2023-2024学年四川省眉山市彭山重点中学高三（上）入学数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市彭山重点中学高三（上）入学数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4. 已知是偶函数，则( )
A. B. C. D.
5. 已知第二象限角满足，则( )
A. B. C. D.
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录表的数据的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为( )
A. B. C. D.
7. 设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
8. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9. 某学校举办作文比赛，共个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A. B. C. D.
10. 已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
11. 双曲线的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知点在抛物线：上，则到的准线的距离为______ ．
14. 若，满足约束条件则的最小值为______．
15. 已知函数的部分图象如图所示，则 ．
16. 已知点，，，均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，平面，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床
乙机床
合计
甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．


18. 本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
19. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知．
若，，求的面积；
若，求．
20. 本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，．
求三棱锥的体积；
已知为棱上的点，证明：．
21. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线过点且倾斜角为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
写出直线的参数方程用点坐标与表示和曲线的极坐标方程；
设直线与曲线交于，两点，求的最小值．
23. 本小题分
已知函数，函数的最小值为．
求的值；
已知，，均为正数，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合补集、并集的运算，即可求解．
本题主要考查补集、并集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故选：．
由已知求得与的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
根据偶函数的性质，运算即可得解．
本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
解得或舍去，
所以．
故选：．
由，结合正切两角和公式化简，求得，利用万能公式即可求解．
本题考查三角恒等变换，考查三角函数求值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，当时，，
则．
故选：．
根据，关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解．
本题考查了指数与对数的互化计算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图，为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成的区域为圆环，
而直线的倾斜角不大于的点构成的区域为图中阴影部分，
所求概率为．
故选：．
作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．
本题考查几何概型的概率的求解，属基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】
解：若是等差数列，设数列的首项为，公差为，
则，
即，
故为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若为等差数列，则可设，
则，即，
当时，有，
上两式相减得：，
当时，上式成立，所以，
则常数，
所以数列为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：某学校举办作文比赛，共个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数，
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为．
故选：．
利用古典概型、排列组合等知识直接求解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接、，
由于圆锥的底面半径为，即，
而，故AB，
同时，
中，，为的中点，则有，
又由的面积等于，即，变形可得，
而，则有，解可得，
故该圆锥的体积
故选：．
根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接，利用余弦定理求出的长，分析可得，由三角形面积公式求出的长，由此求出的值，由圆锥的体积计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积计算公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以，
联立，可得，，即，
因为直线的斜率，
整理得，
联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
结合点到直线的距离公式先求出，联立渐近线方程及所在直线方程可求，进而表示出直线的斜率，结合已知可求，，进而可求双曲线方程．
本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用．
由已知得的周期为，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
所以的图象关于中心对称，则，
因为为偶函数，
所以，
所以的图象关于直线轴对称．
由，得，
所以，
则，即的周期为，
所以，
又因为，，，
所以，则，
因为当时，，
即，解得，
所以，当时，，
所以．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：点在抛物线：上，
则，解得，
由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合抛物线的定义，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最小值为．
故答案为：．
由约束条件直线可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于基础题．
根据图象可得的最小正周期，从而求得，然后利用五点作图法可求得，得到的解析式，再计算的值．
【解答】
解：由图可知，的最小正周期，
所以，因为，
所以由五点作图法可得，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设的外接圆圆心为，半径为，
则，解得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，，
则，，
，，解得．
故答案为：．
先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．
本题考查正弦定理、三角形外接圆半径，直棱柱的外接球及球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为件，
因为甲的一级品的频数为，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为，所以乙的一级品的频率为；
根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【解析】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
根据列联表，求出，再将的值与比较，即可得出结论．
18.【答案】解：在等差数列中，，．
，即，
得，，
则
，
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
【解析】建立方程组求出首项和公差即可．
求出的表达式，讨论的取值，然后进行求解即可．
本题主要考查等差数列的通项公式和数列求和，建立方程组求出首项和公差是解决本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：中，，，，
，
舍去，，，
．
，
即，
化简得，
即，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于中档题．
根据题意，，通过余弦定理，即可求得，，进而通过三角形面积公式；
通过三角形三角和为，将代入，根据的范围，即可求得．
20.【答案】解：在直三棱柱中，，
又，，，平面，
平面，
，
平面，又平面，
，
又，故，
，
而侧面为正方形，
，
，即三棱锥的体积为；
证明：如图，取中点，连接，，设，
点是的中点，点时的中点，
，
，
、、、四点共面，
由可得平面，
平面，又平面，
，
，且这两个角都是锐角，
，
，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
．
【解析】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．
先证明平面，即可得到，再根据直角三角形的性质可知，最后根据三棱锥的体积公式计算即可；
取中点，连接，，先证明，从而得到、、、四点共面，再由及线面垂直的性质定理可得，通过角的正切值判断出，再通过角的代换可得，，再根据线面垂直的判定定理可得平面，进而得证．
21.【答案】解：，，
当，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；
当，即时，令，解得，
令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减．
设曲线过坐标原点的切线为，切点为，
则切线方程为，
将原点代入切线方程有，，解得，
切线方程为，
令，即，解得或，
曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．
【解析】对函数求导，分及讨论导函数与零的关系，进而得出的单调性情况；
先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线联立，即可求得公共点坐标．
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
22.【答案】解：直线过点且倾斜角为，则直线的参数方程为为参数；
由曲线的方程，得．
，，
曲线的极坐标方程为；
把为参数代入，
可得．
设、对应的参数分别为，，
，，，
则
，当且仅当时等号成立．
的最小值为．
【解析】直接由已知写出直线的参数方程；结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；
把直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合参数的几何意义求解的最小值．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
23.【答案】解：依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以的值为；
由知，，而，，均为正数，
所以，当且仅当时取等号，
由解得，，，
所以当，，时，取得最小值．
【解析】利用绝对值三角不等式求解作答．
由的结论，利用柯西不等式求解作答．
本题考查了绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．
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