1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影向量的概念.（数学抽象）
2.理解空间向量的数量积的运算律：交换律和分配律.并可以与数的乘法相联系与区别.（数学运算）
3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题.（逻辑推理、数学运算）
学习目标
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
复习引入
复习引入
已知两个非零向量 , 作 ,
，则 叫做向量 的夹角.
1 向量的夹角:
O
A
B
已知两个非零向量 ,它们的夹角为 ,我们把 叫做向量 的数量积,记做 ,即 = .
2 平面向量数量积:
3 平面向量数量积的性质
4 平面向量数量积的运算律
（交换律）
（分配律）
（数乘结合律）
新知探究
问题导入：在正方体为的中点，点为上靠近的三等分点处，如何确定， 的夹角？
我们知道任意两个空间向量可平移到同一平面，因此可转化为平面向量再求其夹角。
两平面向量的夹角是如何求得的？该过程能推广到空间吗？
新知探究
如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作.
如果，那么向量互相垂直，记作.
通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
空间向量夹角定义
新知探究
思考：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？
已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
向量的数量积定义，可以得到：
.
数量积的运算性质
①a·e=|a|cos(e为单位向量).
②若a,b是非零向量,则a⊥b a·b=0;
③若a与b同向,则a·b=|a||b|;
若a与b反向,则a·b=-|a||b|.
特别地,|a|2=a·a或|a|= .
④若θ为a,b的夹角,则cos θ= .
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立)
(1)
(2)
A
B
(3)
(1)
(2)
A
B
(3)
a
c
b
不能
不能
向量没有除法运算，因为有两种乘法：一是数量积a·b，二是向量积a×b，所以向量的除法没有意义.
不成立
当a与c共线时，(a·b)·c＝a·(b·c)成立；
当a与c不共线时，(a·b)·c≠a·(b·c).
因此，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
向量的数量积不满足结合律.
证明:
空间向量数量积及其计算
例 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，
求：
＝cos 600－cos 600＝0.
【练】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解（1）∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
空间向量数量积及其计算
＝4－0＋0－2＝2.
2
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
求cos〈，〉的值．
解　因为＝－＝＋－， ＝＋，
所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝2－2＝22－12＝3，
所以cos〈，〉＝＝＝
利用数量积求夹角
空间向量的数量积
空间向量的数量积
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉=
方法总结
问题 如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB = 5，
AD = 3，AA'= 7，∠BAD = 60°，∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求：
(1) ；(2) AC'的长（精确到0.1）.
追问(1) 如何计算 ？它们的长度，夹角是多少？
AB，AD的长度和夹角均已知，AB＝5，AD＝3，
∠BAD = 60°.
解：(1)
追问(2) 为了求AC'的长，应该用哪些向量表示 ？为什么？如何表示？
可以根据已知条件与平行四边形法则，用
来表示，因为它们的模长和夹角均已知，可以进行数量积运算.
(2)
用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法.
例、如图，m、n是平面a内的两条相交直线，如果
l⊥m，l⊥n，求证：l⊥a
m
n
l
g
习题1.1#8、在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
a
O
P
A
l
已知：如图，PO，PA分别是平面a
的垂线、斜线，AO是PA在平面a内
的射影，l a，且l⊥OA，
求证： l⊥PA
例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的
长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：AB⊥CD；
A
B
C
D
E
F
例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的
长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AE、CF所成角的余弦值；
解：∵点E、F分别是BC、AD的中点
A
B
C
D
E
F
例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的
长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AE、CF所成角的余弦值；
A
B
C
D
E
F
1.对于向量 , , 和实数 ，下列命题中是真命题的为( @40@ ).
A.若 ，则 或 B.若 ，则 或
C.若 ，则 或 D.若 ，则
B
[解析] 对于A，可举反例,当 时， ；
对于C， ，只能推得 ，而不能推出 ；
对于D， 可以移项整理推得 .
随堂检测
2.在空间四边形 中， ， ，则 ， 的值为
( @42@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] ，
， ， .
3.在空间四边形 中， ____.
0
[解析] 原式 .
4.如图,在三棱柱 中, , , 是 的中点, ,求 的长.
[解析] 设 , , ,
则 ,
.
因为 ,
所以

.
回顾本节课的学习过程，你学到了什么？
1 数量积运算解决立体几何问题
(1) 求空间中两点间的距离或线段长度：求对应的向量的模
(2) 求空间中两条异面直线所成的角：求对应的两个向量的夹角
(3) 证明线线垂直问题：对应的两向量的数量积为零
2 类比平面向量的研究方法
类比
猜想
证明或转化
推广
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