温州市2022学年第一学期九年级（上）学业水平开学检测
数学试题参考答案与评分标准 2022.9(课改班模拟)
选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分，选择正确才给分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C C D B C D
填空题(本题共8小题，共40分，标明“ ”符号题目在学校要求下选择是否与附加题替换，替换后需写附加题，不替换需写原题,永嘉片区统一不写标明“ ”符号题目）
12. 5 13. 2019 14.
16. 17. 11 18. ，
解答题(本题共6小题，共70分，答案仅供参考，若有其他方法酌情给分)
19（10分）解：原式（4分）
∵，∴（3分）
∴原式；（3分）
20（1）解：正方形AEBF作图如下：（5分）（2）（2分）等腰直角三角形如图：（5分）
21.（10分）
(1)①如图所示（2分）②观察函数图象：
当时，；（2分）
当y的值最大时，。（2分）
(2)答案不唯一．
①当时，y随x的增大而增大；
②当时，y有最小值80．（一点1分）
（3）根据图像可得：当潮水高度超过260时和，（2分）
22（12分）.(1)解：由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数（2分），308+295=603，故中位数落在第二组；（2分，本题只写答案得3分）
(2)解：（人，（3分）
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；（1分）
解：由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于，
建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一，一点2分，共4分）．
23.（12分）(1)解：∵，
∴时，，当时，，
故答案为： ， （一空2分，共4分）
(2)当，，当时，（1分）
当，的图象开口向上，当时，存在最小值，最小值为百元（2分）
当时，，当时，取得最小值，最小值为为百元（2分）
综上所述，时，最小值为1.1百元（1分）（6分）
(3)根据题意，商品的成本不高于2百元，，
，，∴，且当时，有最小值，当时，当时，，这与题意不符；∴，当时，有且仅有唯一正整数使得该商品的成本不高于2百元，即有且仅有唯一正整数使得，则，此时当x=1时，；当x=2时，，
∵当x=0时，，当时，，
解得，当时， ，解得， ，
综上所述，．（直接写出答案，2分）
24（14分）(1)解：如图9-1，在矩形中，，即
∴．（1分）∵点P是的中点，∴．∴．（2分）
①证明：如图9-2，在矩形中，，∴．可知．
∴．（1分）在矩形中，，
∵点P是的中点，∴．（1分）
由折叠可知，．设，则．∴．
在中，由勾股定理得，
∴，∴，即．（2分）
②解：如图9-3，由折叠可知，．
∴．
由两点之间线段最短可知，当点恰好位于对角线上时，最小．（1分）
连接，在中，，∴
∴，（1分）∴．（1分）
（3）解：与的数量关系是．（1分）
理由是：如图9-4，由折叠可知．过点作，交于点M，
∵，∴，∴．∴，
∴点H是中点．∵，即，（1分）
∴．∵，∴．∴．∴．
∵点G为中点，点H是中点，∴．（1分）
∴．（1分）∴．∴．
附加题(本题共2小题，共10分，用于适应温州部分地区教学进度，经校方允许可与17,18题替换，未说明则不必写)
17.(1)证明：∵将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE∴，∴（1分）
∵，∴，∴，∵∴；（1分）
(2)解：如图：过点B作，交EF于H，
∴∵∴由（1）知，，∴，（1分）∴∴∵，∴；（1分）
(3)证明：如图：连接CF，由（2）得，∴∵，AD为的平分线，
∴，∴∴∵，∴
∴∴，∴∵，，∴
∴四边形HBCF为平行四边形（1分）∴∵，，∴．（1分）
18.(1)
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2分）
(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，（1分）
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，∴CD=．（1分）
五、思维扩展(本题共9小题，,共50分，选择题1题4分，填空题1题6分，解答题详见标注)
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A D B B 255
8（本题8分）.(1)
如图，连接将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段， 是等腰直角三角形（1分）， P为FG的中点，，，， ，D为的中点，， ，，在中，；
(2)如图，过点作交的延长线于点，
， ，
，，是等腰直角三角形，（1分）
，，在与中，
，，，
，又，， ，，
，，，
又，，（1分） ,
，，，
，；（1分）
(3)由（2）可知， 则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，
将沿翻折至所在平面内，得到， E为的中点，，
，则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，如图，当运动到与点重合时，取得最小值，．
当点运动点重合时，取得最小值，此时，则（2分）
9.（本题10分）(1)解：∵抛物线经过点，∴解得
∴该抛物线的函数表达式为．（1分）
(2)解：如图，连接，令，
∴．∴∵，（1分）
∴．∴．
∴．（1分）
解：图1所示作轴，交直线于点F，则．∴．∵是定值，∴当最大时，最大．（1分）设，∵，∴．设，则．∴．∴当时，取得最大值，此时．设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，∴，三类情况讨论：若，如图2所示，过点P作轴于点，作交的延长线于点，．∴．∴．∵，∴．∴．（1分）若，如图3所示，过点P作直线轴于点，过点Q作轴于点，．∴．∴．∵，∴．∴．（1分）
若，如图4所示，过点Q作轴于点，作交的延长线于点，则．∴．∴．∵，∴．
∴．（2分）综上所述，当的值最大且是直角三角形时，点Q的横坐标为，，，1．
(4)如图，作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌ CRH，△ITM≌△HWI.RH = OG= -n，CR= GL= OC= 3，MT= IW，G(n，0)，H(3，3+ n)，
+n+3+3)∵TM=IM∴ (n+3)2+ 2(n+3)- 12= 0，∴n1 = -4+ ，n2 =-4- (舍去)
∴G(-4 +， 0)．（2分）温州市2022学年第一学期九年级（上）学业水平开学检测
数 学 试 题 2022.9(课改班模拟)
本卷共6页，满分210分（含附加题与思维扩展）。请在答题区域内作答，全程不得使用计算器，考试时间180分钟。
选择题部分
一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，选择正确才给分)
1．下列函数中，①；②；③；④．函数图像经过第四象限的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，能够组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，将它绕着中点顺时针旋转一定角度后到，恰好使，与边交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．。
5．二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ；其中正确的结论有（ ）
A．2 个.B．3 个 C．4 个 D．5 个．
6．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状，如图是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝bx＋c的图象和函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C．D．
三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
9．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
10．如图，在中，，．以为直径作，作直径，连结并延长至点E，使，连结交于点F，交于点G．若，则直径的长为（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分 （*永嘉片区统一不写标明“ ”符号题目）
二、填空题(本题共8小题，共40分，标明“ ”符号题目在学校要求下选择是否与附加题替换，替换后需写附加题，不替换需写原题)
11．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为__________．
12．关于x的方程有一个增根，则_______．
13．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为______．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是______．
16．如图，纸片 ABCD面积为6，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
由此可知，由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为______．
17． 如图所示。小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD的视图，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为______________cm．
18． 已知半径为的是矩形的外接圆，点是弧上的一点，分别延长，交于点，其中．如图甲，当点是弧的中点时，______________（用的代数式表示）；如图乙，当点是弧的中点时，且，的值为________________．
三、解答题(本题共6小题，共70分，无特定要求的解答时需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程)
19．(本题10分)计算：先化简，再求值：，其中x的值是方程的解．
20．(本题12分)如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以为对角线的正方形，点、在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上，连接，请直接写出长＝______________．
21．(本题10分) 6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：(数据来自某海洋研究所)
(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？_________ , _________.
(2)数学思考：
结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论_______．
数学应用：
当潮水高度超过260，货轮能安全进出港口．问当天货轮进出港口最佳时间段？
(本题12分)某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x<0.5），第二组（0.5≤x<1），第三组（1≤x<1.5），第四组（1.5≤x<2），第五组（x≥2）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
____________________________________.
23．(本题12分)某商品的成本（单位：百元）由包装费和生产费两部分组成．其中当原料数量（单位：千克）低于4千克时，包装费（单位：百元）与原料数量之间的关系式为；当原料数量不低于4千克时，包装费全免．生产费（单位：百元）与原料数量之间的关系式为：．
(1)当原料数量时，该商品的成本为：__________（百元）；
当原料数量时，该商品的成本为：___________（百元）；（直接用含的式子表示）
(2)若，求原料数量为多少千克时，该商品的成本最少？最少是多少百元？
(3)当原料数量低于4千克时，有且仅有唯一正整数使得该商品的成本不高于2百元，直接写出的取值范围．
24．(本题14分)如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
(3)如图2，交于点H，点G是的中点。
当时，请判断与的数量关系为_______________，并说明理由．
四、附加题(本题共2小题，共10分，用于适应温州部分地区教学进度，经校方允许可与17,18题替换，未说明则不必写)
17．(本题6分)如图，在中，，AD为的平分线，将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE，，垂足为F，EF与AB交于点G．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：．
18．(本题4分)如图，四边形内接于，为的直径，．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．
五、思维扩展(本题共9小题，共50分，分为选择题，填空题与解答题，即为试卷第27-35题，难度较大)
1．(本题4分)对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(本题4分)清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图）．设四个全等直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，五边形的面积为，的面积为，若，，则的值为 A．5 B．6 C．7 D．8
3．(本题4分)如图， ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A．等于定值5﹣ B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
4．(本题4分)如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接BE，DE，过点E作EF⊥BD于点F．设图1中一线段的长为x，DE＝y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）A．线段FE B．线段CE C．线段BE D．线段AE
5．(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且，的面积为9，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．(本题6分)如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，AD＝AB．将△ADE绕点A旋转，AD、AE分别交BC于点F，G，当∠AGB＝75°时，_____．
7．(本题6分)对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72 []=8 []=2 []=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
8．(本题8分)在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，．
(1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长；
(2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证： ；
(3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
9．(本题10分)如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；
如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标
