2023--2024学年苏科版九年级数学上册第一单元 一元二次方程 知识点综合练（含答案）

第一章（巩固知识点）
知识1
什么是一元二次方程？ 一元二次方程的三要素？
典例：下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
小练习
1.下列方程中，一元二次方程共有（　　）
①3x2+x＝20 ②2x2﹣3xy+4＝0 ③x3﹣x＝1 ④x2＝1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
知识2
一元二次方程一般形式：
一元二次方程一般形式中，谁是二次项、二次项系数？ 对应的一次项，一次项系数是什么？常数项又是谁？
典例：
将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
小练习
将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2
知识3
什么是一元二次方程的解（根）？ 形如关于x的一元二次方程：x2+1=5，它的解或根指的是？
典例：
关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根x=0,则a的值为（ ）
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
小练习
1. 若关于x的方程有一个根是1，则m的值为（　　）
A 3 B. 2 C. 1 D.
2.已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（　　）
A．2019 B．2021 C．2023 D．2026
3.若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2023的值为　 　．
知识4
解一元二次方程的方法
直接开平方 什么样的形式可以直接开平方？ ②配方法 什么叫做配方法？ 步骤是什么？
③公式法 公式是什么 ④因式分解法 什么叫做因式分解法？ 因式分解有哪些方法 ？
①②④都是把一元二次方程转化为一元一次方程，既为什么？
典例：
解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣36＝0 （2）﹣2x2﹣2x﹣＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4 （公式法） （4）（x+3）2＝（1﹣2x）2
小练习
（4-y）2-2=0 （2） 2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+3）（x﹣1）＝5 （公式法） （4） （x+1）2=3x+3
知识5
一元二次方程根的判别式是什么？
典例：
若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）．
小练习
1.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
2已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
知识6
一元二次方程根与系数之间的关系是什么？
典例：
已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．则　 　
小练习
1.于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
2.已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．求x1﹣x2的值．
拓展
换元
①已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2023的值为　 　．
②已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
③ 已知一元二次方程a（x2+m）2+n＝0(a≠0)的两根分别为-3，1，则方程a（x2+m-2）2+n＝0(a≠0)的两根分别是　 　．
2.最值
①求代数式+4y+8的最小值
②求代数式4-+2m的最大值
③已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
3.新运算
定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
知识7
用一元二次方程解决的问题有哪些？
平均增长（降低）率问题： a为起始量，x为平均增长率，n为增长（降低）次数，b为终止量，
则平均增长率公式：
平均降低率公式：
典例
某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？
小练习
某服装厂促销一种服装，原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为__________．
销售利润问题：利润= 利润率=
典例
某家电超市销售一款智能水壶，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件水壶每降价元，超市平均每天可多售出件，若超市销售水壶平均每天要赢利元，每件水壶应降价多少元？
小练习
1. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫价格每降低1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
2.某体育用品店销售一种运动鞋，当每双的零售价为300元时，每天能卖出10双，经过调研发现，当单价降低1元，每天就能多卖出10双，但是单价不能低于200元，按此规律，如果该店某天销售这种运动鞋的销售额为3960元，则这一天共卖出多少双这种运动鞋？
3.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求每次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
③传染问题 传染源+第一轮被传染人数+第二轮被传染人数= 第二轮被传染后的总人数
典例
有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了___人。
小练习
有人患了流感后，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
④几何图形问题
典例1
如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．
（1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？
（2）能围成总面积为240m2的长方形花圃吗？说明理由．
小练习
如图，要设计一幅宽20 cm，长 40 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1:2.如果要使得彩条之外的面积为512 cm2，求设计横彩条的宽度
典例2
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
小练习
如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
答案 第一章（巩固知识点）
知识1
什么是一元二次方程？ 一元二次方程的三要素？
①等式两边都是整式，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2的方程
典例：下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ D ）
A. B. C. D.
小练习
1.下列方程中，一元二次方程共有（　B　）
①3x2+x＝20 ②2x2﹣3xy+4＝0 ③x3﹣x＝1 ④x2＝1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝　-1 　．
知识2
一元二次方程一般形式： ax2+bx+c＝0（a＞0）
一元二次方程一般形式中，谁是二次项、二次项系数？ 对应的一次项，一次项系数是什么？常数项又是谁？ ax2 a bx b c
典例：
将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　B　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
小练习
将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　C　）
﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2
知识3
什么是一元二次方程的解（根）？ 形如关于x的一元二次方程：x2+1=5，它的解或根指的是？
使方程左右两边都相等的未知数的值 x的值
典例：
关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根x=0,则a的值为（ B ）
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
小练习
1. 若关于x的方程有一个根是1，则m的值为（　A　）
A 3 B. 2 C. 1 D.
2.已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（　B　）
A．2019 B．2021 C．2023 D．2026
3.若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2023的值为　2022 　．
知识4
解一元二次方程的方法
直接开平方 什么样的形式可以直接开平方？ ②配方法 什么叫做配方法？ 步骤是什么？
形如（x+h）2＝k(k≥0)的关于x的方程 把一元二次方程变形为（x+h）2＝k的形式，当k≥0时，可以直接开平方
步骤 二次项系数化为1； 移项：把常数项移到右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方：用直接开平方解方程
③公式法 公式是什么 ④因式分解法 什么叫做因式分解法？ 因式分解有哪些方法 ？
方程左边写成两个因式（两个一次式）相乘的形式，右边为0
提取公因式 公式法 十字相乘法
①②④都是把一元二次方程转化为一元一次方程，既为什么？
降次
典例：
解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣36＝0 （2）﹣2x2﹣2x﹣＝0 （配方法）
解：方程变形得：（x﹣1）2＝36 解：两边都除以-2，得x2+x+＝0
x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6 （x+）2＝0
x1＝7，x2＝﹣5 则x1＝x2＝ -
（3）（x+1）（x﹣2）＝4 （公式法） （4）（x+3）2＝（1﹣2x）2
解：方程变形得：x2﹣x﹣6＝0， 解：方程变形得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6， （x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0
b2﹣4ac＝1+24＝25， 则 ﹣x+4＝0或3x+2＝0
则x， x1＝4，x2
x1＝3，x2＝﹣2；
小练习
（1）（4-y）2-2=0 （2） 2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
解：方程变形得：（4-y）2=2 解： 方程变形得：x2x
(y-4）2=4 则 x2x
y-4=2或y-4=-2 （x）2
=6, =2 x 或 x
x1，x2
(3) （x+3）（x﹣1）＝5 （公式法） （4） （x+1）2=3x+3
解：方程变形得x2+2x﹣8＝0， 解：方程变形得 （x+1）2﹣3x-3=0
a＝1，b＝2，c＝﹣8， （x+1）2﹣3（x+1）=0
b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣8）＝36 （x+1）（x+1-3）=0
则x x+1=0或x+1-3=0
x1 ， x2 x1＝-1，x2
知识5
一元二次方程根的判别式是什么？
△＝b2﹣4ac
典例：
若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）． m大于1即可
小练习
1.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤5且m≠4 　．
2已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2， 方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
故△ABC的周长＝2+2+1＝5．
知识6
一元二次方程根与系数之间的关系是什么？
+=- =
典例：
已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．则　2 　
小练习
1.于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　C　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
2.已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．求x1﹣x2的值．
x1+x2＝4，x1 x2＝2
x1﹣x2＝±±±2
拓展
换元
①已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2023的值为　2026 　．
解：令x2﹣x＝t，∴t＝x2﹣x＝（x）2， ∴t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，即x2﹣x＝3，∴原式＝3+2023＝2026
②已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　D　）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．
③ 已知一元二次方程a（x2+m）2+n＝0(a≠0)的两根分别为-3，1，则方程a（x2+m-2）2+n＝0(a≠0)的两根分别是　 -1, 3 　．
2.最值
①求代数式+4y+8的最小值
最小值4
②求代数式4-+2m的最大值
最大值5
③已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　B　）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
3.新运算
定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　C　）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．
知识7
用一元二次方程解决的问题有哪些？
平均增长（降低）率问题： a为起始量，x为平均增长率，n为增长（降低）次数，b为终止量，
则平均增长率公式： a（1+x）n＝b
平均降低率公式： a（1- x）n＝b
典例
某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？
20%
小练习
1.某服装厂促销一种服装，原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为．
销售利润问题：利润=售价 - 进价 利润率= 00%
典例
某家电超市销售一款智能水壶，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件水壶每降价元，超市平均每天可多售出件，若超市销售水壶平均每天要赢利元，每件水壶应降价多少元？
解：设每件水壶应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件
依题意得：
整理得：
解得：， 又要尽快减少库存，符合题意。
小练习
1. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫价格每降低1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（ A ）
A. B.
C. D.
2.某体育用品店销售一种运动鞋，当每双的零售价为300元时，每天能卖出10双，经过调研发现，当单价降低1元，每天就能多卖出10双，但是单价不能低于200元，按此规律，如果该店某天销售这种运动鞋的销售额为3960，则这一天共卖出多少双这种运动鞋？
解：设这一天共卖了双运动鞋 ∵30010=3000<3960
∴x=3960
解得：， ∵当时，300-=180<200，故不合题意舍去
3.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求每次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得，（不符合题意）
（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
解得： 答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元
③传染问题 传染源+第一轮被传染人数+第二轮被传染人数= 第二轮被传染后的总人数
典例
有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了_12__人。
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则
整理得： 解得，（舍去）
小练习
有人患了流感后，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ A ）
B． C． D．
④几何图形问题
典例1
如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．
（1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？
（2）能围成总面积为240m2的长方形花圃吗？说明理由．
（1）设AB的长是x米，则BC的长为（48﹣3x）米，根据题意列方程得，
x（48﹣3x）＝180， 解得x1＝6，x2＝10，
当x＝6时，48﹣3x＝30＞25，不符合题意，舍去； 当x＝10时，48﹣3x＝18＜25，符合题意；
（2）不能，理由如下：
同（1）可得x（48﹣3x）＝240， 整理得x2﹣16x+80＝0，
△＝（﹣16）2﹣4×80＝﹣64＜0，所以此方程无解， 即不能围成总面积为240m2的长方形花圃．
小练习
如图，要设计一幅宽20 cm，长 40 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1:2.如果要使得彩条之外的面积为512 cm2，求设计横彩条的宽度
设横彩条宽度为，则竖彩条的宽度为，
根据题意得：，化简得：，，
解得：（不合题意，舍去），， 答：设计横彩条的宽度为．
典例2
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
（1）设x秒后，PQ＝2 BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2 ∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去） ∴3秒后，PQ的长度等于2；
（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：
设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t 又∵S△PQBBP×QB＝7
（5﹣t）×2t＝7 ∴t2﹣5t+7＝0 △＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0
∴方程没有实数根 ∴△PQB的面积不能等于7cm2．
小练习
如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
（6﹣x）×2x＝8，
方程变形得x2﹣6x+8＝0，则 x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
方程变形得5y2﹣12y﹣17＝0，则y1，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．