2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高二（上）暑期调查数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高二（上）暑期调查数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4. 函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在平行四边形中，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为( )
A. B. C. D.
8. 在四面体中，已知二面角为直二面角，，，，设若满足条件的四面体有两个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C. 若，则复数对应的点位于第四象限
D. 已知复数满足：，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地依次随机摸出个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为”，则( )
A. 甲与乙是对立事件 B. 甲与乙是互斥事件 C. 丙与丁相互独立 D. 甲与丁相互独立
11. 若定义在上的奇函数满足，且当时，，则( )
A. 为偶函数 B. 在上单调递增
C. 在上单调递增 D. 的最小正周期
12. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体在侧面上的一个动点含边界，点是的中点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 四棱锥外接球的半径为
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 计算： ______ ．
14. 若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥表面积为______ ．
15. 请写出一个定义域不是，但值域为的奇函数： ______ ．
16. 在锐角三角形中，已知，则 ______ ，的最小值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数．
若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标．
18. 本小题分
某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在内，成绩分成组，按照下面分组进行统计分析：第组，第组，第组，第组，第组，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第，，组共选取人作为企业“二十大精神”的宣传使者．
根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第百分位数；
若从位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第组中至多有一人被选中的概率．
19. 本小题分
已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
求的解析式及单调减区间；
将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和．
20. 本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
若，求；
若，求，．
21. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
求证：；
已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小．
22. 本小题分
已知函数过定点，且点在函数的图象上，．
求函数的解析式；
若定义在区间上的函数有零点，求整数的值；
设，若对于任意，都有，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题．
首先判断集合中任意元素都是集合的元素，从而得出集合是集合的子集，然后即可求它们的交集．
【解答】
解：因为当时，集合中任意元素
所以，于是．
故答案选：．
2.【答案】
【解析】解：因为命题：，，所以的否定是，．
故选：．
根据含有量词的命题否定方法来求解．
本题考查含有量词的命题否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若，，，则或与异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则是偶函数，图象关于轴对称，排除，
当时，，排除，
当时，为增函数，排除，
故选：．
判断函数的奇偶性，对称性以及单调性，利用排除法进行求解即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法是解决本题的关键．难度中等．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的运算，考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
由图利用平面向量的基本定理表示出向量，利用向量的线性运算，求解即可．
【解答】
解：在平行四边形中，为的中点，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
则．
故选：．
结合同角平方关系先求出，然后结合两角差的正弦公式可求．
本题主要考查了同角基本关系及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图所示：设球的半径为，则，
，
，
所以．
故选：．
根据圆的切线性质，结合正弦的二倍角公式、辅助角公式进行求解即可．
本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由二面角是直二面角，，，
，取的中点，连接，
过作，连接．
由，可得平面，，
则，
即有．
设，在中，由余弦定理可知，即，
满足条件的四面体有两个，
所以有两个正根，
所以，所以．
故选：．
由面面垂直的性质，推得，再由三角形的余弦定理，结合条件和二次方程实根的分布，解不等式可得所求取值范围．
本题考查面面垂直的性质和三角形的余弦定理，以及二次方程的根的个数，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，两个虚数不能比较大小，故B错误；
对于，，
则复数对应的点位于第二象限，故C错误；
对于，设，，
，
，表示以为圆心，为半径的圆，故D正确．
故选：．
对于，结合复数的四则运算，即可求解；
对于，结合虚数不能比较大小，即可求解；
对于，，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设甲、乙、丙、丁事件分别对应，，，，则，，丁包含的基本事件有，，，，，
则，，，
对于、，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误，B正确，
对于，，则，则C错误，
对于，，则，故D正确．
故选：．
先求出事件对应的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否为判断、选项，再由独立事件的概率公式判断、选项即可．
本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由得函数的图象关于对称，
函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到的，
所以函数的图像关于轴对称，所以函数是偶函数，故A正确；
由得，
所以，的最小正周期为，故D正确；
当时，，因为是定义在上的奇函数，
所以当时，，且，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为的最小正周期，
所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误．
故选：．
由可得函数图象关于对称，通过图象的平移判断选项A正确；由函数为奇函数结合，可得函数的周期为，判断选项D正确；由时，，结合函数的奇偶性和对称性，可得函数的单调性，判断出B正确，C错误．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，三棱锥的体积为，
因为点是的中点，所以的面积是定值，且点到平面的距离是正方体的棱长，
所以三棱锥的体积为定值，选项A正确；
对于，过点作平面，交平面于点，
则四棱锥外接圆的圆心在直线上，且为矩形的交点，
设外接球的半径为，则，，，
所以，
中，，即，解得，选项B正确；
对于，过点作，则点是的中点，连接，取的中点，
连接，，，
则，，平面，所以，
又，所以平面，所以，
所以点的轨迹是线段，
在中，，，，
所以的最大值为，选项C错误；
对于，在中，，
所以，
所以点到的距离为，
所以的最小值为，选项D正确．
故选：．
三棱锥的体积为三棱锥的体积，由底面积和高是定值判断选项A；求出四棱锥的外接球的半径即可判断选项B；过点作，则点是的中点，连接，取的中点，连接，，，由线面垂直的判定和性质得点的轨迹是线段，解，能求出的最大值和最小值，由此判断选项CD．
本题考查了命题真假的判断问题，也考查了点到平面的距离、线面垂直的判定和性质应用问题，以及运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据给定条件，利用对数运算、指数运算求解作答．
本题考查的知识要点：对数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，设圆锥底面半径为，扇形的弧长为，
因为，所以，
所以，
．
故答案为：．
根据题意，设圆锥底面半径为，扇形的弧长为，利用弧长公式、圆锥的侧面积公式计算可得答案．
本题考查圆锥的表面积计算，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：的定义域为，不是，值域为，且满足，即为奇函数，
符合题意，
故答案为：答案不唯一．
，分析其定义域与值域及其奇偶性，可得答案．
本题考查函数的奇偶性、定义域、值域等性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以由正弦定理得，
又因为由余弦定理可得，
可得，
再由正弦定理得，
则，可得，
所以，
所以
，当且仅当时取等号．
所以的最小值为．
故答案为：；．
由已知条件结合正弦定理和余弦定理即可求出，再利用两角和的正切三角函数公式求出，然后利用基本不等式即可求出答案．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：在复平面内的对应点为，
因为点位于第二象限，所以，解得，
所以的取值范围为；
因为为纯虚数，所以，解得，
所以，所以，，，
由复数几何意义知：，，
所以，
即向量在向量上的投影向量的坐标为．
【解析】根据在复平面内的对应点位于第二象限的特征进行求解即可；
根据纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则、投影向量的定义进行求解即可．
本题考查复数及其几何意义，复数的基本运算，投影向量的概念，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，
所以第百分位数落在内，设其为，
则，
解得，
即第百分位数为；
因为第，，组的频率之比为：：，
所以按比例分配的分层抽样的方法在第，，组共选取人作为企业“二十大精神”的宣传使者，
则第组抽取人，记为，，，第组抽取人，记为，，第组抽取人，记为，
从位宣传使者中随机选取两人，所有基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中第组中至多有一人被选中的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个，
所以所求概率为．
【解析】根据百分位数的定义求解；
由分层抽样可知，第组抽取人，第组抽取人，第组抽取人，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可知，函数，
又因为函数为奇函数，所以可得，，
又，解得，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
可得周期，由可得．
故函数．
令，，
可得单调减区间为，．
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数．
由方程得或，
即或舍；
当时，，
所以或或或；
即方程有四个实数根，不妨设为，，，；
可得．
所以，
故所有根之和为．
【解析】利用三角恒等变换将函数化简可得，再函数性质可求得解析式，根据整体代换可求出单调递减区间；
由三角函数平移规则可知，再根据三角函数值域以及方程的根可求出方程的所有根之和为．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：
中，，，，解得，
，，
故；
，
，
，，
则，
，
，即，
由解得，
，
，又，
．
【解析】根据已知条件，推得，过作，垂足为，依次求出，，即可求解；
根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】证明：，，，，
四边形是直角梯形，．
过点作，垂足为点，
则四边形为正方形．
，，
，
故AB，即．
又平面，平面，．
又，且，平面，平面，
又平面，；
解：过点作于点，连接，
平面，平面，，
，平面，，
，，
又，，平面，
平面，
则为与平面所成的角．
设，则，，，
由得
解得或舍去，于是为的中点．
过点作于点，连接，
平面，平面，，
又，，平面，故AC平面，
又平面，，
为二面角的平面角，
在中，，，
即为的中点，且此时二面角的大小为．
【解析】利用勾股定理的逆定理可得，利用线面垂直的判定与性质定理即可证明结论．
过点作于点，连接，可得为与平面所成的角．根据与平面所成角的正切值为，可得为的中点．过点作于点，连接，可得为二面角的平面角，在中，即可得出二面角的大小．
本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理与性质定理、勾股定理的逆定理、二面角、三角函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数过定点，
的图像过点，，解得，
函数的解析式为；
由可知，，
函数定义在区间上，
在区间上恒成立，可得．
可知，令，得，
设，，
则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，
开口向上，对称轴，
，解得，，
，的值为．
由题只需，
，
又且，且，
的最大值可能是或，
，
可知，
，
设，在上单调递增，
又，，即，，
的取值范围是．
【解析】根据指数的运算性质，结合代入法进行求解即可；
根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；
根据指数运算性质，结合配方法、二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
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