2.2 圆的对称性 强化提优训练（二）（含答案） 2023-2024学年苏科版九年级数学上册

2023-2024学年苏科版九年级数学上《2.2圆的对称性》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1.下列命题中,正确的个数是(　　)①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦;②平分弦的直径平分弦所对的弧;③垂直于弦的直线必过圆心;④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2．如图线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
3．如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
4．如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
7．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A．4 B． C． D．
10．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题(30分)
11.如图,☉O的半径为5,弦AB的长为8,半径OD过弦AB的中点C,则CD的长为　　　　.
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12.如图,AB是☉O的直径,点P是的中点,若BD=8,BP=2,则AD的长为　　　　.
13.如图,AB为☉O的直径,AE为☉O的弦,C为优弧的中点,CD⊥AB,垂足为D.若AE=8,DB=2,则☉O的半径为　　　　　.
14．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是_______.
15．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值是______.
16．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为________
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为_________.
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是______.
19．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 　．
20．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝　 　．
三．解答题（60分）
21.（8分）如图所示的是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面,其为圆弧形,跨度AB(弧所对的弦)为3.2米,拱高(弧的中点到弦的距离)为0.8米.
(1)求该圆弧所在圆的半径;
(2)在距蔬菜棚的一端(点B)0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的长度.
22.（8分）木工师傅经常要测量圆木截面的直径,实际上不易操作,为解决这一难题,小颖设计了一个测圆工具,如图所示,在长为h的木条AB的中点钉另一根木条MN,MN⊥AB,在木条MN上自MN上某一点向N标注刻度,使用时,将A、B置于圆上,读出MN与圆的交点C处的刻度,就可以知道圆的直径,设MC=d.
(1)用含h,d的式子表示该圆的直径;
(2)若h=2,圆木截面的直径为5.2,则MC的长度为多少
23．（10分）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB＝6，求CD的长．
24．（10分）如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点．
（1）求证：△EBD≌△EBF；
（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长．
25．（12分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
教师样卷
一．选择题(30分）
1.下列命题中,正确的个数是(　B　)①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦;②平分弦的直径平分弦所对的弧;③垂直于弦的直线必过圆心;④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2．如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ D ）
A．5 B．6 C．8 D．10
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
3．如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（　C　）
A．2 B．3 C．5 D．6
4．如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
5.如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，顶点的坐标为（ B ）
A． B． C． D．
6．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ A ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
7．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　C　）
A．2 B．2 C．2 D．4
解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　A　）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
解：连接AC，由题意得，BC＝OB+OC＝9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC＝9，在Rt△AOC中，AO＝＝2，∵a＜0，∴a＝﹣2，故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　B　）
A．4 B． C． D．
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．
10．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　C　）
A． B． C． D．
解：如图，取A'D'的中点E，作ME⊥A'D'，取B'的中点F，作MF⊥BC'，以M为圆心，MB长为半径作⊙M，则⊙M经过点D'、B、A'、C，⊙M为整个图形最小覆盖圆，∵矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，∴MF＝，BF＝，在Rt△BMF中，
BM＝．故选：C．
二．填空题(30分)
11.如图,☉O的半径为5,弦AB的长为8,半径OD过弦AB的中点C,则CD的长为　　2　　.
第1题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12.如图,AB是☉O的直径,点P是的中点,若BD=8,BP=2,则AD的长为　　6　　.
解：如图,连结OP交BD于点G,∵P是的中点,∴OP⊥BD,DG=BG=BD=4,在Rt△BPG中,PG==2,设☉O的半径为r,在Rt△OBG中,OB2=OG2+BG2,
即r2=(r-2)2+42,解得r=5,∴OG=3,∵OA=OB,DG=BG,∴OG为△ABD的中位线,∴AD=2OG=6.
13.如图,AB为☉O的直径,AE为☉O的弦,C为优弧的中点,CD⊥AB,垂足为D.若AE=8,DB=2,则☉O的半径为　　　5　　.
解：如图,连结CO并延长,交AE于点T.∵C为优弧的中点,∴,∴CT⊥AE,AT=TE=0.5AE=4,∵∠ATO=∠CDO=90°,∠AOT=∠COD,AO=CO,∴△AOT≌△COD(AAS),∴CD=AT=4,设☉O的半径为r.在Rt△COD中,OC2=CD2+OD2,∴r2=42+(r-2)2,
∴r=5,∴☉O的半径为5.
14．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是_______.
解：如图，设BE＝x，在Rt△ACB中，AC＝2x，BC＝，，解得，x＝2（负值舍去），∴EH＝4，DH＝1，设OE＝a，OD＝OB＝r，，解得，r＝（负值舍去）．
15．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值是___5___.
解：如图，延长CE交⊙O于J，连接DJ，∵CE⊥AB，∴CE＝EJ，∵M是CD的中点，
∴CM＝DM，∴EM＝DJ，∴当DJ是直径时，EM的值最大，∵⊙O的直径AB＝10，∴EM的最大值为5，
16．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为__2或4______
解：连接OA，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，在Rt△OAM中，OA＝5，
∴OM＝＝＝3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝＝＝4；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝＝＝2．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为____7______.
解：连接OC如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），∴OD＝4，∴DE＝＝5，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝，∴MP＝PH+1＝，∴S△MED＝×5×＝7，当C点与M点重合时，△CDE面积的最大值为7，
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是___100____.
解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，∵半圆O的半径为10，∴ON＝OF＝10，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝102①，b2+（b﹣c）2＝102②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，2（a+b）（a﹣b+c）＝0，
∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝102＝100，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100，
19．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 2cm 　．
解：连接OC．∵弦CD⊥直径AB于点P，CD＝8cm，∴PC＝PD＝CD＝×8＝4cm，在Rt△POC中，OP＝＝＝3cm，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3＝2cm，故答案为：2cm．
20．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝　 　．
解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，∵OF⊥BC，∴FJ⊥AD，∴∠AJF＝∠FJD＝90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝3，∵OJ⊥DB′，
∴DJ＝JB′＝3，∴AD＝BC＝3+3+3＝9，∴BF＝BC﹣CF＝6，由翻折的性质可知，FB＝FB′＝6，∴FJ＝＝＝3，∴AB＝JF＝3，在Rt△AEB′中，则有x2+32＝（3﹣x）2，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．
三．解答题（60分）
21.（8分）如图所示的是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面,其为圆弧形,跨度AB(弧所对的弦)为3.2米,拱高(弧的中点到弦的距离)为0.8米.
(1)求该圆弧所在圆的半径;
(2)在距蔬菜棚的一端(点B)0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的长度.
解：(1)如图,设所在圆的圆心为O,D为的中点,连结OB,OD,OD交AB于点C,∴OD垂直平分AB,由题可知AB=3.2米,CD=0.8米,∴BC=0.5AB=1.6米, 设☉O的半径为R米,则OC=OD-CD=(R-0.8)米,在Rt△OBC中,由勾股定理得OB2=OC2+CB2,即R2=(R-0.8)2+1.62,解得R=2,即该圆弧所在圆的半径为2米.
(2)如图,过O作OH⊥EF,交EF的延长线于点H,连结OE,则四边形OHFC是矩形,
∴OH=CF=1.6-0.4=1.2(米),∵OE=2米,
∴在Rt△OHE中,HE==1.6(米),
∵HF=OC=OD-CD=2-0.8=1.2(米),∴EF=HE-HF=1.6-1.2=0.4(米),
即支撑杆EF的长度为0.4米.
22.（8分）木工师傅经常要测量圆木截面的直径,实际上不易操作,为解决这一难题,小颖设计了一个测圆工具,如图所示,在长为h的木条AB的中点钉另一根木条MN,MN⊥AB,在木条MN上自MN上某一点向N标注刻度,使用时,将A、B置于圆上,读出MN与圆的交点C处的刻度,就可以知道圆的直径,设MC=d.
(1)用含h,d的式子表示该圆的直径;
(2)若h=2,圆木截面的直径为5.2,则MC的长度为多少
解：(1)∵MN⊥AB,M为AB的中点,∴MN过圆心,设圆心为O,连结AO,如图:
设AO=x,在Rt△AOM中,AO2=MO2+AM2,∴x2=(d-x)2+,∴x2=d2-2dx+x2+,
∴2dx=d2+,∴2x=d+,即该圆的直径为d+.
(2)当h=2,圆木截面的直径为5.2时,d+=5.2,∴d+=5.2,∴d2-5.2d+1=0,
解得d=5或d=0.2,∵d≥,∴d≥1,∴d=0.2不符合题意,舍去,∴d=5,∴MC的长度为5.
23．（10分）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB＝6，求CD的长．
解：（1）证明：连接AC，如图所示：∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC＝AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝6，∴OC＝AB＝3，又∵BE＝OE，∴OE＝，
∴CE＝＝＝，∴CD＝2CE＝3．
24．（10分）如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点．
（1）求证：△EBD≌△EBF；
（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长．
解：（1）连接OD、OF，∵B是劣弧DF的中点．∴，∴，∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，在△EBD和△EBF中，∵，∴△EBD≌△EBF（SAS）；
（2）∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∵AB是⊙O的直径，∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，过O作OG⊥CD于G，则CD＝2DG，∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，∴OG＝OE＝1，
由勾股定理得：DG＝＝＝2，∴CD＝2DG＝4．
25．（12分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
解：（1）如图，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，∴，∴∠BOD＝30°；由勾股定理得：OD2＝22﹣12＝3，∴OD＝；即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°．
（2）存在，DE＝；如图，连接AB；AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB2＝OB2+OA2＝8，
∴AB＝；∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝CD，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位线，
DE＝＝．（3）存在，∠DOE＝45°；∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，∴∠DOE＝，即∠DOE＝45°．
26．（12分）如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT＝TC＝BC＝2，∴BM＝＝4；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH＝90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF＝90°，∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．在△AEH和△AFH中，
∵，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH＝FH．
（3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，∵⊙O的半径为4，∴CG＝4．连AG，∵∠BCG＝90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG＝90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为口，∴AF＝CG＝4．