西宁市海湖中学2023年九月高二年级数学
开学考试卷
考试时间：120分钟 分值:150分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：
1. 如果向量，，那么等于
A. B. C. D.
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
4．疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到社区宣传的概率为（ ）
A． B． C． D．
5. 高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为
A. 168 B. 175 C. 172 D. 176
6. 已知，且，则（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）
A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79
C.甲班平均数大于乙班平均数估计值 D. 甲班的中位数为74
二、多项选择题：
9．已知是复数，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的虚部为
C．复数在复平面中对应的点所在象限为第二象限
D．若复数是纯虚数，则复数的共轭复数为
10．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ）
A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
11. 设P表示一个点,表示两条直线,表示两个平面,下列说法中正确的是
A. 若,则
B. 若,,则
C. 若,,,,则
D. 若,,,则
12．如图，已知正方体的棱长为，、分别为、的中点，在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与点位置无关
B．若为中点，三棱锥的体积为
C．若为中点，则过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
D．若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为三角形
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。
13. 已知向量， ，则在方向上投影向量等于___________.
14.已知样本数据的方差为，则数据的标准差是__________.
15. 设三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．
16. 广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.如果被截正方体的棱长为，那么玩具石凳的表面积为______.
四、解答题：
17. 已知平面向量满足，且的夹角为.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求和夹角的余弦值.
18. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
19．为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在内）分为组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值以及女生被抽取的人数；
(2)估计这100人比赛成绩的分位数（小数点后保留2位）.
20．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲 乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲 乙胜出的概率分别为，，甲 乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲 乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲 乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
21．如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面;
22．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值。海湖中学高二数学开学考测试题（答案）
B A D D B C A C
ABD
BD
CD
AC
一、选择题．
1. 如果向量，，那么等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ,选B.
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以，
故复数的虚部为.
故选：A.
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】因为的面积为，，
所以，即.
所以，
所以.
故选：D.
4．疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到社区宣传的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】从六个社区中，随机选择两个社区，有，共种结果；
其中该小组到社区宣传的结果有：，共种；
该小组到社区宣传的概率.
故选：D.
5. 高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为
A. 168 B. 175 C. 172 D. 176
【答案】B
【解析】
【分析】将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.
【详解】将7人的身高从低到高排列：
第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为
故选：B
6. 已知，且，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用向量平行公式求出的值，代回两向量坐标，算出的坐标，再利用向量的模公式进行求解.
【详解】因为，，，
所以，解得，
所以，，
所以， ，
故选：C
7. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为,则母线长为,高为,由同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,可知棱锥与圆锥的体积相等,进而求解.
【详解】由题,设圆锥的底面半径为,
因为圆锥的侧面展开图是半圆,则母线长为,高为,
因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,所以棱锥与圆锥的体积相等,
所以,解得,
所以母线长为,
故选:A
【点睛】本题考查圆锥的体积公式的应用,考查理解分析能力.
8. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）
A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79
C. 甲班平均数大于乙班平均数估计值 D. 甲班的中位数为74
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知数据图，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D.
【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，
由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误；
对于乙班物理成绩的频率分布直方图，
前三个矩形的面积之和为 ，
故乙班成绩的75百分位数为80，B错误；
由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，
故甲班的中位数为79，D错误；
甲班平均数为，
乙班平均数估计值为，
即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，
故选：C
二、多选题
9．已知是复数，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的虚部为
C．复数在复平面中对应的点所在象限为第二象限
D．若复数是纯虚数，则复数的共轭复数为
【答案】ABD
【分析】对于A，复数的除法求出，结合复数模公式，即可求解；
对于B，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解；
对于C，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；
对于D，结合纯虚数和共轭复数的定义，即可求解．
【详解】对于A，，则，故，故A正确；
对于B，，则，，其虚部为，故B正确；
对于C，，故复数z在复平面中对应的点所在象限为第一象限，故C错误；
对于D，复数是纯虚数，则，解得，
故，所以，故D正确．
故选：ABD．
10．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ）
A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
【答案】BD
【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD.
【详解】对A，由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，
所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
对B，记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3，
不放回地从中取2个球的样本空间
共20种，
记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”，
则，
所以，故B正确；
对C，有放回地从中取2个球的样本空间
，共25种；
记事件为“取出1个红球和1个白球”，则
，共12种，
所以，故C错误；
对D，记事件为“取出2个白球”，则，共9种；
所以，
所以至少取出1个红球的概率为，故D正确.
故选：BD
11. 设P表示一个点,表示两条直线,表示两个平面,下列说法中正确的是
A. 若,则
B. 若,,则
C. 若,,,,则
D. 若,,,则
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据公理以及直线在平面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解.
【详解】当时,,,但,故A错;
当时,B错;
如图：,,,∴由直线a与点P确定唯一平面,又,由a与b确定唯一平面,但经过直线a与点P,与重合,,故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.
故选：CD.
12．如图，已知正方体的棱长为，、分别为、的中点，在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与点位置无关
B．若为中点，三棱锥的体积为
C．若为中点，则过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
D．若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为三角形
【答案】AC
【分析】根据锥体的体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，由此确定正确答案．
【详解】对于A选项，由正方体可得平面平面，平面
所以平面，又，所以点到平面的距离为定值即的长
因为，由于三角形的面积固定，所以三棱锥的体积与点位置无关，A选项正确；
对于B选项，，所以，B选项错误；
对于C选项，当为中点时，连接，
则是的中点，连接，
由于，分别是，的中点，所以，
由于，则，
即过点，，作正方体的截面是等腰梯形，
，
等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，C选项正确；
对于D选项，当与重合时，
延长交的延长线于，连接，交于，连接，
延长交的延长线于，连接，交于，连接，
则五边形是过点，，作正方体的截面，D选项错误．
故选：AC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．
13. 已知向量， ，则在方向上投影向量等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出，根据投影向量的概念即可求得答案.
【详解】由题意向量，，则，
则在方向上的投影向量为，
故答案为：
14.4
15. 设三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.
【详解】与对立，，
与互斥，.
故答案为：.
16. 广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.如果被截正方体的棱长为，那么玩具石凳的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】分别计算每个表面和每个顶点被截后的图形的面积，再计算表面积即可.
【详解】依题意，六个表面被截后，都是正方形，边长为2，每个正方形的面积为4，八个顶点被截后，都是等边三角形，边长为2，每个三角形的面积为，所以玩具石凳的表面积为.
故答案为：.
四、．解答题:(本大题共6小题，共70分)．
17. 已知平面向量满足，且的夹角为.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求和夹角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).
【解析】
【详解】试题分析：(Ⅰ)利用模长平方与向量的平分相等，将已知两边平方展开，得到关于的方程解之即可；(Ⅱ)分别求出和模长以及数量积，利用数量积公式求夹角.
试题解析：(Ⅰ)由已知得，即，解得.
(Ⅱ)， .
又.
所以和夹角的余弦值为.
18. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
【答案】（1）0.42；（2）0.46.
【解析】
【分析】
（1）由相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解；
（2）由互斥事件概率的加法公式及相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解.
【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，
由题意可知，
所以；
（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥
所以
.
19．为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在内）分为组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值以及女生被抽取的人数；
(2)估计这100人比赛成绩的分位数（小数点后保留2位）.
【答案】(1)，45
(2)86.67
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得的值，结合分层抽样的分法，求得女生被抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图的百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得，其中女生被抽取的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可得：，，
所以分位数位于区间，则分位数为.
20．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲 乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲 乙胜出的概率分别为，，甲 乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲 乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲 乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【答案】(1)派甲参赛赢得比赛的概率更大
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式求出甲、乙赢得比赛的概率，即可判断；
（2）记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，利用对立事件与相互独立事件的
概率公式求出，即可得解.
【详解】（1）记事件为“甲在第一轮比赛中胜出”，为“甲在第二轮比赛中胜出”，
为“乙在第一轮比赛中胜出”，为“乙在第二轮比赛中胜出”，
则相互独立，且．
因为在两轮比赛中均胜出视为赢得比赛，
则为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，
所以，
．
因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，
则“两人中至少有一人赢得比赛”．
由（1）知，，，
所以，
，
所以，
故两人中至少有一人赢得比赛的概率为．
21．如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面;
(3)求该组合体的表面积．
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
【分析】（1）先证明平面，平面，继而得到平面平面，由面面平行的性质定理，即得证；
（2）由线面垂直的性质得，易知，由线面垂直的判定定理即可证明；
（3）分别求解各个面的面积，即得解.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以平面，
又为正方形，故，平面，平面，
所以平面.
又平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
（2）因为平面，平面，所以.
因为,平面，
所以平面.
22．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理结合基本不等式求得，利用三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据和正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，则，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域.
【详解】（1）由，
根据正弦定理得：，
又，
代入上式得：，
又，所以，
又，所以；
（2）由，代入得：，
根据基本不等式得，得，当且仅当时，等号成立，
则的面积为：，
故面积的最大值为.
