1.5.1全称量词与存在量词 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
1.5.1 全称量词与存在量词
教学目标
1．了解含有量词的全称命题和存在命题的含义.
2．并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
3．使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
4. 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
2
重点难点
[重点]
1.理解全称量词、存在量词的概念．
2.理解全称量词、存在量词的区别
3.全称命题和存在命题真假的判定.
[难点]
1.全称量词、存在量词的自然语言、符号语言表示法；
2.全称命题和存在命题真假的判定.
3
1 .“南使孤帆远，东风任意吹” 多么美的诗情画意，东风“任意”吹；
2 . 咱们会经常听到“全体起立”、“所有的同学都到了”、 “有的同学
没有交作业”、 “存在不是有理数的实数” ；
这里出现了一些在数学中非常重要的量词，“任意，所有的，全体，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题进行研究学习.
导 入
大家知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时会遇到一些含有
量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题。但
是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它
们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。本课我们就学习全称量词和存在量
词及有这些量词构成的命题。
导 入
下列语句是命题吗 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1) x>3； (2) 2x+1是整数；
(3) 对所有的x∈R，x>3； (4) 对任意一个x∈Z，2x+1是整数．
语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．
(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定，使(4)变成了可以判断真假的语句.
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示．
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)” ．
全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
含有变量x的语句
探究　全称量词命题与存在量词命题的判断
例　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“ ”或
“ ”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于或等于零;
(2)有的一次函数的图象经过原点;
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
探究新知
解析　(1)全称量词命题.表示为 n∈N,n2≥0.
(2)存在量词命题.表示为 一次函数,它的图象过原点.
(3)全称量词命题.表示为 二次函数,它的图象的开口向上.
探究　全称量词命题真假的判断
例　判断下列命题的真假:
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似;
(2)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(3) x∈N,x2>0.
解析　(1)因为面积相等的三角形不一定相似,所以它是假命题.
(2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,命题是真命题.
(3)因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
思维突破
全称量词命题真假的判断技巧
全称量词命题真假的判断:
要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p
(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出限定集合M中的一个x0,使
得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
跟踪训练
1.下列命题中,全称量词命题的个数为 (　　)
①平行四边形的对角线互相平分; ②梯形有两条边平行;
③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0　 B.1　 C.2　 D.3
C
解析 ①②是全称量词命题,③是存在量词命题.
2.判断下列命题的真假:
(1) x∈Z,x3<1;
(2)对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0;
(3)若整数m是偶数,则m是合数.
解析　(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,所以“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(2)因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故是假命题.
(3)2是偶数,但2是质数,故是假命题.
自主学习
关系:
存在量词
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
不是
不是
是
是
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使 (4)变成了可以判断真假的语句.
(3)(4)
存在量词命题
自主学习
存在量词与存在量词命题
1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“_____”表示．
2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________.
3.存在量词命题的表述形式：存在量词命题
“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________.
存在量词
存在量词命题
x0∈M，p(x0)

自主学习
思考：短语“至多有一个”是存在量词吗
不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.
课堂练习
例.判断下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数，使；
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3)有些平行四边形是菱形.
练习讲解
解：(1)由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数，使”是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
新知探究
存在量词命题
可找到，使成立
找不到，使成立
真命题
假命题
判断存在量词命题真假的思维过程
思路点拨:寻找量词“存在”“任意”等，根据定义辨析．判断一个全称量词命题为真，必须证明对给定集合中的每一个元素x，命题均成立；要判断一个存在量词命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)成立即可．
判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1) 存在整数x，使得x3<1；
(2) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3) 存在一个四边形不是平行四边形；
(4) 对任意a，b∈R，若a>b，则 < .
【解】
(1) 该命题为存在量词命题，因为存在整数x＝－1，使得x3＝－1<1，故该命题为真命题．
(2) 该命题是全称量词命题，由有序实数对与平面直角坐标系中点的对应关系知该命题为真命题．
(3) 该命题是存在量词命题，因为存在四边形不是平行四边形，如梯形，故该命题为真命题；
(4) 该命题是全称量词命题，取a＝1，b＝－1，满足a>b，但 > ，故该命题为假命题.
【解】 (1) q(1)：|1－1|＝1－1，真命题；q(2)：|2－1|＝1－2，由于|2－1|＝1，1－2＝－1，所以|2－1|≠1－2，所以q(2)为假命题．
(2) a∈R，q(a)：|a－1|＝1－a成立，由(1)知q(2) 是假命题，所以该命题为假命题．
(3) b∈R，q(b)：|b－1|＝1－b成立，由(1)知q(1) 是真命题，所以该命题为真命题．
【变式训练】 已知语句q(x)：|x－1|＝1－x.
(1) 写出q(1)，q(2)，并判断它们是否为真命题；
(2) 写出“ a∈R，q(a)”，并判断它是否为真命题；
(3) 写出“ b∈R，q(b)”，并判断它是否为真命题．
已知命题p:“ x∈[1,+∞),x2-a≥0”,命题q:“ x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”.若命题p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围为 (　　)
A. {a|a≤-2或a=1} B. {a|a≤-2或1≤a≤2}
C. {a|a≥1} D. {a|-2≤a≤1}
思路点拨:命题p是全称量词命题,命题q是存在量词命题,分别求出当命题p和命题q为真命题时实数a的取值的集合,再求交集即可.
A
【解】由已知可知p和q均为真命题,由命题p为真命题,得a≤1;由命题q为真命题,知Δ=4a2-4(2-a)≥0成立,得a≤-2或a≥1,所以实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.故选A.
随堂演练
1. [教材改编题]下列全称量词命题中是真命题的是(　　)
A.所有菱形的四条边都相等 B.任何实数都有平方根
C. x∈R，x3>0 D.梯形的对角线相等
B
A
2. 下列命题中是存在量词命题且为真命题的是(　 )
A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使 >2
4. 已知命题p： x∈R，x2－m≥0是真命题，则实数m的取值范围为________．
3.(多选)下列四个命题中为假命题的是( 　　)
A.存在矩形不是平行四边形
B. x∈R，x2<0
C. x>1，x3>1
D.所有四边形的外角和都是360°
m≤0
AB
【解】
由命题p： x∈R，x2－m≥0为真命题，则x2≥m恒成立，又x2≥0，所以可得m≤0.所以实数m的取值范围为m≤0.
5.[山东省青岛市高三一模]若命题“ x∈R,ax2+1≥0”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
【解】
依题意,命题“ x∈R,ax2+1≥0”为真命题.当a=0时,1≥0恒成立;当a>0时,ax2≥0,ax2+1≥1>0,成立;当a<0时,函数y=ax2+1的图象开口向下,ax2+1≥0不恒成立.综上所述,a≥0.
a≥0
小结
课堂作业
1.熟记理解教材概念；
2.完成教科书26页练习；习题1.5 第1、2题
再见！