22.1二次函数的图像和性质 同步练习（含答案） 2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图像和性质 同步练习 2023-2024学年人教版数学九年级上册
姓名 班级 学号 成绩
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．将抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y=﹣2（x+1）2 B．y=﹣2（x﹣1）2
C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣1
2．二次函数 的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．
3．下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（　　）
A． B． C． D．
4．若二次函数y＝x2﹣2x+a有最小值为6，则a的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣7 D．7
5．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是
A．x1=1，x2=-2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
6．已知，，均是抛物线上的点，则（　　）
A． B．
C． D．
7．已知 ， 是抛物线 上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
8．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
9．已知函数y=ax2+2x+1的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数a的值是　 　
10．将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是　 　．
11．在平面直角坐标系中，将解析式为y=2x2的图象沿着x轴方向向左平移4个单位，再沿着y轴方向向下平移3个单位，此时图象的解析式为　 　．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-3x+1的对称轴交x轴于点A，点B是位于x轴上方的对称轴上一点，BC∥x轴交对称轴右侧的抛物线于点C．若四边形OACB是平行四边形，则点C的坐标为　 ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点.若顶点C到x轴的距离为6，则线段AB的长为　 　.
三、解答题：（本题共5题，共45分）
14．二次函数y＝－3x2平移后得到得新函数图象与y轴交点纵坐标为3，对称轴为直线x＝2，求这个新函数的解析式．
15．根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3
（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B也关于抛物线对称轴对称，且CD＝AB，求抛物线的解析式．
17．如图，抛物线 与y轴的交点为A，抛物线的顶点为 ．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）点P为x轴上一点，当△PAB的周长最小时，求出点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C
9．0或1
10．（﹣1，2）
11．y=2（x+4）2﹣3
12．（3，1）
13．
14．解：设新的函数解析式为： ，
∵平移后与y轴交点纵坐标为3，
∴c=3，
∵对称轴为直线x＝2，
∴ ，
∵a=-3，
∴b=12，
∴新函数解析式：
15．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣1，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，
∴﹣3=a（0+1）2﹣1，
解得a=﹣2．
∴抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，
即y=﹣2x2﹣4x﹣3
（2）解：∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣2），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=k（x﹣1）（x﹣5），
则﹣2=k（3﹣1）（3﹣5）
解得k= ，
∴抛物线解析式为y= （x﹣1）（x﹣5），
即y= x2﹣3x+
16．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
又A、B也关于抛物线对称轴对称，
∴h＝2，
∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，
∴CD＝AB＝2，
∴则点C的坐标为（1，2），（或点D的坐标为（3，2）），代入解析式，
∴2＝﹣+k，
解得，k＝．
∴ 所求抛物线解析式为
17．（1）解：∵ 抛物线与y轴交于点A（0，－2），顶点为B（1，－3）
∴ 可设抛物线解析式 ，代入点A（0，－2）得a =1
∴抛物线解析式
（2）解：设点A（0，－2）关于x轴的对称点为 （0，2），连接 B交x轴于点P，则此时△PAB的周长最小
设直线 B的解析式 ，代入点 （0，2），B（1，－3）得：
解得：k＝－5，b＝2
∴ 直线 B的解析式
当y＝0时，
∴
18．（1）解：把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
解得 ，
所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得 ，
解得 ，
所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）解：设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
当t=﹣ = 时，二次函数的最大值，即PM最长值为 = ，
则S△ABM=S△BPM+S△APM= = ．
（3）解：存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
① 当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能有PM=3．
② 当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，
解得t1= ，t2= （舍去），
所以P点的横坐标是 ；
③ 当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，
解得t1= （舍去），t2= ，
所以P点的横坐标是 ．
综上所述，P点的横坐标是 或 ．