2023=2024学年北师大版数学必修第一册课堂达标检测 第4章3.1对数函数的概念、图象和性质（含解析）

第4章3.1对数函数的概念、图象和性质
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)
2．函数f(x)＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．R
3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于(　　)
A．M B．N
C． D．R
4．函数y＝4x的反函数是(　　)
A．y＝4x B．y＝x4
C．y＝logx4 D．y＝log4x
5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
　 　A　　 　　B　　 　C　 　　 D
6．(多选)已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在(0,10)上单调递增
D．在(0,10)上单调递减
7．方程x－log2x＝0的解的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．不确定
二、填空题
8．函数f(x)＝的定义域是________．
9．已知函数f(x)＝则f ＝________.
10．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
11．已知函数f(x)＝|x|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
12．已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
三、解答题
13．求函数y＝log2x＋的定义域．
14．当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？
15．已知f(x)是对数函数，并且它的图象过点，g(x)＝f2(x)－2b·f(x)＋3，其中b∈R.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求y＝g(x)在[，16]上的最小值．
第4章3.1对数函数的概念、图象和性质
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)
D　[由解得∴x≥4且x≠10，
∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D.]
2．函数f(x)＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．R
C　[结合f(x)＝log2x的图象可知，f(m)>0时，m>1.]
3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于(　　)
A．M B．N
C． D．R
A　[M＝(0，＋∞)，N＝R，则M∩N＝(0，＋∞)＝M.]
4．函数y＝4x的反函数是(　　)
A．y＝4x B．y＝x4
C．y＝logx4 D．y＝log4x
[答案]　D
5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
　 　A　　 　　B　　 　C　 　　 D
C　[y＝a－x＝x，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.]
6．(多选)已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在(0,10)上单调递增
D．在(0,10)上单调递减
BD　[由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，因为 x∈(－10,10)都有－x∈(－10,10)，且f(－x)＝lg (10－x)＋lg (10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．
f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)＝lg (100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lg x递增，故函数f(x)在(0,10)上递减．]
7．方程x－log2x＝0的解的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．不确定
B　[在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝log2x的图象，如图所示．
由图知它们的图象只有一个交点，即方程x＝log2x仅有一个解．]
二、填空题
8．函数f(x)＝的定义域是________．
(0,4]　[由2－log2x≥0，得log2x≤2，又x＞0，
∴09．已知函数f(x)＝则f ＝________.
　[f ＝f ＝f(－2)＝3－2＝.]
10．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
1　[∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1.]
11．已知函数f(x)＝|x|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
[1,2]　[作出f(x)＝|x|的图象(如图)可知f ＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
]
12．已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
当x∈(－∞，0)时，函数f(x)的解析式为________．
f(x)＝log2(－x)　[设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝log2(－x)，
又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
得f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0))．]
三、解答题
13．求函数y＝log2x＋的定义域．
[解]　由题意知，
∴故有1，
所以原函数的定义域是.
14．当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？
[解]　在同一坐标系，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图象，如图所示．
由图象得：当m<0时，方程无解；
当m＝0时，方程有一解；
当m>0时，方程有两解．
15．已知f(x)是对数函数，并且它的图象过点，g(x)＝f2(x)－2b·f(x)＋3，其中b∈R.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求y＝g(x)在[，16]上的最小值．
[解]　(1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点，
∴f(2)＝，即loga2＝，
∴a＝2＝2，即a＝2，∴f(x)＝log2x.
(2)设t＝f(x)，则y＝g(x)＝t2－2bt＋3＝(t－b)2＋3－b2＝m(t)，
∵≤x≤16，∴≤log2x≤4，
即t∈，函数m(t)的图象的对称轴方程为t＝b.
①当b≤时，m(t)在上是增函数，ymin＝m＝－b；
②当③当b≥4时，m(t)在上是减函数，ymin＝m(4)＝19－8b.
综上所述，ymin＝
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