2023=2024学年北师大版数学必修第一册课堂达标检测 3.2指数函数及其性质的应用（含解析）

第3章3.2指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3)
2．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6 B．1
C．3 D．
3．设a，b满足0A．aaC．aa4．函数y＝|2x－1|的大致图象是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①②③④
C．②③④ D．①②
6．已知函数f(x)＝a2－x，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数
D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
7．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题
8．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________.
9．函数f(x)＝3－x2＋2ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
10．若关于x的方程|x|＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝2x－1，对于满足0(1)(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
(2)x2f(x1)(3)f(x2)－f(x1)>x2－x1；
(4)>f()．
其中正确结论的序号是________．
12．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是________.
三、解答题
13．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
14．已知f(x)＝.
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性．
15．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
第3章3.2指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3)
AD　[由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以AD正确．]
2．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6 B．1
C．3 D．
C　[函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是增函数，当x＝1时，ymax＝3.]
3．设a，b满足0A．aaC．aaC　[由于y＝ax与y＝bx为减函数，
故A、B错误；
因为>1，a>0，
所以a>1，
所以aa因为>1，b>0，
所以b>1，
所以ab故选C.]
4．函数y＝|2x－1|的大致图象是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
C　[如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C.]
5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①②③④
C．②③④ D．①②
D　[由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确；
当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；
当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5＜12，，故③错误；
＝2，故④错误．]
6．已知函数f(x)＝a2－x，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数
D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
A　[因为当x>2时，2－x<0.f(x)>1，所以07．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B　[画出函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．
当x<0时，a＝b，则有a当x>0时，a＝b，则有a>b>0；
当x＝0时，a＝b，则有a＝b＝0.
所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．]
二、填空题
8．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________.
{0,1}　[令t＝5x，则原方程可化为t2－6t＋5＝0，
所以t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
所以x＝1或x＝0.]
9．函数f(x)＝3－x2＋2ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
[1，＋∞)　[设u＝－x2＋2ax，则y＝3u是R上的增函数，而原函数在(－∞，1)内单调递增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)也是增函数，而u＝－x2＋2ax的单调增区间为(－∞，a)，
所以a≥1.]
10．若关于x的方程|x|＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
[－1,0)　[法一：∵0<|x|≤1，
∴m<|x|＋m≤m＋1.
要使方程|x|＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，
解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1,0)．
法二：令y＝|x|＋m，作函数图象，如图，
依题意，函数y＝|x|＋m的图象与x轴有交点，
∴解得－1≤m<0，即m∈[－1,0)．]
11．已知函数f(x)＝2x－1，对于满足0(1)(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
(2)x2f(x1)(3)f(x2)－f(x1)>x2－x1；
(4)>f()．
其中正确结论的序号是________．
(2)(4)　[由题知，函数f(x)单调递增，这与(1)所描述的单调性相反，故(1)错误；(2)中的式子可化为<，其表示点(x1，f(x1))与原点连线的斜率小于点(x2，f(x2))与原点连线的斜率，由函数f(x)图象的性质可知(2)正确；(3)表示过图象上两点的直线的斜率大于1，由函数f(x)的图象可知这个结论不一定正确；(4)描述了函数图象的下凹性，由函数图象可知正确．综上，可判断只有(2)(4)正确．]
12．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是________.
(－∞，1]　[令u＝|x－1|，因为f(x)＝y＝u在R上单调递减，故要求f(x)的单调递增区间，只需求u＝|x－1|的单调递减区间，为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．]
三、解答题
13．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
[解]　(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.
故f(x)＝x.
(2)由(1)知f(x)＝x，显然f(x)在R上是减函数，
又f(|x|)>f(1)，
所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1,1)．
14．已知f(x)＝.
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性．
[解]　(1)f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝＝
＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝＝1－，
又y＝(－1)x是减函数，且y>0，
所以y＝是增函数，
所以f(x)是减函数．
15．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
[解]　f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0，
因为f(x)的定义域为[－1,1]，
所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]内有解，
令t＝2x，则t∈，
故－2m＝t＋，
设g(t)＝t＋，则在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
所以当t∈时，g(t)∈，
即－2m∈，
所以m∈.
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