数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算（共31张ppt）

(共31张PPT)
1.1
空间向量及其运算
第一章
1.1.2 空间向量的数量积运算
教学目标
1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象)
2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算)
3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算)
复习回顾
问题 （1）空间中共线向量的定理是什么？
（2）共面向量基本定理于是什么？
（3）四点共面的充要条件是什么？
向量共面的充要条件:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使.
新课导入
导
平面向量及其线性运算
空间向量及线性运算
推广
平面向量数量积运算
空间向量数量积运算
推广
类比与转化
思
探究：类比平面向量的数量积运算，将平面向量数量积推广到空间数量积的运算
问题 回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
思
问题 什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量的夹角得出空间向量的夹角定义？
B
A
向量是可以平移的
平面向量的夹角
两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做 ＝a ，
＝b ，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
b
a
.
O
α
A
B
空间向量的夹角
两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做 ＝a ，
＝b ，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
b
a
.
O
α
A
B
两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：
a · b＝|a||b|cos〈a，b〉.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
空间两个向量的数量积性质
注：
　性质②是证明两向量垂直的依据；
　性质③是求向量的长度（模）的依据.
问题:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影向量
b
a
A
B
A1
D
C
B1
b
a
.
O
N
M
M1
＝|a|cos〈a,b〉
作法1
作法2
追问：在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？
A
B
(1)
(2)
(3)
问：类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b), λ∈R
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
平面向量数量积的运算律：
空间向量？
同样满足上述运算律！
A
O
B
C
分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明
a
b
c
C’
A
B
C
O
题型三　用数量积求角度
总结
跟踪训练
探究
利用数量积求距离或长度
例 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.
【练习1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求
【解】
（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？
（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？
（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？

课堂小练
B
A
B
回顾本节课的学习过程，你学到了什么？
1 数量积运算解决立体几何问题
(1) 求空间中两点间的距离或线段长度：求对应的向量的模
(2) 求空间中两条异面直线所成的角：求对应的两个向量的夹角
(3) 证明线线垂直问题：对应的两向量的数量积为零
2 类比平面向量的研究方法
类比
猜想
证明或转化
推广
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