1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标：
1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
教学重点：
空间向量的线性运算和运算律.
教学难点：
共线向量定理及共面向量定理.
情景引入
这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.显然这些力不在同一个平面内.这就是我们今天要学习的空间向量.
起点
终点
空间向量的有关概念
新课讲授
（1）定义：
既有大小又有方向的量。
表示
几何表示法：有向线段
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致。
向量的大小，记作
回顾：平面向量的有关概念
（2）零向量：
规定：长度为0的向量叫做零向量，记作:
（3）单位向量：
模为1的向量称为单位向量.
当有向线段的起点A与终点B重合时，
（4）相反向量：
与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量。
记作:
（5）相等向量：
方向相同且模相等的向量称为相等向量
因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
空间向量的有关概念
空间任意两个向量都是共面的
由于空间任意两个向量都可以转化为同一个平面内的向量，所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们.
思考 空间两条直线的可能存在怎样位置关系？
空间两个向量是否可能异面？
a
b
a
b
O
A
B
任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量
练习: 给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 满足 ，则 ；
（3）在正方体 中，必有 ；
（4）若空间向量 满足 ，则 ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
C
问题1：平面向量的线性运算由哪些？我们如何研究这些运算的？
空间向量的线性运算
平面向量的线性运算由加法、减法和数乘运算。我们先研究了它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。
问题2：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
1.加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
1.加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2.数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
2.数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
问题3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得到空间向量线性运算的运算律吗？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
猜想
问题：如何证明空间向量加法结合律？
在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，记=a，=b，=c
则a+(b+c)= +(+ )= +
=
(a+b)+c=( +)+ = +
=
∴a+(b+c)=(a+b)+c
问题：如何证明空间向量加法结合律？
结论：一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以点O为起点，a，b，c为邻边做平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体的体对角线所示的向量。
C
'
B
'
A
'
D
'
D
A
B
C
注②: 始点相同的三个不共面向量之和, 等于以这三个向量为
棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
注①：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变。
共线向量
问题 还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？
平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件
对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
方向向量：O是直线 l上一点，在直线 l上取非零向量 a，我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量.
共线定理：对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .

如图1.1-8，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l . 如果直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α .平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
共面向量
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的 . 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
可以发现，如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 .（共面向量定理）
问题7 对平面内任意两个不共线向量 a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 p 可以写成 ，其中 (x，y) 是唯一确定的有序实数对 . 对两个不共线的空间向量 a，b，如果，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，？
问题
典例分析
例 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA,OB, OC,OD，在四条射线上分别取点E,F,G,H，使
求证：E,F,G,H四点共面.
练习1：如图，已知，，，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：，，，四点共面.
证明：如图，连接EG，BG．
因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要条件可知，向量，，共面，
又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
从而，，，四点共面.
练习巩固
练习2：已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线，如果，则的值为____________
【答案】
，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
练习巩固
练习3：已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为____________
【答案】
因为，点在确定的平面内，
所以，即，所以，
所以当时，的有最小值2．
课堂小结
类比平面向量推广得到空间向量
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
减法：三角形法则
加法：三角形法则或平行四边形法则
空间向量
数乘：ka，k为正数,负数,零
加法交换律
加法结合律
数乘分配律
概念
既有大小又有方向的量。
空间向量的共面充要条件（共面向量定理）
空间向量的共线的充要条件（共线向量定理）
课堂小结
本课结束
“
”