5.1.1 平均变化率
分层作业
A层 基础达标练
1. 在平均变化率的定义中，自变量在处的改变量 ( )
A. 大于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 不等于零
2. 设函数，当自变量由改变为时，函数值的改变量为( )
A. B.
C. D.
3. 一根金属棒的质量（单位：）与长度（单位：）的函数关系为，则金属棒从到时,质量的平均变化率是( )
A. B. C. D.
4. （多选题）如图是表示物体甲、乙在时间 0 到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A. 在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在0到 范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C. 在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在 到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
5. 函数在区间上的平均变化率为.
6. 若函数在区间上的平均变化率为2，则.
7. 已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的 3 倍，求实数的值.
B层 能力提升练
8. 函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则( )
A. B. C. D. 不确定
9. 某物体沿水平方向运动，其前进距离（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在运动前的平均速度为( )
A. B. C. D.
10. 函数的图象如图所示，则函数在下列区间上平均变化率最大的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的图象上一点及邻近一点，则( )
A. 3 B. C. D.
12. 一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为( )
A. 2 B. 1 C. D.
13. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为( )
加油时间 加油量/升 加油时累计里程/千米
2022年10月1日 12 35 000
2022年10月15日 60 35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
A. 6升 B. 8升 C. 10升 D. 12升
14. 某人服药后,吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度（单位:）来表示,它是时间（单位:）的函数,表示为,下表给出了的一些函数值:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
服药后这段时间内,血液中药物质量浓度的平均变化率为.
15. 将半径为的球加热,若半径从到时,球的体积膨胀率为,则的值为.
16. 已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系为.
17. 有一圆柱形容器，其底面直径为，深度为，盛满液体后以的速率放出，求液面高度的平均变化率.
C层 拓展探究练
18. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则：
（1） 前内球的平均速度为；
（2） 在这段时间内球的平均速度为.
19. 已知函数,,,,分别计算这四个函数在区间上的平均变化率,并比较它们的大小.
5.1.1 平均变化率
分层作业
A层 基础达标练
1. D
2. D
3. B
4. BC
5.
6. 5
7. 解 函数在上的平均变化率为,函数在上的平均变化率为,则,解得.
B层 能力提升练
8. A
9. C
10. C
11. D
12. A
13. C
14.
15. 2
16.
[解析]当,时,平均变化率,当,时,平均变化率,所以.
17. 解 设液体放出后液面高度为,则,所以,液面高度的平均变化率为.
C层 拓展探究练
18. （1） 8
[解析]由题设知，，，即平均速度为.
（2） 12
[解析]由题设知，，，即平均速度为.
19. 解 ,,,.
故在区间上的平均变化率由大到小依次为.第1课时 瞬时变化率
分层作业
A层 基础达标练
1. 抛物线在点处的切线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2. 已知曲线在点处的切线的斜率为，则实数的值是( )
A. B. 1 C. D. 2
3. 某物体的运动速度与时间的关系为，则时的加速度为( )
A. 2 B. C. 8 D.
4. 已知曲线上两点，，，当时，割线的斜率为.
5. 当无限趋近于0时,无限趋近于,无限趋近于.
6. 一做直线运动的物体,其位移与时间的关系是（位移单位:,时间单位:）.
（1） 求到的平均速度；
（2） 求此物体在时的瞬时速度.
B层 能力提升练
7. 一辆汽车按规律做直线运动，若汽车在时的瞬时速度为4，则( )
A. B. C. 2 D. 3
8. 已知函数的图象上四点,,,,割线,,的斜率分别为,,,则( )
A. B. C. D.
9. 火车开出车站一段时间内,速度（单位:）与行驶时间（单位:）之间的关系是,则当火车加速度为时,( )
A. B. C. D.
10. 若曲线在处的切线与直线平行,则.
11. [2023连云港模拟]已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：）,为太阳落山后的时间（单位：）.当 时，蜥蜴体温的瞬时变化率为.
12. 子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，其运动方程为，如果它的加速度，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度.
C层 拓展探究练
13. 某人拉动一个物体前进，他所做的功是时间的函数，则当无限趋近于0时，表示的物理意义为.
14. 若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：）:
求：
（1） 物体在内的平均速度；
（2） 物体的初速度；
（3） 物体在时的瞬时速度.
第1课时 瞬时变化率
分层作业
A层 基础达标练
1. B
2. B
3. C
4.
5. 8;
6. （1） 解.
（2）
.
当无限趋近于0时,无限趋近于,所以时的瞬时速度为.
B层 能力提升练
7. C
8. A
9. B
10.
[解析]根据题意,得,当无限接近于0时,,所以,
当时,,切点是,切线的斜率,故切线方程是,即,和直线重合,故.
11.
[解析]
，当无限趋近于0时，无限趋近于，所以瞬时变化率为.
12. 解运动方程为.因为,所以,
所以当无限趋近于0时,无限趋近于.
由题意知,,,所以,即子弹射出枪口时的瞬时速度为.
C层 拓展探究练
13. 时的功率
[解析]由题意知,当无限趋近于0时,表示时的功率.
14. （1） 解 在时，其时间变化量为，其位移变化量为，故所求平均速度为
（2） 求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度.因为物体在附近位移的平均变化率为，所以当无限趋近于0时，无限趋近于，所以物体在处位移的瞬时变化率为，即物体的初速度.
（3） 因为物体在附近位移的平均变化率为
，所以当无限趋近于0时，无限趋近于，所以物体在时位移的瞬时变化率为，即物体在时的瞬时速度为.第2课时 导数
分层作业
A层 基础达标练
1. 函数在某一点处的导数是( )
A. 在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比
B. 一个函数
C. 一个常数
D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
2. 已知某质点的运动方程为,其中的单位是,的单位是,则( )
A. B. C. D.
3. 已知曲线的一条切线的斜率是3,则该切点的横坐标为( )
A. B. C. 1 D. 2
4. 函数的图象如图所示，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
5. [2023扬州期末]已知是定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. 1 D.
6. （多选题）若函数在处存在导数,则的值( )
A. 与 有关 B. 与 有关 C. 与 无关 D. 与 无关
7. 求函数在处的导数.
8. 一条水管中流过的水量（单位:）与时间（单位:）之间的函数关系为，求函数在处的导数,并解释它的实际意义.
B层 能力提升练
9. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
10. 设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为( )
A. 10 B. 3 C. 6 D. 8
11. 某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：，时间单位：），则他在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
12. 若奇函数满足，则等于( )
A. 1 B. C. 2 D.
13. （多选题）已知某物体的运动方程为，则( )
A. 该物体在 时的平均速度是28 B. 该物体在 时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值为43 D. 该物体在 时的瞬时速度是70
14. 如图，已知直线是曲线在处的切线，则的值为.
15. 已知直线是函数的图象在点处的切线,则,.
16. 将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：）为.计算第和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
17. 试求过点且与曲线相切的直线的斜率.
C层 拓展探究练
18. 已知二次函数的导数为,,且对于任意实数都有,则的最小值为.
19. 已知直线与抛物线相交于,两点,是坐标原点,若曲线上存在一点,使的面积最大,求点的坐标.
第2课时 导数
分层作业
A层 基础达标练
1. C
2. C
3. D
4. A
5. A
6. AD
7. 解 ,
所以，
所以
8. 解因为,
所以.
的实际意义是水流在时的瞬时流速为.
B层 能力提升练
9. C
10. A
11. D
[解析],所以
，则他在时的瞬时速度为.故选.
12. C
13. ABD
[解析]该物体在时的平均速度是，故正确；
，故正确；
当时，，故错误；
，故正确.故选.
14.
15. 5; 3
[解析]由题意知，,
因为,所以曲线在点处的切线斜率为.由,得,所以,,
16. 解依 题意，在第时，原油温度的瞬时变化率为，其意义表示当时，原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也就是说，在第附近，原油温度大约以的速率下降.在第时，原油温度的瞬时变化率为
，其意义表示当时，原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也就是说，在第附近，原油温度大约以的速率上升.
17. 解 设切点的坐标为，则有.因为，所以.切线方程为，将点代入，得，所以，解得或.当时，；当时，.故所求直线的斜率为或6.
C层 拓展探究练
18. 2
[解析]由导数的定义,得
.
又所以,所以，
所以,当且仅当时,等号成立.
19. 解分析可知点位于轴的下方.
当时,,
则,则.
设曲线在点处的切线与直线平行,则,解得,所以切点坐标为,此时该点到线段的距离最大,的面积最大.故点的坐标为.5.2.1 基本初等函数的导数
分层作业
A层 基础达标练
1. 函数在处的导数为( )
A. 9 B. 6 C. D.
2. 已知，且，则的值等于( )
A. B. 2 C. D.
3. （多选题）下列结论正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
4. （多选题）下列选项正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为.
6. 求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
B层 能力提升练
7. 曲线的斜率等于1的切线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 不确定
8. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则( )
A. 2 B. 0 C. 1 D.
9. 如图，函数的图象在点处的切线是，则( )
A. B. 3 C. D. 1
10. 曲线在点处的切线的倾斜角为，则.
11. 设函数，,，，,，则.
12. 若曲线在点处的切线与两个坐标轴所围成的三角形的面积为18，求实数的值.
C层 拓展探究练
13. 已知函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，其中.若，则.
5.2.1 基本初等函数的导数
分层作业
A层 基础达标练
1. C
2. D
3. ACD
4. BCD
5.
6. （1） 解 .
（2） .
（3） .
（4） .
（5） .
B层 能力提升练
7. B
8. C
9. D
10. 1
11.
[解析]由已知,得,,,,,,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则
12. 解 因为的定义域为,所以,所以曲线在点处的切线斜率,,所以切线方程为.
令,得；
令,得.
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为,所以.
C层 拓展探究练
13. 21
[解析]因为,所以的图象在点处的切线方程为.
又该切线与轴的交点为,所以,即数列是首项,公比的等比数列,所以,,所以.5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
分层作业
A层 基础达标练
1. 记函数的导函数为，若，则( )
A. B. C. D.
2. 曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3. 设函数，若，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，则.
5. 已知函数,若,则.
6. 已知函数,则.
7. 求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
B层 能力提升练
8. 已知，为非零常数，函数，则( )
A. B. 0 C. 2 D. 4
9. 已知曲线在点处切线的倾斜角为,则实数( )
A. 1 B. C. 7 D.
10. 已知曲线在点处的切线与直线垂直,则( )
A. B. 1 C. D.
11. （多选题）当函数在处的导数为0时,的值可以是( )
A. B. 0 C. D.
12. 已知函数，则.
13. 已知函数的导函数为，且，则.
14. 已知函数,其导函数
（1） 求,的值；
（2） 设函数,求曲线在点处的切线方程.
C层 拓展探究练
15. 在等比数列中,,,函数,则.
16. 已知函数,为的导函数,且,.
（1） 求；
（2） 求的值.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
分层作业
A层 基础达标练
1. B
2. B
3. B
4. 4
5. 3
6. 1
7. （1） 解
.
（2）
.
B层 能力提升练
8. B
9. C
10. C
11. AC
[解析].由,得.故选.
12.
13.
14. （1） 解 因为,
所以
又,所以,.
（2） 由（1）可知,
所以,
所以.
又,所以曲线在点处的切线方程为,即.
C层 拓展探究练
15. 4 096
[解析]因为,
所以.
因为数列为等比数列,所以,所以.
16. （1） 解 .
因为，.
所以,
所以.
又,,所以,所以,所以.
（2）
.5.2.3 简单复合函数的导数
分层作业
A层 基础达标练
1. 已知函数，且，则等于( )
A. 1 B. C. 2 D.
2. 设函数,则( )
A. B. C. D.
3. 函数的导数为( )
A. B.
C. D.
4. 曲线在点处切线的斜率( )
A. B. C. 6 D. 2
5. 函数的导数是.
6. 已知函数，则.
7. 已知函数，若，则.
8. 求下列函数的导数：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
B层 能力提升练
9. 已知函数，则( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
10. 曲线在点处的切线与直线和所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D. 1
11. （多选题）已知点在曲线上, 为曲线在点处的切线的倾斜角,则 的取值可以是( )
A. B. C. D.
12. （多选题）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
13. 设函数在内可导，其导函数为，且，则.
14. 设函数,若是奇函数,则.
15. 设函数,曲线与直线在点处相切,则,.
16. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是.（填序号）
；；；
；.
17. 有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离单位:关于时间单位:的函数为.求函数在时的导数,并解释它的实际意义.
18. 已知函数的定义域为，导函数为，若，均有，则称函数为上的“梦想函数”.
（1） 已知函数，试判断是否为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
（2） 若函数，为其定义域上的“梦想函数”，求实数的取值范围.
C层 拓展探究练
19. （多选题）若曲线在点处的切线与直线平行,且两直线间的距离为 ,则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
20. 已知是函数的导函数，对任意的，，且.
（1） 若，求使成立的的取值范围；
（2） 若，求函数的取值范围.
5.2.3 简单复合函数的导数
分层作业
A层 基础达标练
1. A
2. C
3. B
4. C
5. （）
6. 2
7.
8. （1） 解令,则.
.
（2） 令，则,.
（3） 设,,则.
（4） ,.
B层 能力提升练
9. C
10. A
11. CD
12. AB
[解析]对于，，令,则，因为，，所以，所以在，上是凸函数，故正确；对于，，令,则，故在，上是凸函数，故正确；对于,，令,则，故在，上不是凸函数，故错误；对于,，令，则，故在，上不是凸函数，故错误.故选.
13.
14.
15. 0;
16. ①③⑤
[解析]，则,解得或，有“巧值点”；，无解，无“巧值点”；，方程有解，有“巧值点”；，方程无解，无“巧值点”；，方程有解，，有“巧值点”.
17. 解 函数可以看作函数和的复合函数,其中是中间变量.
由导数公式，得,.
由复合函数求导法则，得.
将代入,得
它表示当时,梯子上端下滑的速度为.
18. （1） 解函数不是其定义域上的“梦想函数”.理由如下：的定义域为，，存在，使得，故不是其定义域上的“梦想函数”.
（2） ，所以.若函数在上为“梦想函数”，则在上恒成立，即在上恒成立.因为在上的值域为,，所以，所以实数的取值范围为,.
C层 拓展探究练
19. AB
[解析],所以在点处切线斜率为,则所求的切线方程为.
设直线的方程为,则,解得或，所以直线的方程为或.故选.
20. （1） 解由，得，即.令，则，为常数.因为，所以，所以.若，则，即，解得.故实数的取值范围是.
（2） 由，得，即.令，则，所以为常数，则，所以.又，所以，所以，则，所以.令，可得.当时，；当时，，解得，此时或.综上，的取值范围是.第1课时 单调性
分层作业
A层 基础达标练
1. 函数的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
2. 已知在上是可导函数,的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3. 函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4. （多选题）函数在区间上的单调性是( )
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递减
5. 函数的图象如图所示,为函数的导函数,则不等式的解集为.
6. 判断函数的单调性.
B层 能力提升练
7. [2023南京期末]函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的导函数的图象如图所示,则该函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
9. 函数的导函数在区间上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10. （多选题）已知函数的定义域为,其导函数的图象如图所示,则对于任意,,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 函数的减区间为.
12. 函数的单调递减区间为.
13. [2023淮安期末]已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为.
14. 已知函数是上的偶函数,且在上有,若,则关于的不等式的解集是.
15. 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1） 求函数的解析式；
（2） 求函数的单调区间.
C层 拓展探究练
16. （多选题）若函数是自然对数的底数在的定义域上是增函数,则称函数具有性质,则下列函数中具有性质的是( )
A. B. C. D.
17. 已知函数为常数,为自然对数的底数,曲线在点处的切线与轴平行.
（1） 求实数的值；
（2） 求函数的单调区间.
第1课时 单调性
分层作业
A层 基础达标练
1. B
2. C
3. A
4. AC
5. （,）（0,1）
6. 解 函数的定义域为,.
当时,；
当时,；
当时,.
故在和上单调递增,在上单调递减.
B层 能力提升练
7. C
8. B
9. A
10. AD
[解析]由题图可知,是上的减函数,且递减速度越来越慢,所以图象的割线斜率为负,即,故正确,错误；
表示对应的函数值,表示和时所对应的函数值的平均值,显然有,故错误,正确.故选.
11. （,）
12. （0,1）
13. ,
[解析]因为,则.令,即,且,所以,,所以的单调递增区间为,.
14. （,）（0,1）
[解析]因为在上，,所以在上单调递增.
又为偶函数,所以,且在上单调递减,的草图如图所示,
所以的解集为.
15. （1） 解因为的图象在点处的切线方程为,所以,且,解得,
所以.①
又,
所以
由①②，得,（因为，所以舍去），
所以所求函数的解析式是.
（2） 由（1）知,.
令,解得,,当或时,；当时,.所以的单调递增区间是；单调递减区间是和.
C层 拓展探究练
16. AB
[解析]设,对于,在定义域上是增函数,故正确；
对于,,,所以在定义域上是增函数,故正确；
对于,在定义域上是减函数,故错误；
对于,,则,在定义域上不恒成立,故错误.故选.
17. （1） 解由,得.
因为曲线在点处的切线与轴平行,所以,即,解得.
（2） 由（1）知,.
设,
则.
可知在上单调递减.由知,当时,,故；
当时,,故.
综上,的单调递增区间是,单调递减区间是.第2课时 含参数的函数单调性问题
分层作业
A层 基础达标练
1. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2. 定义在上的函数与函数在上具有相同的单调性，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数.讨论函数的单调性.
B层 能力提升练
4. （多选题）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值可以是( )
A. B. C. 0 D. 3
5. 设函数.讨论的单调性.
6. 已知函数.讨论的单调性.
C层 拓展探究练
7. 函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设函数，其中.当时，求函数的单调区间.
第2课时 含参数的函数单调性问题
分层作业
A层 基础达标练
1. B
2. B
3. 解由，得，.当时，，所以在上单调递减；当时，.当时，，在,上单调递增；当时，，在,上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；当时，在,上单调递减，在,上单调递增.
B层 能力提升练
4. AB
[解析]当时，，显然不满足题意；当时，.因为恰好有三个单调区间，所以有两个零点，即，解得.综上，的取值范围为.故选.
5. 解由，定义域为，得.当时，因为，所以，故在上单调递减；当时，因为，所以由，得，由，得，故在,上单调递减，在,上单调递增.
6. 解.当时，，在上单调递增；当时，令，则，当 ,时，，单调递减，当,时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；当时，在 ,上单调递减，在,上单调递增.
C层 拓展探究练
7. D
8. 解，.当时，恒成立，则在上单调递减；当时，令，得，则，解得，令，得.
综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为,，单调递减区间为,.5.3.2 极大值与极小值
分层作业
A层 基础达标练
1. 下列函数中存在极值的是( )
A. B. C. D.
2. 已知当时,函数有极小值,则( )
A. B. C. 4 D. 2
3. 函数在取得极值7,则( )
A. 或3 B. 3或 C. 3 D.
4. （多选题）已知函数有极大值和极小值,则实数的值可以是( )
A. B. C. 6 D. 8
5. 已知函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围是.
6. 已知关于的函数,如果函数在处取得极值,那么,.
7. 设函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
（1） 求的值；
（2） 求函数的极值.
B层 能力提升练
8. [2023扬州期末]已知是函数的极小值点，则的极小值为( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
9. 已知函数，则“”是“是的一个极小值点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
11. 若函数在处取得极大值,则的值为( )
A. 3 B. 2 C. 3或2 D. 或
12. 已知函数的图象如图所示,且在与处取得极值,则的值一定( )
A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0
13. （多选题）已知函数的定义域为，则( )
A. 为奇函数 B. 在 上单调递增
C. 有且仅有4个极值点 D. 恰有4个极大值点
14. （多选题）设,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实数根的是( )
A. , B. , C. , D. ,
15. 若函数在区间上恰有一个极值,则实数的取值范围为.
16. 已知函数,当时,有极大值.写出符合上述要求的一个的值.
17. 设为实数,函数.
（1） 求的极值；
（2） 若曲线与轴仅有一个交点,求的取值范围.
C层 拓展探究练
18. （多选题）已知函数有两个极值点，，则( )
A. 的取值范围为 B.
C. D.
19. 已知函数且是函数的极值点.
（1） 求实数的值；
（2） 若函数仅有一个零点,求实数的取值范围.
5.3.2 极大值与极小值
分层作业
A层 基础达标练
1. B
2. D
3. C
4. AD
5. （,）（2,）
6. ; 3
7. （1） 解 .
由题意,知曲线在处的切线斜率为0,即,从而,解得.
（2） 由（1）知，,.令,得,（舍去）.
当时,,在上单调递减；当时,,在上单调递增.故在处取得极小值,极小值为,无极大值.
B层 能力提升练
8. A
9. C
[解析]，若，则,当,时，，，单调递减；当,时，，，单调递增.故是的一个极小值点.若是的一个极小值点，则，解得，经检验，当时，是的一个极小值点，故“”是“是的一个极小值点”的充要条件.故选.
10. C
11. A
[解析]
由题意，得,整理得,解得或.
当时,
令,得或；
令,得.
此时,函数在处取得极小值,不符合题意.
当时,.
令,得或；
令,得.
此时,函数在处取得极大值,符合题意.
综上,.故选.
12. B
13. BC
[解析]因为的定义域为，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数.又，当时，，则在上单调递增，显然令，得.如图，分别作出，在区间上的图象.由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.故选.
14. BCD
[解析]设,那么.
当时,,单调递增,必有一实数根,项满足题意;
当时,由于选项中只有,故只考虑即可,此时,
故,时,单调递增；时,单调递减.
故的极大值为,的极小值为.
若方程只有一个实数根,则需满足或,解得或,,项满足.故选.
15. ,5）
[解析],函数在区间上恰有一个极值,即在上恰有一个根.又函数的对称轴为直线,所以应满足
所以所以.
16. 4（答案不唯一）
[解析]因为,所以
因为当时,有极大值,所以有两个根,其中一个根为3,设另一个根为,且,
所以所以.
17. （1） 解 .
令,得或.
当变化时,,的变化情况如表所示.
, , 1
0 - 0
极大值 极小值
所以的极大值是,极小值是.
（2） 函数,由此可知,当取足够大的正数时,有，当取足够小的负数时,有,所以曲线与轴至少有一个交点.
由（1）知,.
因为曲线与轴仅有一个交点,所以或,即或,所以或,所以当 ,时,曲线与轴仅有一个交点.
C层 拓展探究练
18. BCD
[解析]且定义域为，则.当时，，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，故错误；当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，则.当时，，所以至多有一个零点，当时，，而，当趋近于0时，趋于负无穷大，当趋近于正无穷时，趋于负无穷大.综上，，在,内各有一个零点，且，因为且趋近于0时，趋于负无穷大，所以，故.令,，.又,，所以,单调递减，故当时，.又，所以，而，因此，故正确；.令，显然有，令,，显然，因此有.
设，则，当时，,单调递减，当时，,单调递增.因为，所以.令，则.因为，所以,所以单调递增.因为，所以，而，所以.因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，故正确；由，得，所以，故正确.故选.
19. （1） 解 当时,,
所以.
由已知,得,
所以,解得.
（2） 由（1）知,当时,,.
令,得或（舍去）,
所以当时,,单调递减,.
当时,,单调递增,.
而当时,单调递增,.
因为函数仅有一个零点,即函数的图象与直线仅有一个交点,所以或,即实数的取值范围为.5.3.3 最大值与最小值
分层作业
A层 基础达标练
1. 函数,的最大值是( )
A. B. C. D.
2. 函数在区间上的最大值和最小值分别是( )
A. 1, B. 1, C. 3, D. 9,
3. 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为元,销量为件,则销量（单位:件）与零售价（单位:元）有如下关系:，则最大毛利润为（毛利润销售收入-进货支出）( )
A. 30元 B. 60元 C. 28 000元 D. 23 000元
4. 函数在区间上的值域为.
5. 已知在区间上的最大值就是函数的极大值,则的取值范围是.
6. 求下列函数的最值:
（1） ,；
（2） ,.
7. 如图,某段铁路长为80千米,,且千米,为将货物从地运往地,现在上距点为千米的点处修一公路至点.已知铁路运费为每千米2元,公路运费为每千米4元.
（1） 将总运费表示为的函数.
（2） 如何选点才能使总运费最少
B层 能力提升练
8. 已知函数,若对于区间上的任意,,都有,则实数的最小值是( )
A. 20 B. 18 C. 3 D. 0
9. 函数与的最小值分别为,,则( )
A. B.
C. D. , 的大小不能确定
10. 当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D. 1
11. 已知函数若关于的方程恰有两个不相等的实数根,，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12. （多选题）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数 在 上单调递减 B.
C. 函数 在 处取得极小值 D. 函数 存在最小值
13. 若是直线上的一点，是曲线上的一点，则的最小值为.
14. 如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为时,其容积最大.
15. 已知函数的导数的最大值为5,则函数在点处的切线方程是.
16. 已知函数,,,且曲线在处与直线相切.
（1） 求,的值；
（2） 求在上的最大值.
C层 拓展探究练
17. （多选题）下列说法正确的是( )
A. 的最小值为1 B. 的最小值为1
C. 的最小值为1 D. 的最小值为1
18. 已知函数.
（1） 若,求函数的极值；
（2） 当时,,求的取值范围.
5.3.3 最大值与最小值
分层作业
A层 基础达标练
1. C
2. C
3. D
4. ,
5. （,）
6. （1） 解.令,即,且,,所以.
又因为,,,所以当时,函数的最大值为,最小值为.
（2） ,.令,化简为,解得（舍去）,.当时,,单调递增；当时,,单调递减,所以为函数的极大值.又,,,所以为函数在上的最小值,为函数在上的最大值.
7. （1） 解依题意,铁路上的运费为元,公路上的运费为元,则由地到地的总运费.
（2） .令,得或（舍去）.当时,；当时,.故当时,取得最小值,即当在距离点为千米的点处修一公路至点时，总运费最少.
B层 能力提升练
8. A
9. A
[解析]的定义域是,.令,得,令,得,则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值是,故.
,定义域为,.令,则,，则在上单调递增,且,,故存在使得,即,即,当时,,,单调递减；当时,,单调递增,故当时,函数取得最小值,即,所以.故选.
10. B
11. D
[解析]函数的图象如图所示.
已知关于的方程恰有两个不相等的实数根,，所以，则，.设函数，则.当时,,单调递减；当时,,单调递增.故的最小值为.故选.
12. ACD
[解析]在上恒成立，则在上单调递减，故正确；在上恒成立，则在上单调递增，则，故错误；在上，，在上，,则函数在处取得极小值，故正确;由导函数图象可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在两个极小值和中产生，故存在最小值，故正确.故选.
13.
[解析]因为是曲线上的一点，故设,，所以点到直线的距离为.令，则.当,,单调递增；当,,单调递减，所以，所以，所以的最小值为.
14.
[解析]如图,设被切去的全等四边形的一边长为,则正六棱柱的底面边长为,高为,所以正六棱柱的体积,则.令,得（舍去）或.当,时,;当,时,.
故当时,有极大值,也是最大值,此时正六棱柱的底面边长为.
15.
[解析]因为,所以.
因为,所以，
所以,,.
又,
所以所求切线方程为,即.
16. （1） 解.
由曲线在处与直线相切,得即解得
（2） 由（1）,得,定义域为.
令,得；令,得.
所以在上单调递增,在上单调递减,所以在上的最大值为.
C层 拓展探究练
17. AC
[解析]对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故正确；对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故错误；对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故正确；对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故错误.故选.
18. （1） 解当时,,,显然在上单调递增,注意到,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,无极大值.
（2） 因为,,,所以,显然在上单调递增,且,,所以存在唯一的,使,即,可得,且当时,,单调递减;
当时,,单调递增,所以,解得或,所以,,.
