人教版数学八年级上册第15章分式 大单元教学教案
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册第15章分式 大单元教学教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-16 15:07:30 | ||
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文档简介
第十五章 分式
单元教学设计
◎课标要求
1.了解分式的概念，掌握分式的基本性质并能用来进行约分和通分。
2.理解和掌握分式加减、乘除的运算法则，会进行简单分式加、减、乘、除运算。
3.了解分式方程的概念，会解一些简单可化为一元一次方程的分式方程，懂得解分式方程可能产生增根，理解检验的必要性并会进行检验。
4.理解负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值小于1的数。
5.通过与分数的类比，学习分式的基本性质及其运算；通过与正整数指数幂的性质联系，学习负整数指数幂的意义。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
本章与前面学过的整式的相关知识类似，重点是探索和理解有关概念和运算法则。分式的概念、分式的基本性质继分式的运算的学习，都要注意通过与分数的有关内容进行类比，让学生自己去探索；解可化为一元一次方程的分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，体现化归思想；负整数指数幂的意义则是从前面学过的同底数幂的除法公式出发，提出新的问题，激发学生的求知欲，在学生的探索过程中完成新知识的构建。
本章教材主要有如下特点：
1. 知识结构安排合理，突出与学生已有知识的联系，知识安排既要考虑学生的学习需要，又要兼顾学生的知识体系。本章除了讲解分式的概念、分式的基本性质、分式的运算继解简单的分式方程外，还加入了负整数指数幂的意义，将幂的概念扩充到整数指数幂，同时也对科学记数法做了扩充与完善。
2. 在知识的呈现方式上，尽可能给学生留出一定的思考与探索空间，重视运算法则的理解与探索。学习“可化为一元一次方程的分式方程”有两个要点：一是把分式方程转化为整式方程来解的思想，二是解分式方程可能产生增根，必须进行检验。因而，教材在知识呈现方式上，尽量结合学生已有的知识经验，让学生自己去思考、探索和归纳。这也能在一定程度上培养学生的教学思维能力与数学概括能力。
3. 较好地控制了习题的总量和难度，增加了有一定生活背景或与其他学科，如物理、化学、生物等相联系的例题和习题，增强学生的应用意识，认识知识的应用价值，提高学生解决实际问题的能力。
【教法建议】
在本章的教学中，教师要以引路的形式，运用启发式的教学方法，带着学生去发现和探究新知识。注意联系生活实际，培养学生的应用意识；注重方法指导，培养学生合情推理的能力；注重探究，培养学生分析问题、解决问题的能力；注重数学思想方法的应用：类比思想（分式与分数的类比）、转化思想（分式方程转化为整式方程）。
◎学情学法
【学情分析】
学生在小学阶段已经学习了分数的约分和通分以及分数的加、减、乘、除等相关知识，已经具备了学习分式的知识基础和心理基础。负整数指数幂是对前面学过的正整数指数幂的概念的推广，是在正整数指数幂的基础上引入的，便于学生对新知识的学习。而绝对值小于1的数的科学记数法是对以前学过的绝对值大于1的数的科学记数法的扩充与完善。这些都为学生学习本章内容提供了知识基础。在本章的学习中，学生对学习分式的约分和通分可能会有一定的难度，因此要求学生积极探究、思考，强化训练，提升能力，真正学会学通。
【学情建议】
1. 在学习过程中，要注意新旧知识的类比与衔接，在类比中掌握新知，归纳总结规律，提升自身的推理能力。
2. 解分式方程，重点是可化为一元一次方程的分式方程的解法，要在实践的过程中体会“转化”的思想，尤其是意识到解分式方程可能产生增根，注意检验的必要性。
3. 本章的学习一定要强调计算准确性，防止粗心造成计算的错误，对于分式方程的应用题，要认真分析题目中的数量关系，注意思维的合理性，提高逻辑思维能力。
◎课时安排
15.1分式 3课时
15.2分式的运算 6课时
15.3分式方程 2课时
总计 11课时
第十五章 分式
15．1 分式
15.1.1 从分数到分式
教学设计
课题 15.1.1 从分数到分式 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，了解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解确定分式有(无)意义的条件，能确定使分式的值为0的条件．3.通过对分数与分式的类比，学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实世界. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．
教学难点 理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
出示题目，思考并填空.
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为.
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为.
（3）公园内有一个大型文物店，内有两种型号的柜台，其中型规格的柜台有个收藏文物件，平均每个柜台存放了件文物，另有型规格的柜台个，收藏文物件，本店内平均每个柜台存放了__件文物.
（4）公园门票价格：成人每人8元，学生每人3元，若有个老师和个学生，买门票需要元.
学生填空，观察这些式子的共同点？，与分数有什么相同点和不同点？
今天我们再认识代数式家族中成员——分式.
二、探究新知
探究点1 分式的概念
1.对上述式子从单项式，多项式的角度进行分类
单项式：，
多项式：
既不是单项式，也不是多项式：，，，.
思考：观察式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
学生分组讨论得出答案，并指出书写形式：同5÷3可以写成一样，式子A÷B可以写成.
可以发现，这些式子与分数一样都是（即）的形式.分数的分子与分母都是整数，而这些式子中的与都是整式，并且中都含有字母.
师生活动：让学生观察思考，并与小学学过的分数对比，学生先回答，教师后归纳总结.
分式的定义：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，叫做分子，叫做分母.
2.下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
解：分式：
整式：
注意：判断一个代数式是否为分式，只看形式，不能看化简后的结果.
分式是不同于整式的另一类式子.上面的，，，等都是分式.由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.例如，分式仅表示的商，而分式既可以表示，又可以表示，等.
分式的特点：（1）分式的分母中必须含有字母.（2）分式比分数更具有一般性.
探究点2 分式有、无意义及分式值为0的条件
思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义.
通过学生思考、讨论等活动，让学生充分认识到：
（1）分式有意义：分母不为0；
（2）分式无意义：分母为0；
（3）分式值为0：分子为0，分母不为0.
三、典例精析
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
（1）甲每小时做x个零件，他做80个零件需 小时；
（2）（3）轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/小时，那么轮船在逆水中航行5千米所用的时间为 小时，在顺水中航行5千米所用的时间为 小时.
（3）x与y的差除以4的商是 .
（4）明明的妈妈带了50元去买苹果.如果每千克苹果8元，那么她可以买到 kg的苹果；妈妈带了（x+y）元去买苹果.如果原来每千克苹果8元，由于物价上涨，每千克苹果涨价m元，那么她可以买到 kg的苹果.
解：（1）；分式.（2）；分式.（3）；整式.（4）整式； 分式.
例2 （教材第128页例1）下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）.
解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0.
（2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1.
（3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠.
（4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.
【变式训练】1.当x取何值时，下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义？当x取何值时，下列分式值为零？
（1）；（2）.
解：（1）有意义：x2－4≠0，即x≠±2；
无意义：x2－4＝0，即x＝±2；
值为0：2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.
（2）有意义：x2－x≠0，即x≠0且x≠1；
无意义：x2－x＝0，即x＝0或x＝1；
值为0：x2－1＝0且x2－x≠0，即x＝－1.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p82练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的概念.
2.分式有意义或无意义，分式值为零的条件.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的概念，分式有无意义，分式值为0 的条件．
六、作业布置
《课时训练》p97—p98练习题
七、教学反思
15．1 分式
15.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质与约分
教学设计
课题 15.1.2 第1课时 分式的基本性质与约分 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解并掌握分式的基本性质.能利用分式的基本性质进行约分和通分．2．(2022新课标)了解最简分式的概念．能运用分式的基本性质约分.3.通过类比分数的基本性质探索分式的基本性质，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握分式的基本性质，利用分式的基本性质进行分式的约分.
教学难点 灵活运用分式的基本性质进行分式的约分.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
一天，动物园饲养员用西瓜喂两只猴子，用刀均分为二，一只猴子一块，两只猴子表现得非常不高兴，饲养员灵机一动，再把每一块西瓜各切成3等份，每个猴子可分到3份西瓜，这个时候，猴子们高兴了，争抢着很快把西瓜吃完.
教师：同学们，猴子为什么一开始不高兴，然后又高兴了？
学生：猴子认为一开始给它的西瓜少，后来给它的西瓜多.
教师：每个猴子在第二次确实多分到了西瓜吗？若不是的话，刚才的分西瓜能反映出什么数学式子？
学生：
教师：上面的式子体现了分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.我们来探究一下分式是否也有相关的性质.
二、探究新知
探究点1 分式的基本性质
1.由分数的基本性质可知，如果数，那么，.
一般地，对于任意一个分数，有，，其中是数.
思考：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等式0的整式，分式的值不变.
让学生尝试用式子表示分式的基本性质.
上述性质可以用式子表示为：，，其中是整式.
运用分式的基本性质的注意事项：
(1)分子分母同时进行；
(2)分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
(3)分子、分母同乘或同除同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式.
2.思考：分数的基本性质与分式的基本性质的区别？
在分数的基本性质中，“数”是一个具体的、唯一确定值.
在分式的基本性质中，“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.
探究点2 分式的约分
在化简分式时，小颖和小明的做法出现分歧：小颖：＝；
小明：＝＝.
你对他俩的解法有何看法？说说看！
思考：联想分数的约分，你能想出如何对分式进行约分吗？
与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值.
约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
总结：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式.
思考：（1）分式约分约去的是什么？
约去的是分子与分母的公因式
（2）如何找公因式：
①系数取分子、分母中各项系数的最大公约数；
②相同字母取分子与分母中各相同字母最低次幂；
③如果分子与分母是多项式，应先因式分解后，再找公因式.
思考：如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？
先分解因式后，可以更好地找出公因式.
三、典例精析
例1 （教材第129页例2）填空：（1）＝，＝；（2）＝，＝（b≠0）.
解：（1）x2；2x. （2）a；2ab－b2.
【变式训练】1.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)；(2)；(3).
解：(1)原式＝－；(2)原式＝－；(3)原式＝－.
方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．
例2 （教材第131页例3）约分：（1）；（2）；（3）.
解：（1）＝－＝－.
（2）＝＝.
（3）＝＝2（x－y）.
方法总结：约分时，要先找出分子和分母的公因式.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p84练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的基本性质.
2.分式的约分.
3.最简分式.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的基本性质、约分和最简分式．
六、作业布置
《课时训练》p99—p100练习题
七、教学反思
15．1 分式
15.1.2 分式的基本性质
第2课时 分式的通分
教学设计
课题 15.1.2 第2课时 分式的通分 授课人
素养目标 教学目标 1.理解最简公分母的含义，灵活运用分式的基本性质进行分式的通分.2.通过类比分数的通分，探索分式的通分法则，学会运用类比转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实问题. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 运用分式的基本性质进行分式的通分.
教学难点 确定分式的最简公分母，熟练地进行分式的通分.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
通分
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.
分数通分的关键是找分母的最小公倍数（确定几个分数的最简公分母）。那么，分式如何进行通分呢？
二、探究新知
探究点1 分式的通分
问题 填空：
（1）2ac （2）6ab-3b2
1.我们把分母6a2bc叫做分式和的最简公分母.
思考：最简公分母6a2b与分母3ab，2a2c之间有什么关系？
定义：一般取各分母的 因式的 的积作公分母，它叫做最简公分母.
所有因式 最高次幂
思考：如何确定最简公分母？
确定最简公分母的一般步骤：
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取.
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式的最高次数.
注意：（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；
（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母．
2.像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
通分的步骤：（1）将各个分式的分母分解因式；（2）确定最简公分母；（3）原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母.
3.分式的约分与通分有什么联系和区别呢
联系：约分和通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，二者均不改变分式的值.
区别：约分是针对一个分式而言的，把分式的分子和分母的公因式约去，将分式化为最简分式或整式；
通分是针对多个异分母的分式而言的，将分式的分子和分母乘同一个适当的整式，使这几个异分母的分式化为同分母的分式.
三、典例精析
例 （教材第132页例4）通分：（1）与；（2）与.
解：（1）最简公分母是2a2b2c.
＝＝；＝＝.
（2）最简公分母是（x＋5）（x－5）.
＝＝；＝＝.
【变式训练】1.通分：(1)，，；(2)，，.
解：(1)最简公分母为30a2b2c2，
＝；＝－；＝；
(2) 最简公分母为a(a＋2)(a－2)，
＝；＝；＝.
方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p86练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的通分.
2.最简公分母.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的通分、最简公分母．
六、作业布置
《课时训练》p101—p102练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
教学设计
课题 15.2.1 第1课时 分式的乘除 授课人
素养目标 教学目标 1．理解并掌握分式乘、除的运算法则．2．(2022新课标)能对简单的分式进行乘、除运算．3．通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想．会用数学的思维思考现实世界.让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力.
教学难点 熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
观察下列运算：
×＝ ，×＝，
÷＝×＝ ，÷＝×＝.
以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？
今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．
二、探究新知
探究点1 分式的乘除
1.（1）一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
学生根据长方体的体积能说出解答过程:长方体容积的高为，水面的高度为.
教师提出分式的乘法这一概念：如就是分式的乘法运算.
（2）大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
学生根据“工作效率=工作总量÷工作时间”能说出解答过程:
大拖拉机的工作效率是hm2 /天；小拖拉机的工作效率是hm2 /天；
大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍.
2.出示两题
教师点名学生回答.并总结分数的乘除法法则：
（1）分数乘以分数的法则：
分数乘以分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母.（能约分化简的要约分化简）
（2）分数除以分数的法则：
分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数.（能约分化简的要约分化简）
3.思考：类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
（1）分式的乘法法则：
①用文字语言来描述：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
②用符号语言表达：·＝
（2）分式的除法法则：
①用文字语言来描述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
②用符号语言表达：÷＝·＝.
三、典例精析
例1 （教材第136页例1）计算：（1） ·；（2） ÷ .
解：（1）;
（2）.
例2 （教材第136页例2）计算：（1） · ；（2） ÷ .
解：（1）;
（2）.
【变式训练】1.先化简，再求值：·，其中x＝，y＝；
解：原式＝·＝，当x＝，y＝时，原式＝24.
方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．
例3（教材第136页例3）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a>1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1） m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（1）“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
（2）÷＝.
高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍.
【变式训练】1.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
解：设花生的总产量是1，÷＝(倍)．
答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的倍．
方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p88练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的乘除.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的乘除法法则．
六、作业布置
《课时训练》p103—p104练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
教学设计
课题 15.2.1 第2课时 分式的乘方及乘除混合运算 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握分式的乘方的运算法则．2．会进行分式的乘方、乘除混合运算．3. 经历探索分式的乘方运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性，会用数学的语言表达现实世界.4. 通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想． 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算.
教学难点 分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
问题：说一说分式乘除法的计算法则.
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
即：，
二、探究新知
探究点1 分式的混合运算
思考：小明同学在计算÷·时，其过程如下：原式=÷1=，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.
不正确，应该按照从左往右的运算顺序进行计算.
思考：分式乘除混合运算应如何计算呢？
计算：·÷.
解：原式＝··＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.
方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．
特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．
探究点2 分式的乘方
思考：你能结合有理数乘方的意义和分式乘法的法则写出结果吗？
===，===，……
答案：，，
由以上计算的结果你能推出（n为正整数）的结果吗？
指出：一般地，当n 是正整数时，
即：
归纳：分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
强调：数与式有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除.
三、典例精析
例1 （教材第138页例4）计算：÷·.
解：÷·＝··＝.
例2 （教材第139页例5）计算：
解：（1）原式＝＝.
（2）原式＝··＝··＝－.
【变式训练】1.计算：(1)(－)2·(－)3·(－)4； (2)÷()2·.
解：(1)原式＝·(－)·＝－；
(2)原式＝··＝.
方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．
2.化简求值：()3÷()2·[]2，其中x＝－，y＝.
解：原式＝··＝.
将x＝－，y＝代入，得原式＝－6.
方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p90练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的乘方.
2.分式的运算顺序
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的乘除混合运算法则，分式的乘方法则及混合运算顺序．
六、作业布置
《课时训练》p105—p106练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
教学设计
课题 15.2.2 第1课时 分式的加减 授课人
素养目标 教学目标 1.理解分式的加减法法则，熟练掌握同分母分式的加减运算.体会类比思想．2.掌握异分母分式的加减法法则及通分的过程与方法.3．(2022新课标)能对简单的分式进行加、减运算．4. 通过探究异分母分式加减法法则的过程，会用数学的眼光观察现实世界，提高思维的灵活性，培养学生整体思考和分析问题的能力. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 理解并掌握分式加减法法则．
教学难点 会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
1．请同学们说出，，的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？
(1)＋；(2)＋－.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？
今天我们就学习分式加减法．
二、探究新知
探究点1 分式的加减
1.问题1 甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
甲工程队一天完成这项工程的.
（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
乙工程队一天完成这项工程的.
（3）两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
两队共同工作一天完成这项工程的.
问题2 2021年、2022年、2023年某地的森林面积 (单位：km2) 分别是S1，S2，S3，2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了多少？
教师可适时启发让学生明确“年增长率”的含义，并通过具体数据计算帮助学生理解其意义，后再进行字母表示.
（1）什么是增长率？
（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？
2023年的森林面积增长率是，2022年的森林面积增长率是
（3）2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了多少？
2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了.
学生分组讨论，之后教师点名学生回答，其他同学纠错或补充.
教师通过学生的正确答案，引出分式的加法和分式的减法的概念.
2.思考：分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同.
观察下列分数加减运算的式子：
＋＝， －＝－，
＋＝＋＝， －＝－＝.
你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
师生活动：学生讨论，组内交流，教师点拨.
（1）同分母的分式加减法法则：.
①用语言文字叙述：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
②用符号语言表达：±＝，
（2）异分母的分式加减法法则：
①用语言文字叙述：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减.
②用符号语言表达：±＝±＝
三、典例精析
例 （教材第140页例6）计算：（1）－；（2）＋.
解：（1）原式＝＝＝＝.
（2）原式＝＋＝＝.
【变式训练】1.计算：(1)－x－1；(2)－.
解：(1)－x－1＝－＝；
(2)－＝－＝＝.
方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
2.先化简，再求值：－，其中x＝2016.
解：原式＝－＝＝＝，
当x＝2016时，原式＝.
方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p92练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
分式的加减法法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的加减法法则．
六、作业布置
《课时训练》p107—p108练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第2课时 分式的混合运算
教学设计
课题 15.2.2 第2课时 分式的混合运算 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能对简单的分式进行加、减、乘、除运算．2．能进行分式的混合运算．3．通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想． 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．
教学难点 能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
问题：说一说分式的计算法则.
1.分式的加减法则：
2.分式的乘除法则：
3.分式的乘方法则：
这节课我们一起来学习分式的混合运算.
二、探究新知
探究点 分式的加减乘除混合运算
思考：分式加减乘除混合运算应如何计算呢？
(1)①式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的．
②同级运算按从左到右的顺序依次进行．
③在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律．
(2)要注意各分式中的分子、分母的符号的处理．结果中分子或分母的系数是负数时，一般要把分子或分母本身的“－”提到分式的前面．
(3)分式的运算与分数的运算一样，结果必须是最简形式．
三、典例精析
例1 （教材第141页例7）计算：
例2 （教材第141页例8）计算：（1）（m＋2＋）·；（2）（－）÷.
解：（1）原式＝ · ＝ ·
＝ · ＝－2（m＋3）＝－2m－6.
（2）原式＝[－] · ＝ ·
＝＝.
【变式训练】1.计算：(1)(－)·；(2)(x＋)÷(2＋－)．
解：(1)原式＝·＝2a＋12；
(2)原式＝÷＝·＝.
方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2.先化简代数式÷(1－)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
解：原式＝÷(－)＝×＝，
令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝.
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
3.已知a＋＝5，求的值．
解：因为a＋＝5，所以(a＋)2＝25，即a2＋＝23，
所以＝a2＋1＋＝23＋1＝24.所以＝.
方法总结：利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p94练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
分式的运算顺序.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的加减乘除运算顺序．
六、作业布置
《课时训练》p109—p110练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第1课时 负整数指数幂
教学设计
课题 15.2.3 第1课时 负整数指数幂 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)了解负整数指数幂的意义和基本性质．2.会进行简单的整数范围内的幂运算．3.通过探索负整数指数幂的运算性质，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，会用数学的思维思考现实世界. 核心素养 抽象能力 运算能力
推理能力
教学重点 负整数指数幂的运算.
教学难点 运用负整数指数幂的运算性质进行计算.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
在学习有理数时，曾经介绍过1纳米=10-9米，即1纳米=米.它是另外一种形式是正指数的倒数形式.这节课我们一起来学习负整数指数幂.
二、探究新知
探究点1 负整数指数幂
复习已学过的正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：(m，n是正整数)；
（2）幂的乘方：(m，n是正整数)；
（3）积的乘方：(n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0，m，n是正整数，m＞n)；
（5）商的乘方：(n是正整数)；
（6）0指数幂，即当a≠0时，.
思考：am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
一方面由分式的除法约分可知，当a≠0时，===；另一方面，若把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0），也就是把的适用范围扩大了，这个运算性质适用于m、n可以是全体整数.
一般地，当n是正整数时，a－n＝（a≠0）.也就是说a－n（a≠0）是an的倒数.
负整数指数幂的三个常用结论：（1）an与a-n互为倒数；（2）；（3）.
思考：引入负整数指数和0指数后，am·an=am+n（m，n是正整数），这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？
例如，取m=2，n= -3，我们来检验
这时性质也成立，类似地，我们可以检验幂的其他运算性质的正确性。
因此我们可以得到，指数的范围扩大到了全体实数，幂的运算性质依然成立。
三、典例精析
例 （教材第144页例9）计算：（1）a－2÷a5； （2）（）－2； （3）（a－1b2）3； （4）a－2b2·（a2b－2）－3.
解：（1）a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝.
（2）（）－2＝＝＝.
（3）（a－1b2）3＝（a－1）3（b2）3＝a－3b6＝.
（4）a－2b2·（a2b－2）－3＝a－2b2·（a2）－3（b－2）－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.
【变式训练】计算：(1)(x3y－2)2；(2)x2y－2·(x－2y)3；(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
解：(1)原式＝x6y－4＝；
(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y＝；
(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7＝；
(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝.
方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p96练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.负整数指数幂的运算性质.
2.幂的运算性质的推广.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳负整数指数幂的运算性质及幂的运算性质的推广．
六、作业布置
《课时训练》p111—p112练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
教学设计
课题 15.2.3 第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)．2.会进行包含用科学记数法表示的数的简单运算.3.通过对用科学记数法表示不同数值的比较，感受数学知识体系内部的转化与统一. 核心素养 抽象能力 运算能力
推理能力 应用意识
教学重点 会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
教学难点 会进行包含用科学记数法表示的数的简单运算.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
我们知道光的速度约为300000000米∕秒，太阳半径约为696000千米，目前世界人口约为6100000000，这些数比较大，你能用科学计数法表示出来吗？
那么像0.0000257， 0.0000000083能不能用科学计数法表示呢？
二、探究新知
探究点 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.算一算，填空：
106＝ ；105＝ ；104＝ ；
103＝ ；102＝ ；101＝ .
1000000 100000 10000 1000 100 10
2.根据上面的规律填空：100＝ .1
3.根据上面的规律继续填空：
10－1＝ ；10－2＝ ；
10－3＝ ；10－4＝ ；10－5＝ .
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
4.我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示.当有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。
思考：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有 n个0呢？
-8，-n
5.用科学记数法表示0.0035和0.0000982
解：0.003 5=3.5×0.001 = 3.5×10-3 ； 0.000 098 2=9.82×0.000 01= 9.82×10-5
思考：（1）a的取值范围是什么？
a的取值范围是1≤|a|<10；
（2）10的指数n是什么数？
n为负整数；
（3）n的绝对值与小数点后面第一个非零数字前0的个数有什么关系？
|n|等于小数点后面第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前面的0）.
总结：用科学记数法表示绝对值小于1的数，把它写成a×10-n的形式.对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
三、典例精析
例1 用科学记数法表示下列各数：(1)0.0003267；(2)－0.0011；(3)－890600.
解：(1)0.0003267＝3.267×10－4；
(2)－0.0011＝1.1×10－3；
(3)－890690＝－8.9069×105.
【变式训练】1.用小数表示下列各数：(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
例2 （教材第145页例10）纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m.把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
解：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m.
（10－3）3÷（10－9）3＝10－9÷10－27＝10－9－（－27）＝1018.
答：1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体.
【变式训练】1.计算下列各题.：（1）(－4×10-6)÷(2×103) (2)(1.6×10-4)×(5×10-2)
解：(1) (－4×10-6)÷(2×103) 解：(2) (1.6×10-4)×(5×10-2)
=(-4÷2)(10-6÷103) =(1.6×5)×(10-4×10-2)
=-2×10-9 =8×10-6
方法总结：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p98练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
小于1的正数用科学记数法表示的一般形式：a×10-n
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用科学记数法表示小于1的正数．
六、作业布置
《课时训练》p113—p114练习题
七、教学反思
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
教学设计
课题 15.3 第1课时 分式方程及其解法 授课人
素养目标 教学目标 1．理解分式方程的定义和分式方程需要检验的原因．2．掌握解分式方程的一般方法和步骤．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法.3．(2022新课标)能解可化为一元一次方程的分式方程．4.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 1．了解分式方程的概念．2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．
教学难点 了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
1.下列方程哪些是一元一次方程？
(1) 3x-5=3；√ (2) x+2y=5；× (3) x2-x=5；× (4)= -1. √.
2.解方程= -1
解：去分母(方程两边乘12)，得 4(2x-1)=3(x+2)-12
去括号，得 8x-4=3x+6-12
移项，得 8x-3x=6-12+4
合并同类项，得 5x=-2
化系数为1，得 x=
前面的课程我们学习了分式，这节课我们一起来学习解分式方程.
二、探究新知
探究点1 方式方程
问题1一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，求甲、乙两地间的距离是多少千米？
设甲、乙两地间的距离是x千米，则列得的方程为.
问题2一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江流顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，则江水的流速为多少？
设江水的流速为多少vkm/h，则列得的方程为.
观察得到的两个方程，两者有什么区别？教师可引导学生观察分母的不同.
学生互相讨论，总结：方程是我们学习过的一元一次方程；方程是是分式方程.
思考：怎样表述分式方程呢？
分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
判断一个式子是否为分式方程的注意事项：
（1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数.三者缺一不可.
（2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，所以该方程是整式方程.
探究点2 分式方程的解法
如何解分式方程？
学生小组间互相讨论，同时教师引导学生可将未知的问题转化为已知的问题求解，由于学习过整式方程的解法，所以我们可以将分式方程转化为整式方程来解答.仿照解一元一次方程的过程，学生逐步找到解分式方程的思路：解题过程如下：
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v).
解得 v=6.
检验：将v=6代入原分式方程中，左边==右边，
因此v=6是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
再讨论一个分式方程
去分母，在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，得整式方程 x+5=10，解得 x=5
x=5是原分式方程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，得分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.
因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解.
思考：为什么①去分母后所得整式方程的解v=6就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解x=5却不是②的解呢？
方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解v=6. 当v=6时，(30+v)(30-v)≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解x=5. 当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.这是解分式方程必不可少的步骤.
思考：解分式方程的步骤有哪些？
解分式方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘 最简公分母，把分式方程化为 整式方程；
（2）解整式方程；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，称这个解为方程的增根，增根 不是 原分式方程的解.
三、典例精析
例1 （教材第151页例1） 解方程
解：方程两边乘x(x-3)，得 2x=3x-9
解得 x=9
检验：当x=9时，x(x-3)≠0
所以，原分式方程的解为x=9.
例2 （教材第151页例2）解方程
解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解得 x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
【变式训练】1.解方程：(1) ；(2) ；(3) ；(4)
解：(1)方程两边乘2x(x+3)，得 x+3=4x
解得 x=1
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0
所以，原分式方程的解为x=1.
解：(2)方程两边乘3(x+1)，得 3x=2x+3(x+1)
解得 x=-1.5
检验：当x=-1.5时，3(x+1)≠0
所以，原分式方程的解为x=-1.5.
解：(3)方程两边乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1)=4
解得 x=1
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解：(4)方程两边乘x(x+1)(x-1)，得 5(x-1)-(x+1)=0
解得 x=1.5
检验：当x=1.5时，x(x+1)(x-1)≠0
所以，原分式方程的解为x=1.5.
方法总结：注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p100练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式方程的概念.
2.解分式方程的一般步骤.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式方程的概念及解分式方程的一般步骤．
六、作业布置
《课时训练》p115—p116练习题
七、教学反思
15.3 分式方程
第2课时 分式方程的实际应用
教学设计
课题 15.3 第2课时 分式方程的实际应用 授课人
素养目标 教学目标 1．进一步学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．2．列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．掌握用分式方程解决实际问题的方法和步骤．3．(2022新课标)能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．4.通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识.会用数学的语言表达现实世界，提高分析问题和解决问题的能力. 核心素养 运算能力 模型观念
应用意识
教学重点 使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学难点 用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
1．引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤．学生积极思考，并交流、讨论总结出：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；
第四步，列方程，并解出答案；
第五步，检查方程的解是否符合题意；
2．提问：分式方程的应用题应该怎么解呢？
二、探究新知
探究点 方式方程的应用
1.由实际问题抽象出分式方程
旅游节期间几名同学包租一辆面包车去游览，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加游览的学生有x人，则所列方程为（A）
A． B． C． D．
方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
2.工程问题
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少．单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
方法总结：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
3.行程问题
从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
方法总结：此题涉及的公式是：路程=速度×时间
4.方案设计问题
某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10元，90元买乙的数量与150元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080元，销售额要大于2460元，求由几种方案？
方法总结：利用不等式（组）建立数学模型，通过计算确定解集，根据题意确定具体数值，即有几种方案．
5.图表信息类问题
某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
方法总结：结合图表提供的信息，找出相等关系列方程．
6.销售盈亏问题
佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
方法总结：把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑并掌握这次活动的流程．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7.思考：列分式方程解应用题的一般步骤 ？
1.审：审清题意，明确已知量和未知量，找出相等关系和数量关系.
2.设：根据所找的数量关系设出未知数
3.列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程
4.解：解这个分式方程
6.检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义
7.答：写出分式方程的解
注：列分式方程解应用题的一般步骤实际和列方程解应用题的一般步骤一样，只不过多出来了检验这一步.
三、典例精析
例1（教材第152页例3）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
＋＋＝1.
方程两边同乘6x，得2x＋x＋3＝6x.解得x＝1.
检验：当x＝1时，6x≠0，所以x＝1是原分式方程的解.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队施工速度快.
例2 （教材第153页例4 ）某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间为________h，提速后列车的平均速度为________km/h，提速后列车运行(s＋50)km所用时间为________h.
解：提速前列车的平均速度为 km/h.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p102练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1各种类别的分式方程的解题思路.
2.用分式方程解决实际问题的一般步骤.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤．
六、作业布置
《课时训练》p117—p118练习题
七、教学反思
单元教学设计
◎课标要求
1.了解分式的概念，掌握分式的基本性质并能用来进行约分和通分。
2.理解和掌握分式加减、乘除的运算法则，会进行简单分式加、减、乘、除运算。
3.了解分式方程的概念，会解一些简单可化为一元一次方程的分式方程，懂得解分式方程可能产生增根，理解检验的必要性并会进行检验。
4.理解负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值小于1的数。
5.通过与分数的类比，学习分式的基本性质及其运算；通过与正整数指数幂的性质联系，学习负整数指数幂的意义。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
本章与前面学过的整式的相关知识类似，重点是探索和理解有关概念和运算法则。分式的概念、分式的基本性质继分式的运算的学习，都要注意通过与分数的有关内容进行类比，让学生自己去探索；解可化为一元一次方程的分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，体现化归思想；负整数指数幂的意义则是从前面学过的同底数幂的除法公式出发，提出新的问题，激发学生的求知欲，在学生的探索过程中完成新知识的构建。
本章教材主要有如下特点：
1. 知识结构安排合理，突出与学生已有知识的联系，知识安排既要考虑学生的学习需要，又要兼顾学生的知识体系。本章除了讲解分式的概念、分式的基本性质、分式的运算继解简单的分式方程外，还加入了负整数指数幂的意义，将幂的概念扩充到整数指数幂，同时也对科学记数法做了扩充与完善。
2. 在知识的呈现方式上，尽可能给学生留出一定的思考与探索空间，重视运算法则的理解与探索。学习“可化为一元一次方程的分式方程”有两个要点：一是把分式方程转化为整式方程来解的思想，二是解分式方程可能产生增根，必须进行检验。因而，教材在知识呈现方式上，尽量结合学生已有的知识经验，让学生自己去思考、探索和归纳。这也能在一定程度上培养学生的教学思维能力与数学概括能力。
3. 较好地控制了习题的总量和难度，增加了有一定生活背景或与其他学科，如物理、化学、生物等相联系的例题和习题，增强学生的应用意识，认识知识的应用价值，提高学生解决实际问题的能力。
【教法建议】
在本章的教学中，教师要以引路的形式，运用启发式的教学方法，带着学生去发现和探究新知识。注意联系生活实际，培养学生的应用意识；注重方法指导，培养学生合情推理的能力；注重探究，培养学生分析问题、解决问题的能力；注重数学思想方法的应用：类比思想（分式与分数的类比）、转化思想（分式方程转化为整式方程）。
◎学情学法
【学情分析】
学生在小学阶段已经学习了分数的约分和通分以及分数的加、减、乘、除等相关知识，已经具备了学习分式的知识基础和心理基础。负整数指数幂是对前面学过的正整数指数幂的概念的推广，是在正整数指数幂的基础上引入的，便于学生对新知识的学习。而绝对值小于1的数的科学记数法是对以前学过的绝对值大于1的数的科学记数法的扩充与完善。这些都为学生学习本章内容提供了知识基础。在本章的学习中，学生对学习分式的约分和通分可能会有一定的难度，因此要求学生积极探究、思考，强化训练，提升能力，真正学会学通。
【学情建议】
1. 在学习过程中，要注意新旧知识的类比与衔接，在类比中掌握新知，归纳总结规律，提升自身的推理能力。
2. 解分式方程，重点是可化为一元一次方程的分式方程的解法，要在实践的过程中体会“转化”的思想，尤其是意识到解分式方程可能产生增根，注意检验的必要性。
3. 本章的学习一定要强调计算准确性，防止粗心造成计算的错误，对于分式方程的应用题，要认真分析题目中的数量关系，注意思维的合理性，提高逻辑思维能力。
◎课时安排
15.1分式 3课时
15.2分式的运算 6课时
15.3分式方程 2课时
总计 11课时
第十五章 分式
15．1 分式
15.1.1 从分数到分式
教学设计
课题 15.1.1 从分数到分式 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，了解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解确定分式有(无)意义的条件，能确定使分式的值为0的条件．3.通过对分数与分式的类比，学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实世界. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．
教学难点 理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
出示题目，思考并填空.
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为.
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为.
（3）公园内有一个大型文物店，内有两种型号的柜台，其中型规格的柜台有个收藏文物件，平均每个柜台存放了件文物，另有型规格的柜台个，收藏文物件，本店内平均每个柜台存放了__件文物.
（4）公园门票价格：成人每人8元，学生每人3元，若有个老师和个学生，买门票需要元.
学生填空，观察这些式子的共同点？，与分数有什么相同点和不同点？
今天我们再认识代数式家族中成员——分式.
二、探究新知
探究点1 分式的概念
1.对上述式子从单项式，多项式的角度进行分类
单项式：，
多项式：
既不是单项式，也不是多项式：，，，.
思考：观察式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
学生分组讨论得出答案，并指出书写形式：同5÷3可以写成一样，式子A÷B可以写成.
可以发现，这些式子与分数一样都是（即）的形式.分数的分子与分母都是整数，而这些式子中的与都是整式，并且中都含有字母.
师生活动：让学生观察思考，并与小学学过的分数对比，学生先回答，教师后归纳总结.
分式的定义：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，叫做分子，叫做分母.
2.下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
解：分式：
整式：
注意：判断一个代数式是否为分式，只看形式，不能看化简后的结果.
分式是不同于整式的另一类式子.上面的，，，等都是分式.由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.例如，分式仅表示的商，而分式既可以表示，又可以表示，等.
分式的特点：（1）分式的分母中必须含有字母.（2）分式比分数更具有一般性.
探究点2 分式有、无意义及分式值为0的条件
思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义.
通过学生思考、讨论等活动，让学生充分认识到：
（1）分式有意义：分母不为0；
（2）分式无意义：分母为0；
（3）分式值为0：分子为0，分母不为0.
三、典例精析
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
（1）甲每小时做x个零件，他做80个零件需 小时；
（2）（3）轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/小时，那么轮船在逆水中航行5千米所用的时间为 小时，在顺水中航行5千米所用的时间为 小时.
（3）x与y的差除以4的商是 .
（4）明明的妈妈带了50元去买苹果.如果每千克苹果8元，那么她可以买到 kg的苹果；妈妈带了（x+y）元去买苹果.如果原来每千克苹果8元，由于物价上涨，每千克苹果涨价m元，那么她可以买到 kg的苹果.
解：（1）；分式.（2）；分式.（3）；整式.（4）整式； 分式.
例2 （教材第128页例1）下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）.
解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0.
（2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1.
（3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠.
（4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.
【变式训练】1.当x取何值时，下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义？当x取何值时，下列分式值为零？
（1）；（2）.
解：（1）有意义：x2－4≠0，即x≠±2；
无意义：x2－4＝0，即x＝±2；
值为0：2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.
（2）有意义：x2－x≠0，即x≠0且x≠1；
无意义：x2－x＝0，即x＝0或x＝1；
值为0：x2－1＝0且x2－x≠0，即x＝－1.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p82练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的概念.
2.分式有意义或无意义，分式值为零的条件.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的概念，分式有无意义，分式值为0 的条件．
六、作业布置
《课时训练》p97—p98练习题
七、教学反思
15．1 分式
15.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质与约分
教学设计
课题 15.1.2 第1课时 分式的基本性质与约分 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解并掌握分式的基本性质.能利用分式的基本性质进行约分和通分．2．(2022新课标)了解最简分式的概念．能运用分式的基本性质约分.3.通过类比分数的基本性质探索分式的基本性质，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握分式的基本性质，利用分式的基本性质进行分式的约分.
教学难点 灵活运用分式的基本性质进行分式的约分.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
一天，动物园饲养员用西瓜喂两只猴子，用刀均分为二，一只猴子一块，两只猴子表现得非常不高兴，饲养员灵机一动，再把每一块西瓜各切成3等份，每个猴子可分到3份西瓜，这个时候，猴子们高兴了，争抢着很快把西瓜吃完.
教师：同学们，猴子为什么一开始不高兴，然后又高兴了？
学生：猴子认为一开始给它的西瓜少，后来给它的西瓜多.
教师：每个猴子在第二次确实多分到了西瓜吗？若不是的话，刚才的分西瓜能反映出什么数学式子？
学生：
教师：上面的式子体现了分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.我们来探究一下分式是否也有相关的性质.
二、探究新知
探究点1 分式的基本性质
1.由分数的基本性质可知，如果数，那么，.
一般地，对于任意一个分数，有，，其中是数.
思考：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等式0的整式，分式的值不变.
让学生尝试用式子表示分式的基本性质.
上述性质可以用式子表示为：，，其中是整式.
运用分式的基本性质的注意事项：
(1)分子分母同时进行；
(2)分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
(3)分子、分母同乘或同除同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式.
2.思考：分数的基本性质与分式的基本性质的区别？
在分数的基本性质中，“数”是一个具体的、唯一确定值.
在分式的基本性质中，“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.
探究点2 分式的约分
在化简分式时，小颖和小明的做法出现分歧：小颖：＝；
小明：＝＝.
你对他俩的解法有何看法？说说看！
思考：联想分数的约分，你能想出如何对分式进行约分吗？
与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值.
约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
总结：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式.
思考：（1）分式约分约去的是什么？
约去的是分子与分母的公因式
（2）如何找公因式：
①系数取分子、分母中各项系数的最大公约数；
②相同字母取分子与分母中各相同字母最低次幂；
③如果分子与分母是多项式，应先因式分解后，再找公因式.
思考：如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？
先分解因式后，可以更好地找出公因式.
三、典例精析
例1 （教材第129页例2）填空：（1）＝，＝；（2）＝，＝（b≠0）.
解：（1）x2；2x. （2）a；2ab－b2.
【变式训练】1.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)；(2)；(3).
解：(1)原式＝－；(2)原式＝－；(3)原式＝－.
方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．
例2 （教材第131页例3）约分：（1）；（2）；（3）.
解：（1）＝－＝－.
（2）＝＝.
（3）＝＝2（x－y）.
方法总结：约分时，要先找出分子和分母的公因式.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p84练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的基本性质.
2.分式的约分.
3.最简分式.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的基本性质、约分和最简分式．
六、作业布置
《课时训练》p99—p100练习题
七、教学反思
15．1 分式
15.1.2 分式的基本性质
第2课时 分式的通分
教学设计
课题 15.1.2 第2课时 分式的通分 授课人
素养目标 教学目标 1.理解最简公分母的含义，灵活运用分式的基本性质进行分式的通分.2.通过类比分数的通分，探索分式的通分法则，学会运用类比转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实问题. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 运用分式的基本性质进行分式的通分.
教学难点 确定分式的最简公分母，熟练地进行分式的通分.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
通分
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.
分数通分的关键是找分母的最小公倍数（确定几个分数的最简公分母）。那么，分式如何进行通分呢？
二、探究新知
探究点1 分式的通分
问题 填空：
（1）2ac （2）6ab-3b2
1.我们把分母6a2bc叫做分式和的最简公分母.
思考：最简公分母6a2b与分母3ab，2a2c之间有什么关系？
定义：一般取各分母的 因式的 的积作公分母，它叫做最简公分母.
所有因式 最高次幂
思考：如何确定最简公分母？
确定最简公分母的一般步骤：
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取.
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式的最高次数.
注意：（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；
（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母．
2.像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
通分的步骤：（1）将各个分式的分母分解因式；（2）确定最简公分母；（3）原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母.
3.分式的约分与通分有什么联系和区别呢
联系：约分和通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，二者均不改变分式的值.
区别：约分是针对一个分式而言的，把分式的分子和分母的公因式约去，将分式化为最简分式或整式；
通分是针对多个异分母的分式而言的，将分式的分子和分母乘同一个适当的整式，使这几个异分母的分式化为同分母的分式.
三、典例精析
例 （教材第132页例4）通分：（1）与；（2）与.
解：（1）最简公分母是2a2b2c.
＝＝；＝＝.
（2）最简公分母是（x＋5）（x－5）.
＝＝；＝＝.
【变式训练】1.通分：(1)，，；(2)，，.
解：(1)最简公分母为30a2b2c2，
＝；＝－；＝；
(2) 最简公分母为a(a＋2)(a－2)，
＝；＝；＝.
方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p86练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的通分.
2.最简公分母.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的通分、最简公分母．
六、作业布置
《课时训练》p101—p102练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
教学设计
课题 15.2.1 第1课时 分式的乘除 授课人
素养目标 教学目标 1．理解并掌握分式乘、除的运算法则．2．(2022新课标)能对简单的分式进行乘、除运算．3．通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想．会用数学的思维思考现实世界.让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力.
教学难点 熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
观察下列运算：
×＝ ，×＝，
÷＝×＝ ，÷＝×＝.
以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？
今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．
二、探究新知
探究点1 分式的乘除
1.（1）一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
学生根据长方体的体积能说出解答过程:长方体容积的高为，水面的高度为.
教师提出分式的乘法这一概念：如就是分式的乘法运算.
（2）大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
学生根据“工作效率=工作总量÷工作时间”能说出解答过程:
大拖拉机的工作效率是hm2 /天；小拖拉机的工作效率是hm2 /天；
大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍.
2.出示两题
教师点名学生回答.并总结分数的乘除法法则：
（1）分数乘以分数的法则：
分数乘以分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母.（能约分化简的要约分化简）
（2）分数除以分数的法则：
分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数.（能约分化简的要约分化简）
3.思考：类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
（1）分式的乘法法则：
①用文字语言来描述：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
②用符号语言表达：·＝
（2）分式的除法法则：
①用文字语言来描述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
②用符号语言表达：÷＝·＝.
三、典例精析
例1 （教材第136页例1）计算：（1） ·；（2） ÷ .
解：（1）;
（2）.
例2 （教材第136页例2）计算：（1） · ；（2） ÷ .
解：（1）;
（2）.
【变式训练】1.先化简，再求值：·，其中x＝，y＝；
解：原式＝·＝，当x＝，y＝时，原式＝24.
方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．
例3（教材第136页例3）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a>1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1） m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（1）“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
（2）÷＝.
高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍.
【变式训练】1.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
解：设花生的总产量是1，÷＝(倍)．
答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的倍．
方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p88练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的乘除.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的乘除法法则．
六、作业布置
《课时训练》p103—p104练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
教学设计
课题 15.2.1 第2课时 分式的乘方及乘除混合运算 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握分式的乘方的运算法则．2．会进行分式的乘方、乘除混合运算．3. 经历探索分式的乘方运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性，会用数学的语言表达现实世界.4. 通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想． 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算.
教学难点 分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
问题：说一说分式乘除法的计算法则.
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
即：，
二、探究新知
探究点1 分式的混合运算
思考：小明同学在计算÷·时，其过程如下：原式=÷1=，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.
不正确，应该按照从左往右的运算顺序进行计算.
思考：分式乘除混合运算应如何计算呢？
计算：·÷.
解：原式＝··＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.
方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．
特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．
探究点2 分式的乘方
思考：你能结合有理数乘方的意义和分式乘法的法则写出结果吗？
===，===，……
答案：，，
由以上计算的结果你能推出（n为正整数）的结果吗？
指出：一般地，当n 是正整数时，
即：
归纳：分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
强调：数与式有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除.
三、典例精析
例1 （教材第138页例4）计算：÷·.
解：÷·＝··＝.
例2 （教材第139页例5）计算：
解：（1）原式＝＝.
（2）原式＝··＝··＝－.
【变式训练】1.计算：(1)(－)2·(－)3·(－)4； (2)÷()2·.
解：(1)原式＝·(－)·＝－；
(2)原式＝··＝.
方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．
2.化简求值：()3÷()2·[]2，其中x＝－，y＝.
解：原式＝··＝.
将x＝－，y＝代入，得原式＝－6.
方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p90练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式的乘方.
2.分式的运算顺序
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的乘除混合运算法则，分式的乘方法则及混合运算顺序．
六、作业布置
《课时训练》p105—p106练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
教学设计
课题 15.2.2 第1课时 分式的加减 授课人
素养目标 教学目标 1.理解分式的加减法法则，熟练掌握同分母分式的加减运算.体会类比思想．2.掌握异分母分式的加减法法则及通分的过程与方法.3．(2022新课标)能对简单的分式进行加、减运算．4. 通过探究异分母分式加减法法则的过程，会用数学的眼光观察现实世界，提高思维的灵活性，培养学生整体思考和分析问题的能力. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 理解并掌握分式加减法法则．
教学难点 会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
1．请同学们说出，，的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？
(1)＋；(2)＋－.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？
今天我们就学习分式加减法．
二、探究新知
探究点1 分式的加减
1.问题1 甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
甲工程队一天完成这项工程的.
（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
乙工程队一天完成这项工程的.
（3）两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
两队共同工作一天完成这项工程的.
问题2 2021年、2022年、2023年某地的森林面积 (单位：km2) 分别是S1，S2，S3，2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了多少？
教师可适时启发让学生明确“年增长率”的含义，并通过具体数据计算帮助学生理解其意义，后再进行字母表示.
（1）什么是增长率？
（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？
2023年的森林面积增长率是，2022年的森林面积增长率是
（3）2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了多少？
2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了.
学生分组讨论，之后教师点名学生回答，其他同学纠错或补充.
教师通过学生的正确答案，引出分式的加法和分式的减法的概念.
2.思考：分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同.
观察下列分数加减运算的式子：
＋＝， －＝－，
＋＝＋＝， －＝－＝.
你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
师生活动：学生讨论，组内交流，教师点拨.
（1）同分母的分式加减法法则：.
①用语言文字叙述：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
②用符号语言表达：±＝，
（2）异分母的分式加减法法则：
①用语言文字叙述：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减.
②用符号语言表达：±＝±＝
三、典例精析
例 （教材第140页例6）计算：（1）－；（2）＋.
解：（1）原式＝＝＝＝.
（2）原式＝＋＝＝.
【变式训练】1.计算：(1)－x－1；(2)－.
解：(1)－x－1＝－＝；
(2)－＝－＝＝.
方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
2.先化简，再求值：－，其中x＝2016.
解：原式＝－＝＝＝，
当x＝2016时，原式＝.
方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p92练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
分式的加减法法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的加减法法则．
六、作业布置
《课时训练》p107—p108练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第2课时 分式的混合运算
教学设计
课题 15.2.2 第2课时 分式的混合运算 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能对简单的分式进行加、减、乘、除运算．2．能进行分式的混合运算．3．通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会从“特殊到一般”及“类比”的数学思想． 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．
教学难点 能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
问题：说一说分式的计算法则.
1.分式的加减法则：
2.分式的乘除法则：
3.分式的乘方法则：
这节课我们一起来学习分式的混合运算.
二、探究新知
探究点 分式的加减乘除混合运算
思考：分式加减乘除混合运算应如何计算呢？
(1)①式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的．
②同级运算按从左到右的顺序依次进行．
③在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律．
(2)要注意各分式中的分子、分母的符号的处理．结果中分子或分母的系数是负数时，一般要把分子或分母本身的“－”提到分式的前面．
(3)分式的运算与分数的运算一样，结果必须是最简形式．
三、典例精析
例1 （教材第141页例7）计算：
例2 （教材第141页例8）计算：（1）（m＋2＋）·；（2）（－）÷.
解：（1）原式＝ · ＝ ·
＝ · ＝－2（m＋3）＝－2m－6.
（2）原式＝[－] · ＝ ·
＝＝.
【变式训练】1.计算：(1)(－)·；(2)(x＋)÷(2＋－)．
解：(1)原式＝·＝2a＋12；
(2)原式＝÷＝·＝.
方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2.先化简代数式÷(1－)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
解：原式＝÷(－)＝×＝，
令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝.
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
3.已知a＋＝5，求的值．
解：因为a＋＝5，所以(a＋)2＝25，即a2＋＝23，
所以＝a2＋1＋＝23＋1＝24.所以＝.
方法总结：利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p94练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
分式的运算顺序.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式的加减乘除运算顺序．
六、作业布置
《课时训练》p109—p110练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第1课时 负整数指数幂
教学设计
课题 15.2.3 第1课时 负整数指数幂 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)了解负整数指数幂的意义和基本性质．2.会进行简单的整数范围内的幂运算．3.通过探索负整数指数幂的运算性质，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，会用数学的思维思考现实世界. 核心素养 抽象能力 运算能力
推理能力
教学重点 负整数指数幂的运算.
教学难点 运用负整数指数幂的运算性质进行计算.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
在学习有理数时，曾经介绍过1纳米=10-9米，即1纳米=米.它是另外一种形式是正指数的倒数形式.这节课我们一起来学习负整数指数幂.
二、探究新知
探究点1 负整数指数幂
复习已学过的正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：(m，n是正整数)；
（2）幂的乘方：(m，n是正整数)；
（3）积的乘方：(n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0，m，n是正整数，m＞n)；
（5）商的乘方：(n是正整数)；
（6）0指数幂，即当a≠0时，.
思考：am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
一方面由分式的除法约分可知，当a≠0时，===；另一方面，若把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0），也就是把的适用范围扩大了，这个运算性质适用于m、n可以是全体整数.
一般地，当n是正整数时，a－n＝（a≠0）.也就是说a－n（a≠0）是an的倒数.
负整数指数幂的三个常用结论：（1）an与a-n互为倒数；（2）；（3）.
思考：引入负整数指数和0指数后，am·an=am+n（m，n是正整数），这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？
例如，取m=2，n= -3，我们来检验
这时性质也成立，类似地，我们可以检验幂的其他运算性质的正确性。
因此我们可以得到，指数的范围扩大到了全体实数，幂的运算性质依然成立。
三、典例精析
例 （教材第144页例9）计算：（1）a－2÷a5； （2）（）－2； （3）（a－1b2）3； （4）a－2b2·（a2b－2）－3.
解：（1）a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝.
（2）（）－2＝＝＝.
（3）（a－1b2）3＝（a－1）3（b2）3＝a－3b6＝.
（4）a－2b2·（a2b－2）－3＝a－2b2·（a2）－3（b－2）－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.
【变式训练】计算：(1)(x3y－2)2；(2)x2y－2·(x－2y)3；(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
解：(1)原式＝x6y－4＝；
(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y＝；
(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7＝；
(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝.
方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p96练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.负整数指数幂的运算性质.
2.幂的运算性质的推广.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳负整数指数幂的运算性质及幂的运算性质的推广．
六、作业布置
《课时训练》p111—p112练习题
七、教学反思
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
教学设计
课题 15.2.3 第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)．2.会进行包含用科学记数法表示的数的简单运算.3.通过对用科学记数法表示不同数值的比较，感受数学知识体系内部的转化与统一. 核心素养 抽象能力 运算能力
推理能力 应用意识
教学重点 会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
教学难点 会进行包含用科学记数法表示的数的简单运算.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
我们知道光的速度约为300000000米∕秒，太阳半径约为696000千米，目前世界人口约为6100000000，这些数比较大，你能用科学计数法表示出来吗？
那么像0.0000257， 0.0000000083能不能用科学计数法表示呢？
二、探究新知
探究点 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.算一算，填空：
106＝ ；105＝ ；104＝ ；
103＝ ；102＝ ；101＝ .
1000000 100000 10000 1000 100 10
2.根据上面的规律填空：100＝ .1
3.根据上面的规律继续填空：
10－1＝ ；10－2＝ ；
10－3＝ ；10－4＝ ；10－5＝ .
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
4.我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示.当有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。
思考：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有 n个0呢？
-8，-n
5.用科学记数法表示0.0035和0.0000982
解：0.003 5=3.5×0.001 = 3.5×10-3 ； 0.000 098 2=9.82×0.000 01= 9.82×10-5
思考：（1）a的取值范围是什么？
a的取值范围是1≤|a|<10；
（2）10的指数n是什么数？
n为负整数；
（3）n的绝对值与小数点后面第一个非零数字前0的个数有什么关系？
|n|等于小数点后面第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前面的0）.
总结：用科学记数法表示绝对值小于1的数，把它写成a×10-n的形式.对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
三、典例精析
例1 用科学记数法表示下列各数：(1)0.0003267；(2)－0.0011；(3)－890600.
解：(1)0.0003267＝3.267×10－4；
(2)－0.0011＝1.1×10－3；
(3)－890690＝－8.9069×105.
【变式训练】1.用小数表示下列各数：(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
例2 （教材第145页例10）纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m.把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
解：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m.
（10－3）3÷（10－9）3＝10－9÷10－27＝10－9－（－27）＝1018.
答：1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体.
【变式训练】1.计算下列各题.：（1）(－4×10-6)÷(2×103) (2)(1.6×10-4)×(5×10-2)
解：(1) (－4×10-6)÷(2×103) 解：(2) (1.6×10-4)×(5×10-2)
=(-4÷2)(10-6÷103) =(1.6×5)×(10-4×10-2)
=-2×10-9 =8×10-6
方法总结：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p98练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
小于1的正数用科学记数法表示的一般形式：a×10-n
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用科学记数法表示小于1的正数．
六、作业布置
《课时训练》p113—p114练习题
七、教学反思
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
教学设计
课题 15.3 第1课时 分式方程及其解法 授课人
素养目标 教学目标 1．理解分式方程的定义和分式方程需要检验的原因．2．掌握解分式方程的一般方法和步骤．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法.3．(2022新课标)能解可化为一元一次方程的分式方程．4.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 1．了解分式方程的概念．2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．
教学难点 了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
1.下列方程哪些是一元一次方程？
(1) 3x-5=3；√ (2) x+2y=5；× (3) x2-x=5；× (4)= -1. √.
2.解方程= -1
解：去分母(方程两边乘12)，得 4(2x-1)=3(x+2)-12
去括号，得 8x-4=3x+6-12
移项，得 8x-3x=6-12+4
合并同类项，得 5x=-2
化系数为1，得 x=
前面的课程我们学习了分式，这节课我们一起来学习解分式方程.
二、探究新知
探究点1 方式方程
问题1一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，求甲、乙两地间的距离是多少千米？
设甲、乙两地间的距离是x千米，则列得的方程为.
问题2一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江流顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，则江水的流速为多少？
设江水的流速为多少vkm/h，则列得的方程为.
观察得到的两个方程，两者有什么区别？教师可引导学生观察分母的不同.
学生互相讨论，总结：方程是我们学习过的一元一次方程；方程是是分式方程.
思考：怎样表述分式方程呢？
分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
判断一个式子是否为分式方程的注意事项：
（1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数.三者缺一不可.
（2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，所以该方程是整式方程.
探究点2 分式方程的解法
如何解分式方程？
学生小组间互相讨论，同时教师引导学生可将未知的问题转化为已知的问题求解，由于学习过整式方程的解法，所以我们可以将分式方程转化为整式方程来解答.仿照解一元一次方程的过程，学生逐步找到解分式方程的思路：解题过程如下：
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v).
解得 v=6.
检验：将v=6代入原分式方程中，左边==右边，
因此v=6是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
再讨论一个分式方程
去分母，在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，得整式方程 x+5=10，解得 x=5
x=5是原分式方程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，得分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.
因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解.
思考：为什么①去分母后所得整式方程的解v=6就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解x=5却不是②的解呢？
方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解v=6. 当v=6时，(30+v)(30-v)≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解x=5. 当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.这是解分式方程必不可少的步骤.
思考：解分式方程的步骤有哪些？
解分式方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘 最简公分母，把分式方程化为 整式方程；
（2）解整式方程；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，称这个解为方程的增根，增根 不是 原分式方程的解.
三、典例精析
例1 （教材第151页例1） 解方程
解：方程两边乘x(x-3)，得 2x=3x-9
解得 x=9
检验：当x=9时，x(x-3)≠0
所以，原分式方程的解为x=9.
例2 （教材第151页例2）解方程
解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解得 x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
【变式训练】1.解方程：(1) ；(2) ；(3) ；(4)
解：(1)方程两边乘2x(x+3)，得 x+3=4x
解得 x=1
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0
所以，原分式方程的解为x=1.
解：(2)方程两边乘3(x+1)，得 3x=2x+3(x+1)
解得 x=-1.5
检验：当x=-1.5时，3(x+1)≠0
所以，原分式方程的解为x=-1.5.
解：(3)方程两边乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1)=4
解得 x=1
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解：(4)方程两边乘x(x+1)(x-1)，得 5(x-1)-(x+1)=0
解得 x=1.5
检验：当x=1.5时，x(x+1)(x-1)≠0
所以，原分式方程的解为x=1.5.
方法总结：注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p100练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.分式方程的概念.
2.解分式方程的一般步骤.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳分式方程的概念及解分式方程的一般步骤．
六、作业布置
《课时训练》p115—p116练习题
七、教学反思
15.3 分式方程
第2课时 分式方程的实际应用
教学设计
课题 15.3 第2课时 分式方程的实际应用 授课人
素养目标 教学目标 1．进一步学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．2．列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．掌握用分式方程解决实际问题的方法和步骤．3．(2022新课标)能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．4.通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识.会用数学的语言表达现实世界，提高分析问题和解决问题的能力. 核心素养 运算能力 模型观念
应用意识
教学重点 使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学难点 用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
1．引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤．学生积极思考，并交流、讨论总结出：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；
第四步，列方程，并解出答案；
第五步，检查方程的解是否符合题意；
2．提问：分式方程的应用题应该怎么解呢？
二、探究新知
探究点 方式方程的应用
1.由实际问题抽象出分式方程
旅游节期间几名同学包租一辆面包车去游览，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加游览的学生有x人，则所列方程为（A）
A． B． C． D．
方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
2.工程问题
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少．单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
方法总结：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
3.行程问题
从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
方法总结：此题涉及的公式是：路程=速度×时间
4.方案设计问题
某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10元，90元买乙的数量与150元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080元，销售额要大于2460元，求由几种方案？
方法总结：利用不等式（组）建立数学模型，通过计算确定解集，根据题意确定具体数值，即有几种方案．
5.图表信息类问题
某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
方法总结：结合图表提供的信息，找出相等关系列方程．
6.销售盈亏问题
佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
方法总结：把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑并掌握这次活动的流程．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7.思考：列分式方程解应用题的一般步骤 ？
1.审：审清题意，明确已知量和未知量，找出相等关系和数量关系.
2.设：根据所找的数量关系设出未知数
3.列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程
4.解：解这个分式方程
6.检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义
7.答：写出分式方程的解
注：列分式方程解应用题的一般步骤实际和列方程解应用题的一般步骤一样，只不过多出来了检验这一步.
三、典例精析
例1（教材第152页例3）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
＋＋＝1.
方程两边同乘6x，得2x＋x＋3＝6x.解得x＝1.
检验：当x＝1时，6x≠0，所以x＝1是原分式方程的解.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队施工速度快.
例2 （教材第153页例4 ）某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间为________h，提速后列车的平均速度为________km/h，提速后列车运行(s＋50)km所用时间为________h.
解：提速前列车的平均速度为 km/h.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p102练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1各种类别的分式方程的解题思路.
2.用分式方程解决实际问题的一般步骤.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤．
六、作业布置
《课时训练》p117—p118练习题
七、教学反思