1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
高二—人教A版—数学—选择性必修第一册第一章
空间向量及其线性运算
教学目标
1、定义：
平面内既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
A
B
C
D
2、表示法：
回顾
向量加法的三角形法则
a
b
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
a
b
a －
b
a ＋
b
a (k>0)
k
a (k<0)
k
向量的数乘
a
首尾相接,首尾连
共起点,对角线
共起点,连终点,指向被减向量
回顾
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
回顾
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。
回顾
章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，用图示法表示这些力
资料
起点
终点
空间向量的有关概念
定义：
既有大小又有方向的量。
表示
几何表示法：有向线段
符号表示法：
AB
长度（模）
回忆平面向量的概念与表示法，你能类比平面向量给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？
向量的大小，记作
平面向量 空间向量
零 向 量：
单位向量：
相反向量：
相等向量：
共线向量：
空间向量的有关概念
类比平面向量，思考空间向量的有关概念
a
b
a
b
a
b
+
O
A
B
b
C
a (k>0)
k
a (k<0)
k
空间向量的数乘
空间向量的加减法
学习新知
O●
A
B
C
推广：
O●
A
B
C
学习新知
A
B
C
D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
a
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.
a
记做ABCD-A1B1C1D1
学习新知
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
M
探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
问题
空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？
1.空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
2.直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把 称为直线l的方向向量.
与向量平行的非零向量
想一想　对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c， 是否可以得到a∥c
不能.若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.
共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .
思考　
空间中，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。
正误辨析:
×
即时巩固
2.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.(　　)
3.空间中任意三个向量一定是共面向量.(　　)
×
×
×
典例剖析
例 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝e1＋ke2， ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
(2) 已知平行四边形ABCD ，从平面AC外一点O引向量使 , 求证：四点E、F、G、H共面；
例析
例：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面.
证明：因为，
所以
因为四边形是平行四边形，所以
因此
由向量共面的充要条件可知，，共面，又
过同一点，从而，，，四点共面.
练习
空间向量有关概念的辨析
1.（多选）下列命题正确的是（ ）
A.零向量没有确定的方向
B.在正方体中，
C.若向量与向量的模相等，则的方向相同或相反
D.在四边形中，必有
答案：AB.
解：A正确；B正确，因为与 的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以；C中，虽然，但是的方向不能确定；D中，只有当四边形为平行四边形时，才有
练习
方法技巧：
空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约.
练习
2.如图所示，以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若，求向量的模.
解：(1)与相等的向量有,，，共3个.
(2)向量的相反向量为，，，共4个.
(3)因为
所以
练习
3.如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；
(2)；(3).
解：(1).
(2)因为是的中点,所以
又因为，所以
(3).
练习
空间向量的共面问题
4.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点分别在对角线上，且.求证：向量共面.
证明：因为在上，且所以
同理
所以
.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.
练习
方法技巧：
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合，即若，则向量共面.
(2)若存在有序实数组使得对于空间任一点，有，且成立，则四点共面.
练习
5.已知非零向量不共线，如果，，，求证：四点共面.
证明：令，
则
因为不共线，所以解得
所以，
所以四点共面.
课堂小结
1、空间向量的概念：定义、表示法、相关概念。
2、空间向量的线性运算：加、减、数乘运算及其运算律。
3、线性运算的应用：直线的方向向量；向量共面。
作业布置
课本P5：练习 第4、5题
感谢聆听