杭州市临安区 2023 学年高二第一学期“开学考”
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1. 本卷满分 150分，考试时间 120分钟；
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数
字；
3. 所有答案必须答在答题卷上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题卷.
一.选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．在空间四边形OABC中，OA AB BC等于（ ）
A．OA B．AB C．OC D．AC
2. 直线3x 2y 1 0的一个方向向量是（ ）
A. 2, 3 B. 2,3 C. 3,2 D. 3,2
3．已知命题 p：直线ax 3y 4 0与 x a 2 y 2 0平行，命题 q : a 3，则q是 p的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若平面 ， 的法向量分别为 n1 1, 3,5 ， n2 1,1, 4 ，则（ ）
A． / / B． C． ， 相交但不垂直 D．以上均不正确
5．向量 p在基底 a ,b ,c 下的坐标为 (1,2,3)，则 p在基底 a b ,b c ,c a 下的坐标为（ ）
A． (0,1, 2) B． (0,2,1) C． (2,1,0) D． (1,2, 1)
6．与直线2x 3y 6 0关于点 1, 1 对称的直线方程是（ ）
A．3x 2y 2 0 B． 2x 3y 7 0 C．3x 2y 12 0 D． 2x 3y 8 0
7．已知四棱锥 P ABCD的底面为正方形， PA 平面 ABCD， PA AB 1，点 E是 BC的
中点，则点 E到直线 PD的距离是（ ）
A 5 B 5． ． C 2 3 2． D．
4 2 2 4
8．已知 x, y R ，满足 2x y 2，则 x x2 y2 的最小值为（ ）
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
4 8
A B C 1 D 1 2． ． ． ．
5 5 3
二．选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的 选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9． a,b,c 是空间的一个基底，与 a b、 a c构成基底的一个向量可以是（ ）
A ．b c B． b c C．b D．3a b 2c
10．已知直线 l : kx 2y 4k 1 0，则下列表述正确的是（ ）
A．当 k 2时，直线的倾斜角为 45
1
B．当实数 k变化时，直线 l恒过点 4,
2
C．当直线 l与直线 x 2y 4 0平行时，则两条直线的距离为 1
D．直线 l与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为 4
11．在空间直角坐标系O xyz中， A 1,0,0 ，B 1,2, 2 ，C 2,3, 2 ，则（ ）
A
．OC AB 12 B． AB 2 3
C．异面直线OC与 AB 3 6所成角的余弦值为 D．点O到直线 AB的距离是
4 3
12．对于两点 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，定义一种“距离”： AB x1 x2 y1 y2 ，则（ ）
A．若点 C是线段 AB的中点，则 AB 2 AC
2 2 2
B．在 ABC中，若 C 90 ，则 AC CB AB
C．在 ABC中， AC CB AB
D．在正方形 ABCD中，有 AB BC
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13 ．已知向量 a 1,2,3 ，b 1, x,0 ，且 a b，则 x ．
14．已知空间向量 a (1,0,1)
，b (2, 1,2)，则向量b 在向量a上的投影向量是__________．
15．点 0, 1 到直线 y k x 2 的距离的最大值是 ．
16．A是直线 l : y 3x上的第一象限内的一点，B 3,2 为定点，直线 AB交 x轴正半轴于点 C，
当 AOC面积最小时，点A的坐标是__________．
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
四．解答题：本题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1的正方形，侧棱 AA1 2，且
A1AD A1AB 60
，M 为 BD中点， P为 BB1中点，设 AB=a， AD b， AA1 c；
(1) 用向量 a，b， c表示向量 PM ；(2)求线段PM的长度．
18．设复数 z a bi 4 8i a，b R)， i为虚数单位，且满足| z | z ．
i
（1）求复数 z；（2）复数 z是关于 x的方程 x2 px q 0的一个根，求实数 p，q的值．
19．如图，面积为 8的平行四边形 ABCD，A为原点，点 B的坐标为(2,-1)，点 C，D在第
一象限．
(1)求直线 CD的方程；(2)若 BC 13 ，求点 D的横坐标．
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
20. 已知在 ABC c cosC中，a，b，c分别是内角 A，B，C所对的边，且 ．
2b a cos A
（1）求C；
（2）若acosB bcos A 2，且 ABC为锐角三角形，求 ABC面积的取值范围．
21．如图，四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，四边形 ABCD
为梯形， AD 2BC， BAD ABC 90 .
(1)若M 为 PA的中点，求证： BM //平面 PCD；
(2)若直线PC与平面 PAB 15所成角的正弦值为 ，求平面 PAB与平面PCD所成锐二面角的
10
余弦值.
22.已知函数 f x a 2x 1 x 1 2x 1，
（1）当 a 1时，求 f x 的单调递减区间；
（2）若 f x 有三个零点 x1， x2， x3 ，且 x1 x2 x3，
1 1 1
求证：① x
a 3
② a x x 1 .
a x 2 13 ；
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}临安区 2022 学年第二学期高一年级数学学科 答案
班级:_________ 姓名：_____________学号：_______
一.选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．在空间四边形OABC中，OA AB BC等于（ ）
A．OA B．AB C．OC D．AC
【答案】C
2. 直线3x 2y 1 0的一个方向向量是（ ）
A. 2, 3 B. 2,3 C. 3,2 D. 3,2
【答案】A
3．已知命题 p：直线ax 3y 4 0与 x a 2 y 2 0平行，命题 q : a 3，则q是 p的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
4．若平面 ， 的法向量分别为 n1 1, 3,5 ， n2 1,1, 4 ，则（ ）
A． / / B． C． ， 相交但不垂直 D．以上均不正确
【答案】C
p a,b ,c
5．已知向量 在基底 下的坐标为 (1,2,3) p ，则 在基底 a b,b c , c a 下的坐标为
（ ）
A． (0,1, 2) B． (0,2,1) C． (2,1,0) D． (1,2, 1)
【答案】B
6．与直线 2x 3y 6 0关于点(1,-1)对称的直线方程是（ ）
A．3x 2y 2 0 B． 2x 3y 7 0 C．3x 2y 12 0 D． 2x 3y 8 0
【答案】D
7．已知四棱锥 P ABCD的底面为正方形， PA 平面 ABCD， PA AB 1，点 E是 BC的
中点，则点 E到直线 PD的距离是（ ）
A 5 B 5 2 3 2． ． C． D．
4 2 2 4
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
【答案】D
8．已知 x, y R ，满足 2x y 2，则 x x2 y2 的最小值为（ ）
4 8
A B C 1 D 1 2． ． ． ．
5 5 3
【答案】B
二．选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的 选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9． a,b,c 是空间的一个基底，与 a b、 a c构成基底的一个向量可以是（ ）
A．b c B． b c C．b D．3a b 2c
【答案】AC
10．已知直线 l : kx 2y 4k 1 0，则下列表述正确的是（ ）
1
A．当 k 2 时，直线的倾斜角为 45 B．当实数 k变化时，直线 l恒过点 4,
2
C．当直线 l与直线 x 2y 4 0平行时，则两条直线的距离为 1
D．直线 l与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为 4
【答案】ABD
11．在空间直角坐标系O xyz中， A 1,0,0 ，B 1,2, 2 ，C 2,3, 2 ，则（ ）
A
．OC AB 12 B． AB 2 3
C 3 6．异面直线OC与 AB所成角的余弦值为 D．点O到直线 AB的距离是
4 3
【答案】BD
12．对于两点 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，定义一种“距离”： AB x1 x2 y1 y2 ，则（ ）
A．若点 C是线段 AB的中点，则 AB 2 AC
2 2 2
B．在 ABC中，若 C 90 ，则 AC CB AB
C．在 ABC中， AC CB AB
D．在正方形 ABCD中，有 AB BC
【答案】ACD
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a 1,2,3 ，b 1, x,0 ，且 a b，则 x ．
1
【答案】
2
14．已知空间向量 a (1,0,1)
，b (2, 1,2)，则向量b 在向量a上的投影向量是__________．
【答案】 (2,0,2)
15．点 0, 1 到直线 y k x 2 的距离的最大值是 ．
【答案】 5
16．A是直线 l : y 3x上的第一象限内的一点，B 3,2 为定点，直线 AB交 x轴正半轴于点 C，
当 AOC面积最小时，点A的坐标是__________．
4
【答案】 , 4
3
四. 解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1的正方形，侧棱 AA1 2，且
A1AD A1AB 60 ，M 为 BD中点， P为 BB1中点，设 AB=a， AD b， AA1 c；
(1)用向量 a，b， c表示向量 PM ；(2)求线段PM的长度．
【答案】（1）因为M 为 BD中点， P为BB1中点， AB=a， AD b， AA1 c，
1 1 1 1 1 1 1
所以 PM PB BM B1B BD BB1 (AD AB) AD AB BB2 2 2 2 2 2 2 1
1
(AD AB AA1)
1
(b a c)；
2 2
（2）因为平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1的正方形，侧棱 AA1 2，
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
且 A1AD A1AB 60 ，
所以 a b 1， c 2， a b 0,a c b c 1 2
1
1，
2
2
PM = 1
2 2 2 1 3
所以 (b
1
a c)2 (b a c 2a b 2b c 2a c) (1 1 4 0 2 2)
4 4 4 2
6
所以 PM ，即线段 PM 6长为 .
2 2
18 z a bi a b R) i | z | z 4 8i．设复数 ， ， 为虚数单位，且满足 ．
i
（1）求复数 z；（2）复数 z是关于 x的方程 x2 px q 0的一个根，求实数 p，q的值．
【答案】（1）设 z a bi (a，b R)，
| z | z a 2 b2 a b i 4+8i） i) 8 4i 8 4i ，
i) i) 1
a2 b2 a 8 a 3
，即 ， z 3 4i；
b 4 b 4
（2） z 3 4i是方程的一个解，
它的共轭复数 z 3 4i也是方程的一个解，
根据韦达定理：
p 3 4i 3 4i 6
，
q 3 4i) 3 4i) 25
p 6，q 25．
19．如图，面积为 8 的平行四边形 ABCD，A为原点，点 B的坐标为(2,-1)，点 C，D在第
一象限．
(1)求直线 CD的方程； (2)若 BC 13 ，求点 D的横坐标．
【答案】（1）因为四边形 ABCD是平行四边形，
1
所以 AB / /CD，则 kCD kAB ．2
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
1
设直线 CD的方程为 y x m（m 0），即 x 2y 2m 0．
2
8
因为平行四边形 ABCD的面积为 8， AB 5，故 AB与 CD之间的距离为 ．
5
2m 8
由题图知：直线 AB的方程为 x 2y 0，于是 ，解得m 4．
12 22 5
由 C，D在第一象限知：m 0，所以m 4，
故直线 CD的方程为 x 2y 8 0．
（2）设点 D的坐标为 a,b ，由 BC 13 ，则 AD 13．
6
a 2b 8 0
a
5 a 2 6
所以 2 2 ，解得 或 b 3，故点 D的横坐标为 或
2．
a b 13 b 17 5
5
20. 已知在 ABC c cosC中，a，b，c分别是内角 A，B，C所对的边，且 ．
2b a cos A
（1）求C；
（2）若acosB bcos A 2，且 ABC为锐角三角形，求 ABC面积的取值范围．
c cosC sinC cosC
【答案】（1）由 及正弦定理得 ，
2b a cos A 2sin B sin A cos A
∴ sinC cos A 2sin B cosC sin AcosC，即 sin(A C) 2sin BcosC，
1
∴ sin B 2sin B cosC．∵ sinB 0，∴ cosC ，
2
π
∵0 C π，∴C ．
3
（2）设 ABC的外接圆半径为 R．
∵acosB bcos A 2，∴ 2Rsin AcosB 2Rsin Bcos A 2，即 2RsinC 2 c．
b a 2
由正弦定理可得 sin B sin A 3 ，
2
4 3 4 3
∴ a sin A，b sinB 4 3 sin 2π A
3 3 3 3
．
∴ ABC 1的面积 S ab sinC 3 ab 4 3 sin Asin 2π A
2 4 3 3
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
4 3
sin A 3 cos A
1
sin A 4 3 3 1 1
3 2 2
sin 2A cos 2A
3 4 4 4
2 3
sin 2A
π 3
．3 6 3
∵ π 2πABC是锐角三角形，∴0 A ，0 A π π π ，∴ A ，
2 3 2 6 2
π π 5π 1 π 2 3
∴ 2A ，∴ sin 2A 1，∴ S , 3 ，6 6 6 2 6 3
2 3
即锐角 ABC面积的取值范围是 , 3 ．
3
21．如图，四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，四边形 ABCD
为梯形， AD 2BC， BAD ABC 90 .
(1)若M 为 PA的中点，求证： BM //平面 PCD；
(2)若直线PC与平面 PAB 15所成角的正弦值为 ，求平面 PAB与平面PCD所成锐二面角的
10
余弦值.
【答案】（1）取 PD中点 N，连接MN ,CN ，
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
M ,N 分别为 PA,PD
1
中点， MN //AD，MN AD，
2
BAD ABC 90
1
， BC //AD，又 BC AD，
2
BC //MN， BC MN ， 四边形 BCNM 为平行四边形， BM //CN ，
BM 平面 PCD，CN 平面 PCD， BM //平面 PCD .
（2）取 AD中点O，连接PO,CO，
1AO//BC， AO BC AD ， 四边形 ABCO为平行四边形，
2
又 BAD 90 ， COA 90 ，即CO AD；
Q V PAD为等边三角形， PO AD，
又平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD， PO 平面 PAD，
PO 平面 ABCD；
则以O为坐标原点，OC,OD,OP正方向为 x, y, z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设 AB m m 0 ，BC 1，则 A 0, 1,0 ，B m, 1,0 ，C m,0,0 ，P 0,0, 3 ，D 0,1,0 ，
AP 0,1, 3 ， AB m,0,0 ，PD 0,1, 3 ， PC m,0, 3 ，
设平面 PAB的法向量 n x, y, z ，
AP
n y 3z 0
则 ，令 z 1，解得： x 0， y 3， n 0, 3, 1 ，
AB n mx 0
PC n 3 15
cos PC,n ，解得：m 2， PC 2,0, 3 ；
PC n 2 m2
3 10
设平面 PCD的法向量m a,b,c ，
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
PC m 2a 3c 0
则 ，令 c 2，解得： a 3，b 6 ， m 3, 6, 2 ；
PD m b 3c 0
m n
cos m, n 2 22 ，
m n 11 11
即平面 PAB与平面PCD 22所成锐二面角的余弦值为 .
11
22.已知函数 f x a 2x 1 x 1 2x 1，
（1）当 a 1时，求 f x 的单调递减区间；
（2）若 f x 有三个零点 x1， x2， x3 ，且 x1 x2 x3，
1 x 1 1求证：① ② a x
a 3 a x 2
x1 1 .
3 ；
2x2 x 2, x 1f x 2x 1 x 1 2x 1 【答案】（1） ，
2x
2 3x, x 1
∴ f x 1 的单调递减区间为 1, 4 .
2ax2 a 2 x a 1, x 1
（2）（ⅰ） f x a 2x 1 x 1 2x 1
2ax
2 a 2 x a 1, x 1
由题意可知当 a 0时不符合题意即 a 0
f 1 1 2a 2 a 2
1
a 1 1 a 0，∴ x3
a a a a
∵ 2ax23 a 2 x 23 a 1 0∴2ax3 ax3 2x3 a 1 0
x2 x3 1 a 1 x∴ 3 3 1
1 a x
3
a 2a 2 2a 2
1
∵ x3∴ x
2 x3 1 a 1 x3 1 1 a x 1 a 1 13 3 0a a 2a 2 2a 2 2a 2a 2
a 2 9a 2 4a 4 2 a 9a 2 4a 4
（ⅱ）由题意可知： x1 ， x 4a 2 4a
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
2 a 9a 2 4a 4 a 2 9a 2 4a 4
∴ x 12 x1 ∴ a x x 14a 4a a 2 1
{#{QQABQQKQogAoABIAAQhCQQXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}
