆心到直线的距离为，
由，得，
由点到直线的距离公式得，，
解得．
若选条件，，
设圆心到直线的距离为，
因为，则，
由点到直线的距离公式得，，
解得．
【解析】本题考查求圆的标准方程、点到直线的距离公式，圆的弦长问题，属于中档题．
由题意可得圆心到轴的距离等于半径，得半径，然后可得圆的标准方程；
若选条件，设圆心到直线的距离为，由，可得，再由点到直线的距离公式即可求的值；
若选条件，设圆心到直线的距离为，由勾股定可得，再由点到直线的距离公式可求的值．
20.【答案】解：当时，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
圆心距，所以两圆内切；
因为两圆内切，所以公切线只有一条，
而且两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：；
两圆公共弦所在直线的方程为：，
圆的圆心到直线的距离，
于是，或舍，所以直线的方程为；
因为圆半径 ，弦心距，
由勾股定理可得半弦长为，所以公共弦长为．
【解析】本题考查圆与圆的位置关系、圆的公切线方程的求解、点到直线的距离公式以及两圆相交公共弦的问题，属于中档题．
若，得到两个圆的圆心和半径，进而根据圆心距与半径的大小关系得到两个圆的位置关系由两个圆内切，将两个圆方程作差，消去平方项，即可得到两圆公切线方程
先得出两个圆公共弦所在直线的方程为：，再根据点到直线的距离公式，建立的方程，解得的值，进而得到直线的方程，再运用勾股定理求出公共弦长．
21.【答案】证明：由得，
则，解得
所以不论为何值，直线必过一定点；
解：由得，
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号．
，，
的周长为．

【解析】本题考查直线方程的综合应用、直线的截距、面积的计算、基本不等式的应用，考查计算能力，属较难题．
将直线方程写为，令，即可得到直线必过一定点；
由直线方程，分别令，，得到直线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，再利用基本不等式，找到等号成立的条件，即可求的周长．
22.【答案】解：由题可知：，
该方程表示圆，则，
即，解得．
则实数的取值范围为；
令， ，
开口向下，对称轴为，
当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为，
当切线的斜率不存在时，切线方程为满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即．
圆心到切线的距离等于半径长，
即，解得，
即切线方程为，即；
综上所述，所求切线方程为和；
设，
则，
设，则表示圆上的点与点的距离的平方，
由知，
又，则点在圆外面，
所以，
则．
则的最小值为．

【解析】本题考查圆的方程，圆的切线以及点到圆上的点的最值问题．
根据方程表示圆，列出不等式，从而可得答案；
求出圆的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；
设，则，设，则表示圆上的点与点的距离的平方，求出的最小值，即可得解．
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