2023年内蒙古自治区呼伦贝尔、兴安盟中考数学试题（含答案）

姓名 准考证号
2023 年呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试
数 学
温馨提示：
1. 本试卷共 6 页，满分 120 分。考试时间 120 分钟。
2. 答卷前务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上；选择题答案选出后，请
用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，
再改涂其他答案；非选择题，请用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上。在试卷上作
答无效。
3. 请将姓名与准考证号填写在本试卷相应位置上。
4. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确. 共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1． 5 的倒数是
A 1． B 1． C．5 D． 5
5 5
2．由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A B C D
3．下列运算正确的是
A． 3 2 3 2 6 B． 3 a2 a6
C 1 1 2 1 b 1． D．
2a a 3a 3ab 3a b 2
4．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点 C 在 FD 的延长线上，且 AB∥FC，则∠CBD
的度数为
A．10° B．15°
C．20° D．25°
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学试卷 第 1 页（共 6 页）
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5．不等式 x 1＜ 5 的正整数解的个数有
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
6．下列命题正确的是
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14 精确到十分位
C．点（ 2 , 3）关于 x轴的对称点坐标是（ 2 ,3）
D 2 2．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是 S甲=2.25，S乙 =1.81,
则甲成绩比乙的稳定
7．某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分. 某队在 12
场比赛中得 20 分. 设该队胜 x场，负 y场，则根据题意，列出关于 x、y的二元一次方程组
正确的是
x y 20 x y 12A． B．
x 2y 12 x 2y 20
x y 20 x y 12C． D．
2x y 12

2x y 20
8．若实数 m，n是一元二次方程 x2 2 x 3 =0 的两个根，且 m＜n，则点（m，n）所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形 ABCD 各边中点 E、F、G、H，
则四边形 EFGH 的周长为
A． 4 2 3 B．6 2 3
C． 4 4 3 D．6 4 3
10 k．如图，直线 y ax （b a 0）与双曲线 y (k 0)交于点 A（ 2 , 4）和点 B（m , 2），
x
则不等式 0 ax b k 的解集是
x
A． 2 B． 2 C．x< 2 或 0D． 2 4
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11．如图，在△ABC 中，∠ABC=90° ，∠BAC=60° ， 以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画
弧交 AC 于点 D 1，连接 BD，再分别以点 B，D 为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧
2
交于点 P，作射线 AP 交 BD 于点 M，交 BC 于点 E，连接 DE，则 S△BDE:S△CDE的值是
A．1:2
B．1: 3
C．2:5
D．3:8
12．将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图 1 所示，动点 P 从点 A 出发，沿路径 A→B→
C→D→E→F 匀速运动，速度为 1cm/s，点 P 到达终点 F 后停止运动，△APF 的面积
S cm2 S 0 与点 P 运动的时间 t（s）的关系如图 2 所示，根据图象获取了以下的信息：
①AF=5cm；
②a=6；
③点 P 从点 E 运动到点 F 需要 10s；
④矩形纸板裁剪前后周长均为 34cm.
其中正确信息的个数有 图 1 图 2
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题（本题 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
13．分解因式： x3 4x = .
14．如图，在平面直角坐标系中，点 B 坐标（8，4），连接 OB，将 OB 绕点
O 逆时针旋转 90°，得到 OB’，则点 B’的坐标为 .
15．实数m 2在数轴上对应点的位置如图所示，化简： m 2 .
16．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以点 A 为圆心，AB 为半径画
弧 BF，得到扇形 BAF（阴影部分）. 若扇形 BAF 正好是一个圆锥的
侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 .
17．观察下列各式：
S 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 ， 2 2 2 ， S 1 1 ，…1 2 1 2 2 3 2 3 3 32 42 3 4
请利用你所发现的规律，计算： S1 S2 S50 .
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三、解答题（本题 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）
2
18．计算： 8 2 2023 0 1 2cos60 .
2
19 2．先化简，再求值： 2x y x y x y 5x x y ，其中 x 6 1，y 6 1 .
20．如图，A，B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘 A 上的数字分
别是 6， 1，5，转盘 B 上的数字分别是 6， 7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他
完全相同）. 小聪和小明同时转动 A，B 两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界
线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘 A 指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘 A 指针所指的数字记为 a，转盘 B 指针所指的数字记为 b，
若 a+b>0，则小聪获胜；若 a+b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游
戏是否公平.
21．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD. 如图所示，一架水平飞行的无人机在
A 处测得河流左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 12 米至 B 处，测
得河流右岸 D 处的俯角为 30°，线段 AM= 24 3 米为无人机距地面的铅直高度，点 M，C，
D在同一条直线上，其中 tan =2. 求河流的宽度CD（结果精确到 1米，参考数据： 3 1.7 ）.
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四、（本题 7 分）
22．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学
生成绩进行统计，按成绩分为如下 5 组（满分 100 分），A 组：75≤x＜80，B 组：80≤x＜85，
C 组：85≤x＜90，D 组：90≤x＜95，E 组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图表.
请结合统计图表，解答如下问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，学生成绩统计表中 m= ；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；
（4）若成绩在 90 分及以上为优秀，学校共有 2000 名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？
学生成绩统计表 学生成绩统计图
组别 成绩 x 频数
A 75≤x＜80 20
B 80≤x＜85 m
C 85≤x＜90 144
D 90≤x＜95 45
E 95≤x≤100 n
五、（本题 7 分）
23．如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，点C 是 AE的中点，连接 BC，过点 C 的直线
垂直于 BE 的延长线于点 D，交 BA 的延长线于点 P.
（1）求证：PC 为⊙O 的切线；
（2）若 PC＝ 2 2 BO，PB＝10，求 BE 的长.
六、（本题 9 分）
24．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便
宜 10 元，某商家用 2500 元购进的肉粽和用 2000 元购进的豆沙粽盒数相同.
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有 A，B 两个厂家可供选择，两个厂
家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A 厂家：一律打 8 折出售.
B 厂家：若一次性购买礼盒数量超过 25 盒，超过的部分打 7 折.
该商家计划购买豆沙粽礼盒 x盒，设去 A 厂家购买应付 y1 元，
去 B 厂家购买应付 y 元，其函数图象如图所示：
2
①分别求出 y1 ， y2 与 x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
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七、（本题 9 分）
25．已知正方形 ABCD，E 是对角线 AC 上一点.
（1）如图 1，连接 BE，DE. 求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图 2，F 是 DE 延长线上一点，DF 交 AB 于点 G，BF⊥BE.
判断△FBG 的形状并说明理由；
3 AE（ ）在第（2）题的条件下，BE=BF=2. 求 的值.
AB
图 1 图 2
八、（本题 13 分）
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2 bx c与 x轴的交点分别为 A 和 B
（1，0）（点A在点 B的左侧），与 y轴交于点C（0，3），点 P 是直线AC 上方抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，过点 P 做 x轴平行线交 AC 于点 E，过点 P 做 y 轴平行线交 x 轴于点 D，
求 PE+PD 的最大值及点 P 的坐标；
（3）如图 2，设点 M 为抛物线对称轴上一动点，当点 P，点 M 运动时，在坐标轴上确定点N，
使四边形 PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点 N 的坐标.
图 1 图 2 备用图
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2023年呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试
数学答案及评分标准
一、选择题（每小题 3分，共 36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D B A C D B C B A C
二、填空题（每小题 3分，共 15分）
x(x 2)(x 2) - 2 m 2 50 5013 . 14．（ 4, 8） 15. 16． 17．
3 51
三、解答题（每小题 6分，共 24分）
18．解：原式 8 2 1 1 4 2 …………（4分）
2
2 2 2 1 4 1
2 2 2 …………（6分）
19.解：原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy
=9xy …………（4分）
当x 6 1, y 6 1时
原式 （9 6 1）（ 6 1） 9（6 1） 45 …………（6分）
1
20．（1） …………（1分）
3
（2）解：列表得：
b a -6 -1 5
6 (-6,6) (-1,6) (5,6)
-7 (-6,-7) (-1,-7) (5,-7)
4 (-6,4) (-1,4) (5,4) …………（3分）
一共有 9种等可能的结果
其中 a+b>0的有 4种（-1，6）、（-1，4）（5，6）（5，4）;
其中 a+b<0的有 4种（-6，-7）、（-6，4）（-1,-7）（5，-7）
4 4
∴P（小聪获胜） = ；P（小明获胜） =
9 9
P（小聪获胜） = P（小明获胜）
∴ 这个游戏公平 …………（6分）
21.解：过点 B作 BE⊥MD于点 E. 则四边形 AMEB是矩形.
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学答案 第 1 页 （共 7页）
∴BE=AM= 24 3，ME=AB=12
∵AF∥MD
∴∠ACM=
在 Rt△AMC中，∠AMC=90°
∴tan = =2 ∴
∴MC=12 3 …………（3分）
在 Rt△BDE中，∠BED=90° ,∠DBE=90°－30°=60°
∴tan∠DBE= ∴tan60°= = 3 ∴DE= 24 3 × 3 =72
∴CD=DE－CE=DE－(MC－ME)=72－(12 3－12)=84－12 3 ≈84－12×1.7=84－20.4≈64米
答：河流的宽度 CD约为 64米. …………（6分）
四、（本题满分 7分）
22．（1）400 , 176 …………（2分）
（2）C …………（3分）
（3）解:∵n=400-(20+176+144+45)=15
∴扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数为 15 100% 360 °=13.5°
400
答：扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数为 13.5°. …………（5分）
（4）解： 45 15×100%=15%
400
15%×2000=300
答：估计该校成绩优秀的学生约有 300名. …………（7分）
五、（本题满分 7分）
23.证明：（1）连接 OC
∵BD⊥CD
∴∠D=90°
∵点 C是 AE的中点
∴AC=CE,
∴∠ABC=∠CBD
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠OCB＝∠CBD.
∴OC∥BD
∴∠PCO=∠D =90°
∴OC⊥PD
∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线 …………（3分）
（2）证法一：连接 AE交 OC于M
∵PC＝ 2 2 BO, BO=CO
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学答案 第 2 页 （共 7页）
∴PC＝ 2 2 CO
∵PB=10
∴PO=PB-OB=10-OC M
∴在 Rt△PCO中 PC2+OC2=PO2
（ 2 2 CO）2+OC2=（10-OC） 2
5
OC= 或 OC=-5（不符合题意，舍去）
2
∵点 C是 AE的中点, OC是半径
∴OC 垂直平分 AE
∵OA=OB
∴OM 是△AEB的中位线
∴BE=2OM …………（5分）
∵AB 是直径
∴∠AEB =∠D =90°, ∴AE∥PD
5
OM OA 1
∴ 2 5 OC OP 10 3
2
1 1 5 5
∴OM= OC =
3 3 2 6
5 5
∴BE= 2 …………（7分）
6 3
证法二：过点 O作 OH⊥BD于点 H，
∴∠DHO =90°,BE=2BH
∵PC＝ 2 2 BO, BO=CO
∴PC＝ 2 2 CO
∵PB=10
∴PO=PB-OB=10-OC
∴在 Rt△PCO中 PC2+OC2=PO2 H
（ 2 2 CO）2+OC2=（10-OC） 2
5
OC= 或 OC=-5（不符合题意，舍去）
2
∵∠PDB=∠DHO=∠OCD =90°
∴四边形 COHD是矩形
5
∴DH=CO= …………（5分）
2
∵OC∥BD
∴△PCO∽△PDB
PO CO 15 5
∴ ∴
PB BD 2 210 BD
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学答案 第 3 页 （共 7页）
10
∴BD=
3
10 5 5
∴BH= - =
3 2 6
5 5
∴BE=2 BH=2× = …………（7分）
6 3
六、（本题 9分）
24.解：（1）设每盒豆沙粽的进价为 a元，则每盒肉粽的进价为（a+10)元
2000 2500

a a 10
方程两边乘 a(a 10),得 2000(a 10) 2500a
解得 a=40
检验：当 a=40时，a(a+10)≠0
∴a=40 是原方程的解…
a+10=50
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为 50元和 40元. …………（4分）
(2) ①y1=40×80%x=32x(x≥0且 x为整数)
当 0≤x≤25且 x为整数时，y2=40x
当 x＞25且 x为整数时，y2=1000+（40x-1000）×70%=28x+300
40x(0 x 25且x为整数)
∴y2= …………（7分）
32x 300(x 25且x为整数)
②当 x＞25且 x为整数,
y1= y2 时 32x =28x+300
x=75
由图象可知：购买粽子礼盒少于 75盒，去 A厂家购买划算；
购买粽子礼盒等于 75盒，去 A厂家或 B厂家购买一样划算；
购买粽子礼盒多于 75盒，去 B厂家购买划算. …………（9分）
七、（本题满分 9分）
25. 解：(1)∵四边形 ABCD是正方形，AC是对角线
∴AB=AD,∠BAE=∠DAE=45°
在△ABE和△ADE中
AB AD

BAE DAE

AE AE
∴△ABE≌△ADE (SAS) …………（2分）
(2)△FBG 是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE
∴∠ABE=∠ADE
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学答案 第 4 页 （共 7页）
∵四边形 ABCD是正方形
∴∠DAG=90°
∴∠ADE+∠AGD=90°
∵∠AGD=∠FGB
∴∠ADE+∠FGB=90°
∵FB⊥BE
∴∠EBF=90°
∴∠ABE+∠FBG=90°
∴∠FGB=∠FBG
∴BF=FG
∴△FBG是等腰三角形. …………（5分）
(3)∵BE=BF=2 BF=FG
∴BE= BF=FG=2
又∵FB⊥BE
∴△FBE是等腰直角三角形.
∴∠BEF=∠BAE=45°, BF2+BE2=EF2
∴EF2=22+22=8
∴EF=2 2 ∴GE=2 2 —2
∵∠BEF=∠BAE=45°,∠ABE=∠EBG
∴△ABE∽△EBG
AE EG
∴
AB BE
AE EF FG 2 2 2
∴ 2 1 …………（9分）
AB BE 2
八、（本题满分 13分）
26 1 y x2．解：（ ）∵抛物线 bx c与 x轴交于点 B（1，0），与 y轴交于点 C（0，3）
1 b c 0

c 3
b 2
解得
c 3
抛物线的解析式为： y x2 2x 3 …………（3分）
2
（2）当 y=0时，0= x 2x 3
解得 x1=－3, x2=1
∴A（-3，0）
设直线 AC的解析式为：y=kx+n(k≠0)
3k n 0 k 1
把 A(-3,0),C(0,3)代入得： 解得
n 3 n 3
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学答案 第 5 页 （共 7页）
∴直线 AC的解析式为 y=x+3 …………（4分）
设 P（m, m2 2m 3）
∵PE∥x轴
2
∴点 E的纵坐标为 m 2m 3
又∵点 E在直线 AC上
∴ m2 2m 3=x+3 x= m2 2m
∴E（ m2 2m , m2 2m 3）
∴PE= m2 2m m = m2 3m
∵PD∥y轴
∴PD= m2 2m 3
∴PD+PE= m2 2m 3 +( m2 3m )= 2m2 5m 3 5 49 = （2 m ）2 …………（6分）
4 8
∵-2＜0,-3＜m＜0
5 49
∴当 m= 时，PD+PE有最大值，最大值为
4 8
5 5 2 5 63
当 m= 时， y ( ) 2 ( ) 3
4 4 4 16
5 63
∴点 P的坐标为（ ， ）
4 16
49 5 63
答：PD+PE的最大值为 ，点 P的坐标为（ ， ）
8 4 16 …………（8分）
（3）情况一：当点 N在 y轴上时，P为抛物线的顶点
当x 1时，y ( 1)2 2 ( 1) 3 4
顶点坐标（-1,4）
∵四边形 PMCN为矩形 ∴N与 P纵坐标相同
∴N(0,4)
…………（9分）
当点 N在 x轴负半轴上时，四边形 PMCN 为矩形
过 M 作 y 轴的垂线，垂足为 G, 过 P作 x轴的垂线，垂足为 H,
设 N(t,0),则 ON=-t
∴∠MCN=∠CNP=90°,CM=NP
∴∠MCG+∠OCN=90°
∵∠ONC+∠OCN=90°
∴∠MCG=∠ONC
又∵∠CGM=∠CON=90°
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学答案 第 6 页 （共 7页）
CG MG
∴△CMG∽△NCO ∴
ON OC
2
∵抛物线对称轴为 x 12 , 点 M在对称轴上，C（0,3） ( 1)
∴MG=1,OC=3
CG 1
∴ ,即CG
1
t
t 3 3
∵∠MCG+∠CMG=90°, ∠ONC+∠PNH=90°
∴∠CMG=∠PNH
1
∴△CMG≌△PNH ∴NH=MG=1, HP=CG= t
3
∴OH=ON+NH=-t+1
1
∴点 P 的坐标为（t-1, t）
3
∵点 P 在抛物线上
1
t （t 1）2 2(t 1) 3
3
t =1 145 , t =1 145 1 145解得 1 2 （舍去） ∴ N( , 0)
6 6 6
1 145
综上所述：符合条件的 N点坐标为：N(0,4) 或 N( , 0)
6 …………（13分）
P N
M G
M
P
H N
呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学答案 第 7 页 （共 7页）