2023-2024学年江苏省连云港市部分校高二（上）期初联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港市部分校高二（上）期初联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，则( )
A. B. C. D.
4. 已知直线，则直线倾斜角度数为( )
A. B. C. D.
5. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
6. 已知直线与直线平行，则实数的值为．( )
A. B. C. 或 D. 不存在
7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，椭圆的面积为，过点的直线交椭圆于点，，且的周长为则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
8. 是椭圆上的一点，和是焦点，若，则的面积等于( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知直线，则( )
A. 直线过定点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，两直线之间的距离为
10. 已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是( )
A. 圆的圆心为 B. 圆被轴截得的弦长为
C. 圆的半径为 D. 圆被轴截得的弦长为
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一个动点，则下列结论中正确的是 ( )
A.
B. 离心率
C. 当点不在轴上时，面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
12. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 点到右焦点的距离的最大值为，最小值为
B. 的最小值为
C. 若，则的面积为
D. 直线与直线斜率乘积为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 内角，，的对边分别记为，，，若，，，则___．
14. 若直线经过原点，且经过两直线，的交点，则直线的方程为__________．
15. 圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是__________．
16. 如图，过，斜率为的直线交椭圆于两点，为点关于轴的对称点，直线交轴于点，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知直线：
若直线在轴上的截距为，求实数的值；
若直线与直线：平行，求两平行直线与之间的距离．
18. 本小题分
已知的顶点，，．
求边的中垂线所在直线的方程；
求的面积．
19. 本小题分
已知方程的曲线是圆．
求的取值范围；
当时，求圆截直线所得弦长．
20. 本小题分
为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过、、三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系．
试写出，的坐标，并求两个观测点，之间的距离；
某日经观测发现，在该平台正南处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
21. 本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为．
求椭圆的方程
直线与椭圆相交于，两点，求弦长．
22. 本小题分
如图，已知椭圆：的左顶点，且点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点．
求椭圆的标准方程；
若点的横坐标为，求与面积的比值；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集及其运算，属于基础题．
由交集的运算法则直接可得．
【解答】
解：，，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，属于基础题．
直接根据计算即可．
【解答】
解：．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
利用向量的坐标运算法则求解．
本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设直线的倾斜角为，可得，即可得出．
【解答】解：设直线的倾斜角为，．
则，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题．
解决本题的关键是由圆与轴相切求出圆的半径，进而得到答案．
【解答】
解：所求圆以点为圆心，且与轴相切，
圆的半径为，
圆的标准方程为．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两条直线平行的判定，属于基础题．
直线：与直线：平行，分类讨论即可求解．
【解答】
解：直线：与直线：平行，
当时，，，显然两直线不平行，故舍去；
当时，，
解得或．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
利用已知条件列出方程组，求出，，然后求解椭圆方程即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查，属于基础题．
【解答】
解：由题意可得，解得，，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的简单性质．通过解三角形，利用边和角求得问题的答案．
先根据椭圆的方程求得，进而求得，设出，，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面积公式求解．【解答】
解：设，，，
，，
在中利用余弦定理可得，
求得，
的面积为，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线过定点，两直线的平行、垂直，以及两平行线的距离，属于基础题．
化为，由，求得直线过定点；当时，由，判定两直线不垂直；当时，得直线：，两直线平行；由时，得，由两平行线距离公式求得距离．
【解答】
解：：，化为：，
由，得
直线过定点，故A正确；
当时，直线：，：，，所以两直线不垂直，故B错误；
当时，直线：，：，所以两直线平行，故C正确；
当时，，解得，此时直线：，：，两平行线距离为，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆被轴，轴所截的弦长问题，属于基础题．
将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心坐标和半径，即可判断是否正确，再令和，算出弦长可判断是否正确．
【解答】
解：由圆的一般方程为，则圆，
故圆的圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，则圆被轴截得的弦长为，故D正确；
令，得或，则圆被轴截得的弦长为，故B正确．
故选ABCD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程以及它的几何性质，属于基础题
，选项根据，，即可判断；当点为椭圆的上下顶点时面积最大，即可判断；根据直线与圆的位置关系可得
【解答】
解：．，由椭圆的定义知，故A正确；
B.，，故，故B错误；
C.，当点为椭圆的上下顶点时，取最大值为，
此时面积取最大值为，故C错误；
D.以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，故D正确；
故选AD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的定义，几何性质的应用，属于中档题．
对于选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于，由椭圆性质知：点为椭圆的上或下顶点时，最大，由余弦定理求解即可；对于，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于，结合斜率公式及点在椭圆上，化简即可．
【解答】
解：由椭圆的方程得：
，
则，．
，当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，为，
当点为椭圆的右顶点时，点到右焦点的距离的最小，为，
故A正确；
，当点为椭圆的上或下顶点时，最大，
且余弦函数单调递减，
故此时取得最小值，
且，
由余弦定理得：
，
故B错误；
，由题意得：，
由椭圆定义得：，
即，
得：，
的面积为，
故C正确；
，设，又点是椭圆上的一个动点，
则，即，
直线与直线斜率乘积为：
，
故D正确．
故答案选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用三角形面积公式可求的值，进而利用余弦定理，即可解得的值．
【解答】
解：，
，
解得，
由余弦定理可得：
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：联立，解得，，即直线与的交点坐标为，
直线的斜率，
，即，
故答案为：．
联立已知两直线的方程，解方程组可得交点，进而可得直线的斜率，可得直线的方程．
本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线交点坐标的求法的合理运用．
15.【答案】
【解析】解：圆心在轴上且过点的圆与轴相切，
设圆的圆心，半径为．
则：．
解得．
所求圆的方程为：．
故答案为：．
由题意求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．
本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，属于拔高题．
设，直线与椭圆联立，直线的方程为，令得的横坐标为，由根与系数的关系化简可得结果．
【解答】
解：设，
直线的方程为，
则消去得，
则，
直线的方程为，
令得的横坐标为，
故
，
故答案为．
17.【答案】解：若直线：，令，求得在轴上的截距为，
实数．
若直线：与直线：平行，
则，解得，
故：，即，
求两平行直线与之间的距离为．
【解析】本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义，两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
18.【答案】解：直线的斜率为，则直线边的中垂线的斜率为，
直线边的中点坐标为
直线边的中垂线的方程为：，即．
直线的方程为：，即，
点到直线的距离，
，
故的面积为．
【解析】本题考查点斜式直线方程、两直线垂直的判定及应用，两点之间的距离公式、点到直线距离公式、三角形面积计算公式，属于基础题．
根据题意得到边上的中垂线的斜率为，再利用点斜式即可得出．
利用两点之间的距离公式可得，利用点到直线距离公式可得点到直线的距离，即可得出的面积．
19.【答案】解：，
方程的曲线是圆，
或．
时，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
圆截直线：所得弦长为：．
【解析】化简方程为圆的标准形式，然后求解的取值范围；
当时，求出圆的圆心与半径利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足的勾股定理，求圆截直线：所得弦长．
本题考查圆的标准方程的应用，仔细与圆的位置关系，考查计算能力．
20.【答案】解：由题意可知点，，
；
由知，，，
设过，，三点的圆的方程为，
，
，
所以圆的方程为：，
圆心，半径为；
轮船航线所在的直线方程为：；
圆心到直线的距离，故轮船会进入安全预警区域；
进入预警区的时长为小时，
即它在安全警示区内会行驶小时．
【解析】本题考查了直线与圆的实际应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．
利用题中的数据关系，即可直接解出点，的坐标，再由两点间距离公式即可解出；
解出过点，，三点的圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可做出判断．
21.【答案】解：Ⅰ椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为，
，，
，
故要求的椭圆的方程为；
Ⅱ把直线代入椭圆的方程化简可得，
，，
弦长
．
【解析】本题主要考查椭圆的性质和标准方程的应用，韦达定理及弦长公式，属于基础题．
Ⅰ利用椭圆的简单性质和标准方程求得、的值，即可得到椭圆的方程；
Ⅱ利用弦长公式求得弦长的值．
22.【答案】解：由题意可得，，解得，
所以椭圆的标准方程为：；
由可得，，
令，代入椭圆中可得：，解得：，
因为，所以，所以，
所以直线的方程为：，即．
，整理可得：，
解得或，
所以可得，
所以，
，
所以，
所以与面积的比值为；
设直线的方程为，
联立，整理可得：
，
所以，
所以，
代入直线的方程为：，
所以，
当轴，则，，则，
这时，这时，
显然，不垂直，
当不垂直于轴时，，，
所以直线的方程为：，
直线的方程为：，
联立，可得，
即，
又因为在椭圆上，所以，
整理可得：，解得，又，
解得．
综上所述：的值为．
【解析】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，两条线垂直的性质，属于中档题．
由顶点的坐标可得的值，再由点的坐标代入椭圆的方程可得的值，进而求出椭圆的标准方程；
由的横坐标代入及，可得在第一象限，求出的纵坐标，进而求出的方程，与椭圆联立求出的坐标，进而求出与面积，求出面积之比；
设直线方程，与椭圆联立求出两根之积，可得的坐标，分与轴垂直时可得的坐标，进而可得的值和的坐标，可得直线的斜率，可得斜率不是互为负倒数，舍弃；当与轴不垂直时，求出直线的斜率，进而求出直线的方程，由可得的斜率及直线的方程，与的方程联立求出的坐标，代入椭圆的方程可得的值．
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