2023-2024学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷第二十一章 一元二次方程（测能力）(含解析)

第二十一章 一元二次方程（测能力）——2023-2024学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.方程的根是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.如图，长方形花圃ABCD面积为，它的一边AD利用已有的围墙(围墙足够长)，另外三边所围的栅栏的总长度是.EF处开一门，宽度为.设AB的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程的两根，则m和n的值分别为( )
A.，5 B.12， C.6，5 D.，5
5.若等腰三角形一条边的边长为4，另两条边的边长是关于x的一元二次方程的两个根，则c的值是( )
A.25 B.24 C.25或24 D.36或16
6.某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元.为了提高销量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价( )
A.10元 B.15元 C.20元 D.25元
7.关于x的方程(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( )
A.两个正根 B.两个负根
C.一个正根，一个负根 D.无实数根
8.已知实数x满足，则的值是( )
A.-2 B.-2或6 C.6 D.604
9.若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则( )
A.2或6 B.2或8 C.2 D.6
10.若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为( ).
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.设，是关于x的方程的两个根，且，则__________.
12.关于x的一元二次方程没有实数根,则k的取值范围是______.
13.春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城,太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期.据了解,今年1月份第一周该景点参观人数约10万人,第三周参观人数增加到约25.6万人,这两周参观人数的平均增长率为______.
14.规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为，方程的根为_________.
15.设与为一元二次方程的两根，则的值为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）解方程：
(1)；
(2).
17.（8分）观察下列两个等式:，. 我们称使等式 成立的数对为共生数对. 若是共生数对, 求n 的值.
18.（10分）请阅读下列材料:
问题:已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则,所以.
把代入已知方程,得.
化简,得,
故所求方程为.
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”.
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式).
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________.
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
19.（10分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍的两个根是，，则方程是“倍根方程”.
(1)通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”.
①.
②.
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值.
(3)已知关于x的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值.
20.（12分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元.销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个.
(1)若售价下降1元，每月能售出_______个台灯，若售价下降x元()，每月能售出____个台灯.
(2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价.
(3)月获利能否达到9600元，说明理由.
21.（12分）关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
答案以及解析
1.答案：D
解析：关于x的方程是一元二次方程，
，
，故选D.
2.答案：B
解析：，，或，解得，，故选B.
3.答案：B
解析：，.根据题意，可得，故选B.
4.答案：A
解析：和BC的长恰好是方程的两根，，.矩形ABCD的周长为12，面积为5，，，，.
5.答案：C
解析：分两种情况：
（1）当另外两条边中有一个为4时，
将代入原方程，得：，
解得：，
将代入原方程，得：，
解得或6，
4，4，6能组成三角形，符合题意；
（2）当4为底时，则另外两边相等，
，
解得：，
将代入原方程，得：，
解得：，
4，5，5能够组成三角形，符合题意.
故c的值为25或24.故选C.
6.答案：D
解析：设每件衬衣应降价x元.根据题意，得，整理，得，解得，.商场要尽快减少库存，应舍去，.故选D.
7.答案：C
解析：关于x的方程(p为常数)，，，方程有两个不相等的实数根.根据根与系数的关系，方程的两个根的积为，方程有一个正根，一个负根，故选C.
8.答案：C
解析：设，则方程变形为：
，
即，
或6，即或6；
当时，此方程无实数根(舍)，
当时，满足题意.故选C.
9.答案：A
解析：关于x的一元二次方程有两个实数根，，，即，且，.，，即，，即，解得或.故选A.
10.答案：A
解析：对于一元二次方程即，
设，则可得，
而关于x的一元二次方程的一个根是，
所以有一个根为，
所以，
解得，
所以一元二次方程必有一根为.故选A.
11.答案：2
解析：根据题意，知，则.将代入关于x的方程，得，解得.故答案是2.
12.答案：
解析:关于x的一元二次方程没有实数根,
,,
解得:.
故答案为:.
13.答案：60%
解析:设这两周参观人数的平均增长率为x,则由题意可得,
,
解得,(不合题意,舍去),
这两周参观人数的平均增长率为60%,
故答案为:60%
14.答案：，
解析：由题意得，，或，，.
15.答案：20
解析：，，，，，，故答案为20.
16.答案：(1)，
(2)，
解析：(1)移项得.
化简得.
开平方得，
，.
(2)，，，
，
.
，.
17.答案： ，
解析： 是共生 数对,
整理, 得,
解得，.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)设所求方程的根为y,则,所以.把代入已知方程,得
.化简得,故所求方程为.故答案为.
(2)设所求方程的根为y,则,所以.把代入已知方程,得.化简得,即所求方程为.
19.答案：(1)①方程是“倍根方程”
②方程不是“倍根方程”
(2)或
(3)m的值为14或-10
解析：(1)①，
，
或，
所以，，
则方程是“倍根方程”；
②，
，
或，
所以，
则方程不是“倍根方程”；
(2)，
或，
解得，，
是“倍根方程”，
或，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式，或；
(3)根据题意，设方程的根的两根分别为，
根据根与系数的关系得，，
解得，或，
m的值为14或-10.
20.答案：(1)800；；(2)每个台灯的售价为37元；(3)月获利不能达到9600元，理由见解析.
解析：(1)售价每下降1元，其月销售量就增加200个，
若售价下降1元，每月能售出个台灯，若售价下降x元()，每月能售出个台灯；
(2)设每个台灯的售价为x元，
由题意得：，
解得：，，
当时，（舍去），
当时，（符合题意），
答：每个台灯的售价为37元；
(3)月获利不能达到9600元，
理由：设每个台灯的售价为x元，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数根，即月获利不能达到9600元.
21.答案：(1)且
(2)不存在，理由见详解
解析：(1)关于x的方程，，，，
因为有两个不相等的实数根，
，即，
且.
(2)设，是关于x的方程的两个根据，且，，
若，则，
，
，
，
当时，关于x的方程为，则，无解，
所以不存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于.
2