1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.1.1空间向量及其线性运算
1.理解空间向量的有关概念.
2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律.
4.理解向量共面的充要条件，并会运用判断两空间向量是否共面.
核心素养：数学运算、数学抽象、直观想象
学习目标
新课导入
导
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类比
问题导学（5分钟）
阅读课本2-5页，并思考下列问题
1.空间向量及相关概念有哪些？
2.空间向量的线性运算有哪些？
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 . 空间向量的大小叫做向量的长度或模 .
空间向量的有关概念
2.空间向量的表示
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模.
A
B
1.空间向量
A
B
C
O
特殊的空间向量
空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致．
方向相同且模相等的向量叫做相等向量．因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
加减运算
在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间向量的加法和减法运算与平面向量相同.
(1)空间向量加法运算：
平行四边形法则：
三角形法则：
注：首尾顺次相接，起点指向终点
空间向量的线性运算
三角形法则推广
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间向量的加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算：
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
数乘运算
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
空间向量的线性运算
【拓展提升】空间向量的线性运算
课本P5-2
E
F
同起点的两个平面向量的和向量为平行四边形的对角线所在向量；
同起点的三个空间向量的和向量为平行六面体的体对角线所在向量.
探究：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
共线向量定理：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
向量共线定理



如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
直线的方向向量
如图1.1-8，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l . 如果直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α .平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
共面向量
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的 . 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
可以发现，如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 .（共面向量定理）
问题7 对平面内任意两个不共线向量 a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 p 可以写成 ，其中 (x，y) 是唯一确定的有序实数对 . 对两个不共线的空间向量 a，b，如果，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，？
问题
例题讲解
O
A
B
C
D
E
F
G
H
思路探究：欲证 四点共面，只需证明
共面.而由已知 共面，可以利用向量运算由
共面的表达式推得 共面的表达式.
例：如图，已知平行四边形 ，过平面 外一点 ，
作射线 ，在四条射线上分别取点 ,使
.
求证： 四点共面.
考点：空间中四点共面的判定.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
是平行四边形
由向量共面的充要条件可知， 共面,又 过同一
点 ,从而 四点共面.
证明： .
练习
空间向量有关概念的辨析
1.（多选）下列命题正确的是（ ）
A.零向量没有确定的方向
B.在正方体中，
C.若向量与向量的模相等，则的方向相同或相反
D.在四边形中，必有
答案：AB.
解：A正确；B正确，因为与 的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以；C中，虽然，但是的方向不能确定；D中，只有当四边形为平行四边形时，才有
练习
方法技巧：
空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约.
练习
2.如图所示，以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若，求向量的模.
解：(1)与相等的向量有,，，共3个.
(2)向量的相反向量为，，，共4个.
(3)因为
所以
练习
3.如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；
(2)；(3).
解：(1).
(2)因为是的中点,所以
又因为，所以
(3).
练习
空间向量的共面问题
4.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点分别在对角线上，且.求证：向量共面.
证明：因为在上，且所以
同理
所以
.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.
练习
方法技巧：
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合，即若，则向量共面.
(2)若存在有序实数组使得对于空间任一点，有，且成立，则四点共面.
练习
5.已知非零向量不共线，如果，，，求证：四点共面.
证明：令，
则
因为不共线，所以解得
所以，
所以四点共面.
课堂小结
1.空间向量的概念.
2.空间向量的加法、减法、数乘运算.
3.共线向量（平行向量）的概念及空间向量
共线的充要条件及其应用.
4.共面向量的概念及空间向量共面的充要条
件及其应用.
平面向量
空间向量
类比
课后作业
课本 的第2，3，4，5题.
本课结束
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