2023=2024学年北师大版数学必修第一册课堂达标检测（解析版）第3章3.1指数函数的概念、图象和性质

第3章3.1指数函数的概念、图象和性质
一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
3．已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
4．函数y＝|x|－1的值域是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－1,0]
5．函数f(x)＝·2x的图象大致形状是(　　)
　A　　　 　B　　　　C　　　　D
6．若3m＋2－n≥3n＋2－m则(　　)
A．m＋n≥0 B．m＋n≤0
C．m－n≥0 D．m－n≤0
7．设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式不正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
B．f[(xy)n]＝fn(x)·fn(y)
C．f(x－y)＝
D．f(nx)＝fn(x)
二、填空题
8．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
9．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
10．若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，那么a，b的取值范围分别为________．
11．(一题多空)函数y＝23－x与________的图象关于y轴对称，与________的图象关于x轴对称，与________的图象关于原点对称．
12．若函数f(x)＝，则不等式f(x)≥的解集为________．
三、解答题
13．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝2x2－2.
14．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
15．设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．
第3章3.1指数函数的概念、图象和性质
一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
C　[由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.]
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
B　[该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．]
3．已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
A　[法一：y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝x与y3＝10－x＝x在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
法二：y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝
x与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.]
4．函数y＝|x|－1的值域是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－1,0]
D　[将函数转化为分段函数，则y＝图象如图所示，
所以函数的值域为(－1,0]．]
5．函数f(x)＝·2x的图象大致形状是(　　)
　A　　　 　B　　　　C　　　　D
B　[由函数f(x)＝·2x＝可得函数在(0，＋∞)上是增函数，且此时函数值大于1；在(－∞，0)上是减函数，且此时函数值大于－1且小于零．结合所给的选项，只有B满足条件．故选B.]
6．若3m＋2－n≥3n＋2－m则(　　)
A．m＋n≥0 B．m＋n≤0
C．m－n≥0 D．m－n≤0
C　[3m＋2－n≥3n＋2－m 3m－2－m≥3n－2－n.
又f(x)＝3x－2－x是增函数，f(m)≥f(n)，
则m≥n，即m－n≥0.]
7．设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式不正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
B．f[(xy)n]＝fn(x)·fn(y)
C．f(x－y)＝
D．f(nx)＝fn(x)
B　[由am＋n＝am·an及am－n＝知A、C、D正确，故选B.]
二、填空题
8．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(3,4)　[因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．]
9．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
(－1,0)∪(0,1)　[由x<0，得0<2x<1；∵x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－
2－x<0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．]
10．若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，那么a，b的取值范围分别为________．
(1，＋∞)，(－∞，0]　[当0当a>1时，根据题意得，函数y＝ax的图象需要向下平移，且平移量不小于1个单位长度，即b－1≤－1，解得b≤0.
综上所述，a>1，b≤0.]
11．(一题多空)函数y＝23－x与________的图象关于y轴对称，与________的图象关于x轴对称，与________的图象关于原点对称．
y＝23＋x　y＝－23－x　y＝－23＋x　[因为图象与y＝2－x关于y轴对称的函数为y＝2x，所以函数y＝23－x与y＝23＋x的图象关于y轴对称．关于x轴对称的图象为y＝－23－x，关于原点对称的图象为y＝－23＋x.]
12．若函数f(x)＝，则不等式f(x)≥的解集为________．
{x|0≤x≤1}　[当x≥0时，由f(x)≥得x≥，
∴0≤x≤1.
当x<0时，不等式≥明显不成立．
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．]
三、解答题
13．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝2x2－2.
[解]　(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2>0且2≠1，故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝2x2－2的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0<2x2－2≤9，所以函数y＝2x2－2的值域为(0,9]．
14．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解]　(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．
15．设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．
[解]　(1)法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即k－1＝0.
∴k＝1.
当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，
故k＝1符合题意．
法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，
∴解得k＝1.
(2)∵f(1)＝a－>0，
又a>0，且a≠1，
∴a>1.
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f(x)是R上的增函数．
故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0 f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4) x2＋2x>x2－4 x>－2.
∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}．
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