黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数( )
A. B. C. D.
2. 若，则三个数称之为勾股数，从，，，中任取两个，能和组成勾股数的概率是( )
A. B. C. D.
3. 甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是、、，那么至少有一人解决这道题的概率是( )
A. B.
C. D.
4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5. 若、为一对对立事件，其概率分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则( )
A. B. C. D.
7. 在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：其中与算同一种方法，在大于且不超过的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列条件中，使点与，，三点一定共面的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果 ，那么 B. 如果与互斥，那么
C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么
11. 如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，下列运算结果，正确的有( )
A. B. C. D.
12. 下列命题正确的是( )
A. 已知，是两个不共线的向量若，，则，，共面
B. 若向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C. 若，，则与向量共线的单位向量为
D. 在三棱锥中，若侧棱，，两两垂直，则底面是锐角三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知一个样本容量为的样本的平均数为，方差为，现在样本中加入一个新数据，则此时方差是 ．
14. 已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为 用表示
15. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，，，，表示命中，，，，，表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了组随机数：
据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为 ．
16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．
Ⅰ试用，，表示出向量；
Ⅱ求与所成的角的余弦值．
18. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
求；
若，，求的周长．
19. 本小题分
分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．
求 时，该局比赛结束的概率；
求事件 “且甲获胜” 的概率．
20. 本小题分
已知向量，．
若，求实数；
若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
21. 本小题分
某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示．
求直方图中的值，并估计复赛选手年龄的平均值同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数；
根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第百分位数；
决赛由名专业评审、名媒体评审和名大众评审分别打分，打分均采用分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差结果保留三位小数．
附：方差．
22. 本小题分
如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
用向量表示向量；
求证：四点共面；
当为何值时，．2023 秋高二上九月开学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1
1. 设 1 ， 2 是两个不共线的向量，且 = + 与 1 2 = 2 1 共线，则实数 =( ) 3
1 1
A. 1 B. 3 C. D.
3 3
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的充要条件，属于基础题．
1
关键在于由题意得 1 + 2 = ( )，求解即可． 3 2 1
【解答】
1
解：向量 = 1 + 2 与向量 = 2 1 共线， 3
1
则存在唯一实数 ，使得 1 + 2 = ( 2 1 )， 3
1
则{ = 3 ，
1 =
= 1
解得：{ 1 ．
=
3
故选 D．
2. 若 2 + 2 = 2，则 , , 三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成
勾股数的概率是 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 3 4 2
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．
用列举法写出所有基本事件，计数后计算即得．
【解答】
解：从3，4，12，13中任取两个的基本事件有(3,4)，(3,12)，(3,13)，(4,12)，(4,13)，(12,13)共6个，
其中能和5组成勾股数的有(3,4), (12,13)两个基本事件，
2 1
所以所求概率为 = = ．
6 3
故选： ．
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{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
3. 甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是 1、 2、 3，那
么至少有一人解决这道题的概率是 ( )
A. 1 + 2 + 3 B. 1 (1 1)(1 2)(1 3)
C. 1 1 2 3 D. 1 2 3
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运
用．
至少有一人解决这道题的对立事件是三个人同时不能解决这道题，由此能求出至少有一人解
决这道题的概率．
【解答】
解：甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，
如果三人分别完成的概率依次是 1、 2、 3，
至少有一人解决这道题的对立事件是三个人同时不能解决这道题，
∴至少有一人解决这道题的概率是 = 1 (1 1)(1 2)(1 3).
故选 ．
4. 已知向量 ， 满足| | = 3，| | = 1，且(2 9 ) ⊥ ，则2 9 与 的夹角的余弦值
为( )
√ 5 5 2 5
A. B. C. D.
3 9 3 9
【答案】A
【解析】【分析】
根据(2 9 ) ⊥ 即可求出 = 2，从而可求出(2 9 ) = 5, |2 9 | = 3√ 5，
然后根据向量夹角的余弦公式即可求出2 9 与 夹角的余弦值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公
式，考查了计算能力，属于中档题．
【解答】
解：∵ (2 9 ) ⊥ ，
2
∴ (2 9 ) = 2 9 = 18 9 = 0，
∴ = 2，
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{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
2
∴ (2 9 ) = 2 9 = 4 9 = 5，
|2 9 | = √ (2 9 )2 = √ 36 + 81 72 = 3√ 5，
(2 9 ) √ 5
∴ cos < 2 9 , >= = ．
|2 9 || | 3
故选： ．
4 1
5. 若 、 为一对对立事件，其概率分别为 ( ) = ， ( ) = ，则 + 的最小值为( )
A. 9 B. 10 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查对立事件的概率间的关系、利用基本不等式求代数式的最值要注意：一正、二定、
三相等，属于中档题．
利用两个互为对立事件的概率和为1列出 ， 的等式；将 + 乘以求出的等式左侧展开，利
用基本不等式求解即可．
【解答】
4 1
解：由已知得 + = 1( > 0, > 0)，
4 1
∴ + = ( + )( + )
4 4
= 5 + ( + ) ≥ 5 + 2√ ·
= 9．
当且仅当 = = 5时等号成立，
故选 A．
6. 在四棱锥 中，底面 是正方形， 为 中点，若 = ， = ， = ，
则 =( )
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{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
1 3
A. +
1 1 1 1
+ B.
2 2 2 2 2 2
1 3 1 1 3 1C. + D. +
2 2 2 2 2 2
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
根据向量线性运算法则计算即可．
【解答】
1 1 1
解： = ( + ) = + ( + )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
= + + = + ( ) + ( )
2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 3 1
= + + = + ．
2 2 2 2 2 2
故选： ．
7. 在平行六面体 1 1 1 1中， = = 4， 1 = 3，∠ = ，∠ 2 1 =
∠ 1 = ， 3 = 2
1，则 的长为( )
A. 2√ 6 B. √ 42 C. 2√ 13 D. 2√ 11
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，空间向量数量积定义以及运算律的应用，空间向量模的求解，
属于中档题．
2
根据图形，利用向量的加法法则得到 = + + 1，再利用| |2 = | + +3
2 21 | ，求解即可． 3
【解答】
解：在平行六面体 1 1 1 1中，
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{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
= + ，
2
= + = + +
3 1
，
由题意可知， = = 4， 1 = 3，∠ = ，∠ 1 = ∠ 1 = ， 2 3
2
所以| | = | + + 1 |， ， 的夹角为∠ = ，2
，
3 1
的夹角为∠ 1 = ，3
， 1的夹角为∠ 1 = ， 3
故| |2 = | +
2
+ 2
3 1
|
2 2 2
= | |2 + | |2 + | |2 + 2 1 + 2 1 + 2 = 16 + 16 + 4 + 0 +3 3 3 1
1 1
2 × 4 × 2 × + 2 × 4 × 2 × = 52，
2 2
所以| | = 2√ 13．
故选 C．
8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容
是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：10 = 5 + 5 = 3 + 7(其中3 + 7与
7 + 3算同一种方法)，在大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数
都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为 ( )
4 3 1 1
A. B. C. D.
5 5 2 5
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了古典概型的计算与应用，属于拔高题．
采用列举法可得总的情况有15个，满足要求的只有3个，根据概率公式即可得到答案．
【解答】
解：在大于4且不超过16的偶数中6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，10 = 3 + 7 = 5 + 5，12 = 5 + 7，
14 = 3 + 11 = 7 + 7，16 = 3 + 13 = 5 + 11，
其中，可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10，14，16．
从大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数的所有情况有：(6,8)，(6,10)，(6,12)，
(6,14)，(6,16)，(8,10)，(8,12)，(8,14)，(8,16)，(10,12)，(10,14)，(10,16)，(12,14)，(12,16)，
(14,16)，共15种．
其中两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的情况有(10,14)，(10,16)，(14,16)，
共3种．
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{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
3 1
所以由古典概型得两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为 = = ，
15 5
故选 D．
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列条件中，使点 与 ， ， 三点一定共面的是 ( )
1 2 1 1 1
A. = + B. = + +
3 3 3 3 3
C. = + + D. + + + = 0
【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查平面向量与空间向量基本定理，属于基础题．
依据平面向量基本定理可判断 ， ；利用空间向量基本定理判断 ， ．
【解答】
1 2 1 2
解：对于 ，由 = + ，且 + = 1，
3 3 3 3
依据平面向量基本定理， ， ， 三点共线，
所以点 与 ， ， 三点共面，故 A 正确；
1 1 1 1 1 1
对于 ，由 = + + ，且 + + = 1，
3 3 3 3 3 3
依据空间向量基本定理， ， ， ， 共面，
所以点 与 ， ， 三点共面，故 B 正确；
对于 ，由 = + + ，1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1，
依据空间向量基本定理， ， ， ， 不共面，
所以点 与 ， ， 三点不一定共面，故 C 错误；
对于 ，由 + + + = 0 ，得 = ，
而 1 1 1 = 3 ≠ 1，
依据空间向量基本定理， ， ， ， 不共面，
所以点 与 ， ， 三点不一定共面，故 D 错误．
故选： ．
10. 已知事件 ， ，且 ( ) = 0.5， ( ) = 0.2，则下列结论正确的是 ( )
A. 如果 ，那么 ( ) = 0.5
B. 如果 与 互斥，那么 ( ) = 0
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C. 如果 与 相互独立，那么 ( ) = 0
D. 如果 与 相互独立，那么 ( ) = 0.4
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件和对立事件的相关概念，相互独立事件同时发生的概率等知识，属于基
础题．
根据定义结合选项依次求解作答即可．
【解答】
解：对于 选项，若 ，则 ∩ = ，则 ( ) = ( ∩ ) = ( ) = 0.2， 选项结论
错误；
对于 选项，如果 与 互斥，则 为不可能事件，所以 ( ) = 0， 选项结论正确；
对于 选项，如果 与 相互独立，则 ( ) = ( ) ( ) = 0.5 × 0.2 = 0.1， 选项结论错误；
对于 选项，如果 与 相互独立，则 ( ) = ( ) ( ) = 0.5 × 0.8 = 0.4， 选项结论正确．
故选 BD．
11. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件 和 ，其中 ( ) = 24， ( ) = 12， ( ) = 8，
( ∪ ) = 16，下列运算结果，正确的有 ( )
1 2 1
A. ( ) = 4 B. ( ) = C. ( ∪ ) = D. ( ) =
6 3 2
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，考查韦恩图等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
利用事件的关系及古典概型的计算公式直接判断．
【解答】
解：对于 ，∵ ( ∪ ) = ( ) + ( ) ( )，
∴ ( ) = ( ) + ( ) ( ∪ ) = 4，故 A 正确;
( ) 4 1
对于 ， ( ) = = = ，故 B 正确;
( ) 24 6
( ∪ ) 16 2
对于 ， ( ∪ ) = = = ，故 C 正确;
( ) 24 3
第 7 页，共 19 页
{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
对于 ，∵ ( ) = ( ) ( ∪ ) = 24 16 = 8，
( ) 8 1
∴ ( ) = = = ，故 D 错误．
( ) 24 3
故选 ABC．
12. 下列命题正确的是 ( )
A. 已知 ， 是两个不共线的向量.若 = + ， = 3 2 ， = 2 + 3 则 ， ， 共面
B. 若向量 // ，则 ， 与任何向量都不能构成空间的一个基底
√ 2 √ 2
C. 若 (1,0,0)， (0,1,0)，则与向量 共线的单位向量为 = ( , , 0)
2 2
D. 在三棱锥 中，若侧棱 ， ， 两两垂直，则底面 是锐角三角形
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量共线与共面，单位向量，向量的数量积运算，属于中档题．
由题意用 ,
13 1
表示 ， 得出 = ，判断 ；由空间基底的概念判断 ；由单位向量以
5 5
及共线向量的概念可判断 ；画出图形利用向量的数量积大于零，则两个向量的夹角为锐角
可判断 ．
【解答】解：对于选项 A：已知 ， 是两个不共线的向量，
由 = + ， = 3 2 ，
2 1 3 1
得 = + , = ，
5 5 5 5
4 2 9 3 13 1
= 2 + 3 = + + = ，
5 5 5 5 5 5
所以向量 ， ， 共面，故 A 正确；
对于选项 B：若向量 // ，则 ， 与任何向量都共面，
所以 ， 与任何向量不能构成空间的一个基底，故 B 正确；
对于选项 C：由题意可知： = ( 1,1,0)，
所以| | = √ ( 1)2 + 12 + 02 = √ 2，
√ 2 √ 2
所以 = ( , , 0)
|
，
| 2 2
√ 2 √ 2
所以与向量 共线的单位向量为 = ± = ±( , , 0) 2 2 ，故 C 错误； | |
对于选项 D：如图，
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{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
若侧棱 ， ， 两两互相垂直，
2
则 · = ( ) · ( ) = | | > 0，
所以∠ 为锐角，同理∠ ，∠ 均为锐角，
所以△ 为锐角三角形，故 D 正确．
故选 ABD．
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则
此时方差是 ．
7
【答案】
4
【解析】【分析】
本题考查平均数和方差的计算公式的应用，属于基础题．
由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可．
【解答】
解：∵某7个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，
设此时这8个数的平均数为 ，方差为 2，
7×5+5 2
∴ = = 5， 2 7×2+(5 5) 7 = = ． 8 8 4
14. 已知| | = 2，| | = 3， 与 夹角为135°，则 在 方向上的投影向量为 . (用 表示)
【答案】 √ 2
3
【解析】【分析】
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{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
√ 2
2×3×( )
解： 2| |cos < , >= = = √ 2，
| | 3
√ 2
在 方向上的投影向量为| | · cos﹤ , ﹥ · = √ 2 · = ，
| | 3 3
√ 2
故答案为： ．
3
【解答】
本题考查投影向量，属于基础题．
利用投影的变形公式| |cos < , >= 计算出投影，再求得投影向量即可．
| |
15. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次
投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，
4表示命中，5，6，7，8，9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经
随机模拟产生了20组随机数：
9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832
4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989
据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为 ．
【答案】0.35
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
由题意得20组机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有7个，据此能求出该运动员四次
投篮恰有两次命中的概率．
【解答】
解：由题意得20组机数中，
该运动员四次投篮恰有两次命中的有：
1918，2716，9325，6832，2573，3937，4882，共7个，
7
据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为 = = 0.35．
20
故答案为0.35．
16. 如图所示，在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2， = = 1，动点 , 分别在
线段 1 、 上，则线段 长度的最小值是 ．
第 10 页，共 19 页
{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
2
【答案】
3
【解析】【分析】
本题考查了空间向量共线定理、坐标运算、实数的性质、二次函数的最值，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
设 = 1， = ，( , ∈ ,0,1-).求出向量坐标，利用向量模的计算公式可得
= √ (1 )2 + ( )2 + 4 2，再利用实数的性质、二次函数的最值即可得出答案．
【解答】
解：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)， 1(0,1,2)，
设点 ( 1, 1, 1)， = 1，0 ≤ ≤ 1，则 = ( 1, 1, 1)，
1 = (0,1,2)，则 (0, , 2 )，
设点 ( 2, 2, 2)， = ，0 ≤ ≤ 1，
则 = ( 2 1, , )， 2 2 = ( 1,1,0)，则 (1 , , 0)，
∴ | | = √ (1 )2 + ( )2 + 4 2 = √ 2 2 + 5 2 2 2 + 1 =
9 5 4
√ 5( )2 + ( )2 + ，
5 5 9 9
第 11 页，共 19 页
{#{QQABTQgUogAAAhBAAAgCQQmwCEOQkBAAAIoGhEAAMAABwAFABAA=}#}
1 5 2
则当且仅当 = 、 = 时，线段 长度取最小值是 ．
9 9 3
2
故答案为 ．
3
四、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形，侧棱 的长为2，且 与 、
1
的夹角都等于60°， 在棱 上，P M = M C ，设A B = ， A D = ， A P = ．
2
(Ⅰ)试用 ， ， 表示出向量 B M ；
(Ⅱ)求B M 与 A P 所成的角的余弦值．
1
【答案】解：(Ⅰ) ∵ = ，
2
2
∴ = + = +
3
∵ 是边长为1的正方形，
∴ = = ( + )
= ，
= ，
2
∴ = + ( )
3
2
=
1 2 + + ，
3 3 3
∵ = ， = ， =
2 1 2
∴ = + +
3 3 3
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(Ⅱ)由题意可知：| | = | | = 1，| | = 2，
与 、 的夹角均为60°， 与 的夹角为90°．
2 1 2
∴ | |2 = ( + + )2
3 3 3
4 1 4 4 8 4
= | |2 + | |2 + | |2 +
9 9 9 9 9 9
4 1 4 8 4
= + + × 4 × 1 × 2cos 60° + × 1 × 2cos 60°
9 9 9 9 9
17
=
9
√ 17 | | = ，
3
| | = | | = 2，
2 1 2
= ( + + )
3 3 3
2 1 2
= + + | |2
3 3 3
2 1 2
= × 1 × 2cos60° + × 1 × 2cos60° + × 4
3 3 3
7
= ，
3
设 与 所成的角为 ，
7
7√ 17
则cos = = 3 = ．
| | | | √ 17×2 34
3
【解析】本题考查空间向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档
题．
(Ⅰ)根据向量加法法则，化简即得用 ， ， 表示向量 的式子；
(Ⅱ)利用空间向量夹角公式进行求解即可．
18. (本小题12.0分)
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2
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， △
，已知 的面积为 ．
3
(1)求 ；
(2)若6 = 1， = 3，求△ 的周长．
2
【答案】解：(1)由三角形的面积公式可得 1 △ = = ， 2 3
∴ 3 · = 2 ，
由正弦定理可得3 = 2 ，
∵ ≠ 0，
2
∴ = ；
3
(2) ∵ 6 = 1，
1
∴ = ，
6
1 2 1
∴ = = ，
6 3 2
1 1
∴ cos( + ) = ，∴ = ，
2 2
∵ 0 < < ，∴ = ，
3
3
∵ = = = 2 = = 2√ 3
√ 3 ，其中 为△ 的外接圆半径，
2
2
∴ = = = =
2 2 2 ， (2√ 3) 12 3
∴ = 8，
∵ 2 = 2 + 2 2 ，
∴ 2 + 2 = 9，
∴ ( + )2 = 9 + 3 = 9 + 24 = 33，
∴ + = √ 33，
∴△ 的周长= + + = 3 + √ 33．
【解析】本题考查了三角形的面积公式，两角和的余弦公式，诱导公式，正余弦定理，考查
了学生的运算能力，属于中档题．
(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；
1
(2)根据两角和的余弦公式可得 = ，即可求出 = ，再根据正弦定理可得 = 8，根据
2 3
余弦定理即可求出 + ，问题得以解决．
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19. (本小题12.0分)
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10: 10平后，每球交换发球权，先多得2分
的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，
乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10: 10平后，甲先发球，两人
又打了 个球该局比赛结束．
(1)求 ( = 2)；
(2)求事件“ = 4且甲获胜”的概率．
【答案】解：(1)设双方10：10平后的第 个球甲获胜为事件 ( = 1,2,3,… )，
则 ( = 2) = ( 1 2) + ( 1 2)
= ( 1) ( 2) + ( 1) ( ) 2
= 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.6
= 0.5；
(2) ( = 4且甲获胜) = ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3 4)
= ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) + ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
= (0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.6) × 0.5 × 0.4
= 0.1．
【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查推理能力与计算能力，是中档题．
(1)设双方10：10平后的第 个球甲获胜为事件 ( = 1,2,3,… )，则 ( = 2) = ( 1 2) +
( ，由此能求出结果； 1 2) = ( 1) ( 2) + ( 1) ( 2)
(2) ( = 4且甲获胜) = ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3 4) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) +
( 1) ( 2) ( 3) ( ，由此能求出事件“ = 4且甲获胜”的概率． 4)
20. (本小题12.0分)
已知向量 = (1,1,0)， = ( 1,0,2)．
(1)若( + )//(2 + )，求实数 ；
(2)若向量 + 与2 + 所成角为锐角，求实数 的范围．
【答案】解：(1)因为 = (1,1,0)， = ( 1,0,2)，
所以 + = (1 , 1,2 )，2 + = (1,2,2)，
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1 1 2
因为( + )//(2 + )，所以 = = ，
1 2 2
1
解得： = ．
2
(2)因为向量 + 与2 + 所成角为锐角，
→ → → →
( + ) · (2 + ) > 0
所以* → , → → →
( + )与(2 + )不共线
1 + 2 + 4 > 0
{ 1 ,
≠
2
1
解得 > 1 且 ≠ ．
2
【解析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量的坐标运算，向量的数量积，属于基础题．
(1)根据条件可求得( + ), (2 + )的坐标，根据向量平行的坐标关系可求出 的值；
→ → → →
( + ) · (2 + ) > 0
(2)因为向量 + 与2 + 所成角为锐角，所以* → → ，根据向量的数→ →
( + )与(2 + )不共线
量积以及平行的关系可求得 的取值范围．
21. (本小题12.0分)
某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职
工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布
直方图如图所示．
(1)求直方图中 的值，并估计复赛选手年龄的平均值(同一组中的数据用该区间的中点值作代
表，结果保留一位小数)；
(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；
(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知
某选手专业得分的平均数和方差分别为 1 = 8.4，
2
1 = 0.015，媒体得分的平均数和方差分别
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为 2 = 8.8，
2
2 = 0.054，大众得分的平均数和方差分别为 = 9.4，
2
3 3 = 0.064，将这30名
评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差(结果保留三位小数)．
1 1 2
附：方差 2 = ∑ ( )2 = ∑ 2 ．
=1 =1
【答案】解：(1)由频率分布直方图知，(0.01 + 0.015 + 0.020 + 2 + 0.030 + 0.035 + 0.040) ×
5 = 1，
解得 = 0.025，
因此复赛选手年龄的平均值 = (22.5 × 0.010 + 27.5 × 0.025 + 32.5 × 0.035 + 37.5 ×
0.040 + 42.5 × 0.030 + 47.5 × 0.025 + 52.5 × 0.020 + 57.5 × 0.015) × 5
≈ 39.6(岁)．
(2)因为(0.010 + 0.025 + 0.035 + 0.040 + 0.030) × 5 = 0.7 < 0.75，
所以第75百分位数落在,45,50)区间内，设为 ，
则(0.010 + 0.025 + 0.035 + 0.040 + 0.030) × 5 + ( 45) × 0.025 = 0.75，
解得 = 47，即第75百分位数为47分．
1
(3)由 2 = ∑ =1( )
2 ，
设该名选手最终的平均分为 ，最终方差为 2，
1
则 = (8.4 × 8 + 8.8 × 10 + 9.4 × 12) ≈ 8.933(分)，
8+10+12
1
2 = *8, 21 + ( 1 )
2- + 10, 22 + ( 2 )
2- + 12, 2 2
30 3
+ ( 3 ) -+
1
= *8,0.015 + (8.4 8.933)2- + 10,0.054 + (8.8 8.933)2-
30
+12,0.064 + (9.4 8.933)2-+
≈ 0.216．
估计该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216．
【解析】本题考查了频率分布直方图的应用，考查平均数和方差以及百分位数的计算，属于
中档题．
(1)利用频率分布直方图频率之和为1求得 = 0.025，再利用频率分布直方图，计算平均值得
结论；
(2)利用频率分布直方图，结合第75百分位数的概念，计算得结论；
(3)利用平均数和方差的计算公式，计算得结论．
22. (本小题12.0分)
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如图，在底面 为菱形的平行六面体 1 1 1 1中， , 分别在棱 1, 1上，且
1 1
1 = 1, = 1，且∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60
．
3 3
(1)用向量{ , 1 , }表示向量 ；
(2)求证： , , 1, 四点共面；
(3)当 1为何值时， 1 ⊥ 1 ．
1 1
【答案】解：(1)由题意， 1 = 1, = 3 3 1
，
则 = +
2
+ + = + +
1
+ =
1
1 1 + ； 3 3 3 1
2 2
(2)证明：∵ = = ， = =
3 1 1 1 1 1 3 1
，
∴ = 1，
∴ , , 1, 四点共面；
(3)当 1 = 1， ⊥ ，
1 1
证明：设 = , = , 1 = ，
∵底面 为菱形，则当 1 = 1时，| | = | | = | |，
又∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60
，
则 = = · ，
∵ = + 1 + 1 = + + ， = 1 1 = ，
∴ 1 1 = ( + + ) ( )
2 2
= + · + · = 0，
→ →
∴ 1 ⊥ ，则 1 1 ⊥ 1 ．
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【解析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量共面定理，考查向量垂直的充要条件，属
于中档题．
(1)根据空间向量线性运算法则计算即可得解；
(2)根据空间向量线性运算法则得到 = 1，即可证明 , , 1, 共面；
(3)设 1 = , = , = ，由底面 为菱形，则当
1 = 1时，| | = | | = | |，利
用空间向量的线性运算，结合数量积运算可得 1 1 = 0，即可得出答案．
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