专题2.2匀变速直线运动的速度与时间的关系【讲】
一．讲素养目标
学习目标要求 核心素养和关键能力
1.知道匀变速直线运动的特点及分类。 2.能够根据加速度表达式推导得出速度公式，并会用此公式解决有关问题。 3.理解运动图像的物理意义及其应用。 1.核心素养 经历探究匀变速直线运动的速度与时间关系式的推导过程，体会数学思想方法在解决物理问题中的重要作用。 2.关键能力 应用数学思想和方法解决物理问题的能力。
二．讲考点与题型
【考点一】匀变速直线运动的理解
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
注意：常见的变速运动并不是严格意义上的匀变速直线运动。例如，火车在加速启动的一段时间内的运动可以近似看成是匀变速直线运动。匀变速直线运动是一种理想化模型。
2．分类
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加的直线运动。
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小的直线运动。
3．图像：匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜的直线。
【例1】 (2023·湖北宜昌市一中高一期中)关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A.匀加速直线运动的加速度是不断增大的
B.做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的
C.任意相等时间内，加速度的变化量相等且不为零
D.任意时刻速度的变化率相同
【答案】 D
【解析】 匀变速直线运动的加速度是不变的，即任意时刻速度的变化率相同，在任意相等时间内，速度的变化量相等且不为零，故A、C错误，D正确；做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向之间没有必然联系，可能相同也可能相反，故B错误。
【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念。
【规律总结】匀变速直线运动特点：(1)运动轨迹是直线。
(2)在相等时间内的速度变化量相等，即＝常量，即加速度恒定不变。
【变式训练】(2022-2023学年·浙江杭州高一质检)(多选)关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．匀变速直线运动的加速度恒定不变
B．相邻的相同时间间隔内的位移相等
C．在任何相等的时间Δt内的速度变化量Δv都相等
D．速度与运动时间成正比
【答案】 AC
【解析】 匀变速直线运动的加速度a不变，故选项A正确；由a＝知，由于a不变，在相邻的相同时间间隔内Δv相同，速度逐渐变大或变小，则位移不相等，选项B错误，C正确；只有当初速度为零时，速度v才与运动时间t成正比，选项D错误．
【考点二】匀变速直线运动的v－t图像
(1)匀速直线运动的v－t图像是一条平行于时间轴的直线．
(2)匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动．
①v－t图线的斜率表示加速度：斜率的大小等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向．
②v－t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度．
(3)v－t图线是一条曲线，则物体做非匀变速直线运动，物体在某时刻的加速度等于该时刻图线切线的斜率．
图甲中，斜率增大，物体的加速度增大，图乙中斜率减小，物体的加速度减小．
【例2】 (2021·湖南师大附中高一月考)如图所示，水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具。压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，在反作用下，水火箭快速上升，飞到一定高度后，在重力的作用下落下来。水火箭运动的v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.水火箭在0～t1内从静止出发做加速度增大的加速运动
B.水火箭在t1时刻到达最高点
C.水火箭在t2时刻到达最高点
D.水火箭在t2～t3内做匀减速直线运动
【答案】 C
【解析】 因为v－t图像的斜率等于加速度，可知水火箭在0～t1内从静止出发做加速度减小的加速运动，选项A错误；水火箭在0～t2时间内速度均为正值，可知此时间内一直向上运动，t2时刻到达最高点，选项B错误，C正确；水火箭在t2～t3内向下做匀加速直线运动，选项D错误。
【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念及科学思维。
【规律方法】分析v t图像时应注意的两点
(1)加速度是否变化看有无折点：在折点位置，图线的倾斜程度改变，表示此时刻物体的加速度改变，v t图像为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变．
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置前后，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变．
【变式训练】(多选)甲、乙两物体在同一直线上做匀变速直线运动的速度—时间图像如图所示。由此可知( )
A.甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1
B.在t＝4 s时，两者的瞬时速度大小相等
C.甲和乙的加速度方向相同，大小之比为3∶1
D.甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1
【答案】 AD
【解析】 甲的初速度为3 m/s，乙的初速度为1 m/s，因此甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1，选项A正确；在t＝2 s时，两者的瞬间速度相同，大小都为2 m/s，选项B错误；甲沿正方向做匀减速直线运动，乙沿正方向做匀加速直线运动，甲的加速度为－0.5 m/s2，乙的加速度为0.5 m/s2，因此甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1，选项C错误，D正确。
【考点三】速度公式的理解和应用
1.公式的矢量性
(1)公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．计算时将各量的数值和正负号一并代入计算．
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动．
2．公式的适用条件
公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)．
4．速度公式v＝v0＋at与加速度定义式a＝的比较
速度公式v＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：
(1)v＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动．
(2)a＝还可适用于匀变速曲线运动．
【例3】在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2，求：
(1)刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)刹车后6 s末汽车的速度大小．
【思路点拨】：①汽车刹车至速度减为零后将停止运动．
②判断汽车在3 s末、6 s末是否停止运动．
【答案】 (1)12 m/s (2)0
【解析】汽车行驶速度v0＝108 km/h＝30 m/s，规定v0的方向为正方向，
则a＝－6 m/s2，
汽车刹车所用的总时间
t0＝＝ s＝5 s.
(1)t1＝3 s时的速度
v1＝v0＋at＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s.
(2)由于t0＝5 s【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念科学思维。
【规律方法】处理刹车问题的三点提醒
(1)明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间)，通常可由t＝计算得出，并判断要研究的时长与刹车时间的大小关系。
(2)若要研究的时长小于刹车时间，则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长；反之，实际运动时间等于刹车时间。
(3)常见错误：误以为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式v＝v0＋at，得出的速度出现负值。
【变式训练1】某质点做直线运动，其速度与时间的关系式为v＝－3t＋4(式中时间的单位为s，速度的单位为m/s)，以初速度方向为正方向，下列说法正确的是( )
A.质点的初速度为1.5 m/s
B.质点的初速度为－4 m/s
C.质点的加速度为3 m/s2
D.质点的加速度为－3 m/s2
【答案】 D
【解析】 由匀变速直线运动的速度与时间的关系式v＝v0＋at＝－3t＋4，得初速度为v0＝4 m/s，加速度为a＝－3 m/s2，故D正确，A、B、C错误。
【变式训练2】 火车正常行驶的速度是54 km/h，关闭发动机后开始做匀减速直线运动，6 s末的速度是43.2 km/h，求：
(1)火车的加速度；
(2)15 s末的速度大小；
(3)45 s末的速度大小。
【答案】 (1)0.5 m/s2，方向与火车运动方向相反 (2)7.5 m/s (3)0
【解析】 (1)以火车运动的方向为正方向，
初速度v0＝54 km/h＝15 m/s
末速度v＝43.2 km/h＝12 m/s
由加速度定义式可知
a＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2
负号表示方向与火车运动方向相反。
(2)火车从开始减速到停止所用的时间
t＝＝ s＝30 s
火车在15 s末的速度大小为
v1＝v0＋at1＝[15＋(－0.5)×15] m/s
＝7.5 m/s。
(3)由(2)分析可知，火车从开始减速到停止所用的时间为30 s，所以火车在45 s末的速度为零。
【变式训练3】 纯电动汽车不排放污染空气的有害气体，具有较好的发展前景。某型号的电动汽车在一次刹车测试中，初速度为20 m/s，经过4 s汽车停止运动。若将该过程视为匀减速直线运动，汽车在刹车3 s后速度为( )
A.5 m/s B.10 m/s
C.15 m/s D.16 m/s
【答案】 A
【解析】 汽车的加速度为a＝＝ m/s2＝－5 m/s2，汽车在刹车3 s后速度为v＝v0＋at＝5 m/s，故A正确。
三．课堂练习
1物体在做直线运动，则下列对物体运动的描述正确的是( )
A.加速度为负值的直线运动，一定是匀减速直线运动
B.加速度大小不变的运动，一定是匀变速直线运动
C.加速度恒定(不为零)的直线运动一定是匀变速直线运动
D.若物体在运动过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速直线运动
【答案】 C
【解析】 物体速度为负值，加速度也为负值且保持不变时是匀加速直线运动，A错误；加速度是矢量，加速度大小不变，若方向改变，则加速度是变化的，不是匀变速直线运动，B错误，C正确；速度的方向发生改变，加速度可能保持不变，即可能为匀变速直线运动，例如，物体在做匀减速直线运动中，当速度减小到零后，运动方向变为反向，也为反向的匀加速直线运动，D错误。
2.物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5 m/s，经3 s到达B点时的速度为14 m/s，再经过4 s到达C点，则它到达C点时的速度为( )
A.23 m/s B.5 m/s
C.26 m/s D.10 m/s
【答案】 C
【解析】 物体的加速度a＝＝ m/s2＝3 m/s2，到达C点时的速度vC＝vB＋at＝(14＋3×4) m/s＝26 m/s，选项C正确。
3.(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v－t图像如图所示，下列判断正确的是( )
A.甲做匀速直线运动，乙先做匀加速后做匀减速直线运动
B.两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4 s末
C.乙在前2 s内的加速度为2 m/s2，2 s后的加速度为1 m/s2
D.2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
【答案】 AB
【解析】 由v－t图像可知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，在2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，选项A正确，C错误；t1＝1 s和t2＝4 s时两物体速度相同，选项B正确；0～6 s内甲、乙两物体的速度方向都沿正方向，选项D错误。
4.一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，经时间t后速度变为v。则在时刻该物体的速度为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 由v＝v0＋at可知，a＝，在时刻物体的速度为v＝v0＋a·＝，可知A、B、D错误，C正确。
5.(2023·浙江省衢州高级中学高一期中)2021年9月17日30分许，“神舟十二号”返回舱在东风着陆场安全降落。返回舱在距离地面十公里左右的高处，开始经过多次的减速，当返回舱距地面高约1 m时，四台反推发动机会同时点火，以极强的推力帮助返回舱进一步减速至2 m/s，实现软着陆。现假设返回舱软着陆过程可视为竖直下落，着陆过程中其速度随时间按v＝－(30t－8) m/s的规律变化，由此可知，在软着陆的这个过程中( )
A.返回舱做变加速直线运动
B.返回舱的初速度为30 m/s
C.返回舱的加速度在不断减小
D.相同时间内，返回舱速度变化量不变
【答案】 D
【解析】 根据v＝v0＋at，对比v＝－(30t－8) m/s，可知初速度为v0＝8 m/s，方向向下，加速度为a＝－30 m/s2，方向向上，则返回舱向下做匀减速直线运动，加速度恒定，则相同时间内，返回舱速度变化量不变，选项A、B、C、错误，D正确。
5.飞机着陆以后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，若其着陆时的速度为60 m/s，则它着陆后12 s末的速度为( )
A.0 B.12 m/s
C.－12 m/s D.132 m/s
【答案】 A
【解析】 飞机着陆时的速度v0＝60 m/s，加速度a＝－6 m/s2，飞机速度减为零的时间为t＝ s＝10 s，可知飞机在10 s时就已经停下，故A正确。专题2.2匀变速直线运动的速度与时间的关系【讲】
一．讲素养目标
学习目标要求 核心素养和关键能力
1.知道匀变速直线运动的特点及分类。 2.能够根据加速度表达式推导得出速度公式，并会用此公式解决有关问题。 3.理解运动图像的物理意义及其应用。 1.核心素养 经历探究匀变速直线运动的速度与时间关系式的推导过程，体会数学思想方法在解决物理问题中的重要作用。 2.关键能力 应用数学思想和方法解决物理问题的能力。
二．讲考点与题型
【考点一】匀变速直线运动的理解
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
注意：常见的变速运动并不是严格意义上的匀变速直线运动。例如，火车在加速启动的一段时间内的运动可以近似看成是匀变速直线运动。匀变速直线运动是一种理想化模型。
2．分类
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加的直线运动。
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小的直线运动。
3．图像：匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜的直线。
【例1】 (2023·湖北宜昌市一中高一期中)关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A.匀加速直线运动的加速度是不断增大的
B.做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的
C.任意相等时间内，加速度的变化量相等且不为零
D.任意时刻速度的变化率相同
【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念。
【规律总结】匀变速直线运动特点：(1)运动轨迹是直线。
(2)在相等时间内的速度变化量相等，即＝常量，即加速度恒定不变。
【变式训练】(2022-2023学年·浙江杭州高一质检)(多选)关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．匀变速直线运动的加速度恒定不变
B．相邻的相同时间间隔内的位移相等
C．在任何相等的时间Δt内的速度变化量Δv都相等
D．速度与运动时间成正比
【考点二】匀变速直线运动的v－t图像
(1)匀速直线运动的v－t图像是一条平行于时间轴的直线．
(2)匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动．
①v－t图线的斜率表示加速度：斜率的大小等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向．
②v－t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度．
(3)v－t图线是一条曲线，则物体做非匀变速直线运动，物体在某时刻的加速度等于该时刻图线切线的斜率．
图甲中，斜率增大，物体的加速度增大，图乙中斜率减小，物体的加速度减小．
【例2】 (2021·湖南师大附中高一月考)如图所示，水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具。压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，在反作用下，水火箭快速上升，飞到一定高度后，在重力的作用下落下来。水火箭运动的v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.水火箭在0～t1内从静止出发做加速度增大的加速运动
B.水火箭在t1时刻到达最高点
C.水火箭在t2时刻到达最高点
D.水火箭在t2～t3内做匀减速直线运动
【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念及科学思维。
【规律方法】分析v t图像时应注意的两点
(1)加速度是否变化看有无折点：在折点位置，图线的倾斜程度改变，表示此时刻物体的加速度改变，v t图像为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变．
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置前后，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变．
【变式训练】(多选)甲、乙两物体在同一直线上做匀变速直线运动的速度—时间图像如图所示。由此可知( )
A.甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1
B.在t＝4 s时，两者的瞬时速度大小相等
C.甲和乙的加速度方向相同，大小之比为3∶1
D.甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1
【考点三】速度公式的理解和应用
1.公式的矢量性
(1)公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．计算时将各量的数值和正负号一并代入计算．
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动．
2．公式的适用条件
公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)．
4．速度公式v＝v0＋at与加速度定义式a＝的比较
速度公式v＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：
(1)v＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动．
(2)a＝还可适用于匀变速曲线运动．
【例3】在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2，求：
(1)刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)刹车后6 s末汽车的速度大小．
【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念科学思维。
【规律方法】处理刹车问题的三点提醒
(1)明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间)，通常可由t＝计算得出，并判断要研究的时长与刹车时间的大小关系。
(2)若要研究的时长小于刹车时间，则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长；反之，实际运动时间等于刹车时间。
(3)常见错误：误以为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式v＝v0＋at，得出的速度出现负值。
【变式训练1】某质点做直线运动，其速度与时间的关系式为v＝－3t＋4(式中时间的单位为s，速度的单位为m/s)，以初速度方向为正方向，下列说法正确的是( )
A.质点的初速度为1.5 m/s
B.质点的初速度为－4 m/s
C.质点的加速度为3 m/s2
D.质点的加速度为－3 m/s2
【变式训练2】 火车正常行驶的速度是54 km/h，关闭发动机后开始做匀减速直线运动，6 s末的速度是43.2 km/h，求：
(1)火车的加速度；
(2)15 s末的速度大小；
(3)45 s末的速度大小。
【变式训练3】 纯电动汽车不排放污染空气的有害气体，具有较好的发展前景。某型号的电动汽车在一次刹车测试中，初速度为20 m/s，经过4 s汽车停止运动。若将该过程视为匀减速直线运动，汽车在刹车3 s后速度为( )
A.5 m/s B.10 m/s
C.15 m/s D.16 m/s
三．课堂练习
1物体在做直线运动，则下列对物体运动的描述正确的是( )
A.加速度为负值的直线运动，一定是匀减速直线运动
B.加速度大小不变的运动，一定是匀变速直线运动
C.加速度恒定(不为零)的直线运动一定是匀变速直线运动
D.若物体在运动过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速直线运动
2.物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5 m/s，经3 s到达B点时的速度为14 m/s，再经过4 s到达C点，则它到达C点时的速度为( )
A.23 m/s B.5 m/s
C.26 m/s D.10 m/s
3.(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v－t图像如图所示，下列判断正确的是( )
A.甲做匀速直线运动，乙先做匀加速后做匀减速直线运动
B.两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4 s末
C.乙在前2 s内的加速度为2 m/s2，2 s后的加速度为1 m/s2
D.2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
4.一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，经时间t后速度变为v。则在时刻该物体的速度为( )
A. B.
C. D.
5.(2023·浙江省衢州高级中学高一期中)2021年9月17日30分许，“神舟十二号”返回舱在东风着陆场安全降落。返回舱在距离地面十公里左右的高处，开始经过多次的减速，当返回舱距地面高约1 m时，四台反推发动机会同时点火，以极强的推力帮助返回舱进一步减速至2 m/s，实现软着陆。现假设返回舱软着陆过程可视为竖直下落，着陆过程中其速度随时间按v＝－(30t－8) m/s的规律变化，由此可知，在软着陆的这个过程中( )
A.返回舱做变加速直线运动
B.返回舱的初速度为30 m/s
C.返回舱的加速度在不断减小
D.相同时间内，返回舱速度变化量不变
5.飞机着陆以后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，若其着陆时的速度为60 m/s，则它着陆后12 s末的速度为( )
A.0 B.12 m/s
C.－12 m/s D.132 m/s
