2023-2024学年山东省潍坊市高密重点中学高一（上）开学调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省潍坊市高密重点中学高一（上）开学调研数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，或，则( )
A. 或 B.
C. D. 或
3. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是( )
A. 最高成绩是环 B. 平均成绩是环
C. 这组成绩的众数是环 D. 这组成绩的方差是
4. 不等式的解集为( )
A. B.
C. D. ，
5. 一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是( )
A.
B. 是直角三角形
C.
D.
7. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议如图，班长坐在号座位，四位同学随机坐在四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，则下列不等式成立的有( )
A. B. C. D.
10. 年月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过分钟某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图表则下列说法正确的是( )
作业时间频数分布表
组别 作业时间单位：分钟 频数
A. 调查的样本容量为
B. 频数分布表中的值为
C. 若该校有名学生，作业完成的时间超过分钟的约人
D. 在扇形统计图中组所对的圆心角是
11. 已知，则下列选项中正确的有( )
A. B. C. D.
12. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下说法正确的是( )
A. 方程是倍根方程
B. 若关于的方程是倍根方程，则
C. 若且，则关于的方程是倍根方程
D. 若且，则关于的方程是倍根方程
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 因式分解 ______ ， ______ ．
14. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
15. 在中，，、、分别为、、的对边，若，则的值为______ ．
16. 如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在时，拱顶离水面米，水面宽米当水位下降，水面宽为米时，拱顶到水面的距离为 ．
四、解答题（本大题共4小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知二次函数图象在时取得最大值，又图象过点，
求这个函数的解析式；
若时，求函数的最值．
18. 本小题分
受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召开展线上教学活动为了解学生上网课使用的设备类型某校从“电脑、手机、电视、其它“四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查调查结果显示每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
补全条形统计图；
若该校共有名学生估计全校用手机上网课的学生人数；
在上网课时，老师在、、、四位同学中随机抽取一名学生回答问题求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
19. 本小题分
在中，，，求：
的面积及边上的高；
的内切圆的半径；
的外接圆的半径．
20. 本小题分
如图，抛物线是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，点为线段上的动点，过作交于点．
求该抛物线的解析式；
求面积的最大值，并求此时点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设方程的另一个根是，
由韦达定理可得：，
即，
故选：．
设方程的另一个根是，由韦达定理可得答案．
本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系韦达定理，熟练掌握韦达定理是解答的关键．
2.【答案】
【解析】解：在数轴上画出集合，或，
则或．
故选：．
利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
3.【答案】
【解析】解：、由统计图得，最高成绩是环，选项说法正确，不符合题意；
B、平均成绩：，选项说法正确，不符合题意；
C、由统计图得，出现了次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意；
D、方差：，
选项说法错误，符合题意．
故选：．
根据统计图即可判断选项A；根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B；根据统计图即可判断选项C；根据所给数据进行计算即可判断选项D．
本题考查了平均数，众数，方差，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和方差的计算方法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：
若，则，解得答案．
本题考查的知识点是分式不等式的解法，解答时要注意分母不能为的限制．
5.【答案】
【解析】解：由一次函数和反比例函数的图像可得，，，
所以二次函数中，，
因为时，则抛物线的开口向下，对称轴，在轴的右侧，所以C正确，，，不正确；
故选：．
由一次函数和反比例函数可得，，的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴的符号，选出结果．
本题考查由函数的图像可得参数的范围，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为四边形为菱形，则，，且，，
：因为，所以四边形为平行四边形，所以，则，故A正确；
：因为，，则，则三角形为直角三角形，故B正确；
：因为四边形为平行四边形，所以，所以点是的中点，
在直角三角形中，，故C正确；
：没有条件证明四边形为菱形，故BE不一定成立，故D错误．
故选：．
利用菱形的性质以及平行四边形的判定，直角三角形的性质对各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了相似三角形的性质，涉及到菱形，平行四边形，直角三角形的性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：、、、四人所有排列的可能为种，
，两位同学座位相邻，、两人随意排列的可能有种，
则，两位同学座位相邻的概率为．
故选：．
本题先算出、、、四人所有排列的可能为种，再算出，两位同学座位相邻的可能有种，进而求出，两位同学座位相邻的概率．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，的开口向下，对称轴为，
画出的图象如图所示，
由于区间上的值域为，
由图可知，的取值范围是．
故选：．
画出的图象，结合二次函数的性质求得正确答案．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，即；
，，；
，，
故选：．
根据不等式的性质即可判断每个选项的正误．
本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A：易知调查的样本容量，故选项A正确；
对于选项B：易知，故选项B正确；
对于选项C：因为作业完成的时间超过分钟占总体的，
所以在该校名学生，作业完成的时间超过分钟的约有人，故选项C正确；
对于选项D：在扇形统计图中组所对的圆心角，故选项D错误．
故选：．
由题意，结合扇形统计图以及频率分布表中信息对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查扇形统计图以及频数分布表，考查了数据分析和运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，，，故D错误．
故选：．
选项A，根据完全平方公式化简计算即可；选项B，由立方和公式化简计算可判断选项；选项C，利用根式与完全平方公式化简计算；选项D，根据已知和所求代数式列方程，代入计算即可．
本题考查有理数指数幂与根式的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
解方程，可得或，满足“倍根方程”的定义，故A满足题意．
解关于的方程，可得或，
当时，；当时，，故B不满足题意．
由于且，关于的方程的解为或，显然是倍根方程，故C满足题意．
若且，即，则关于的方程的解为或，显然是倍根方程，故D满足题意．
故选：．
由题意，根据新定义，一元二次方程根的分布与系数的关系，韦达定理，得出结论．
本题主要考查新定义，一元二次方程根的分布与系数的关系，韦达定理，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：；．
利用提公因式法对多项式因式分解即可．
本题主要考查了多项式因式分解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于式子在实数范围内有意义，故有，求得且，
可得的取值范围是．
故答案为：．
由题意，根据分式、偶次根式的性质，求得的取值范围．
本题主要考查分式、偶次根式的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为在中，，、、分别为、、的对边，，
所以由正弦定理可得，
所以，
所以，即，
解得或舍去．
故答案为：．
由题意利用正弦定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式可求，解方程即可求解的值．
本题考查了正弦定理，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．
16.【答案】米
【解析】解：如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为，
将代入，
得，
，
代入得，
故拱顶到水面的距离为
故答案为：米．
先建立直角坐标系，将点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得进而得到答案．
本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力，属基础题．
17.【答案】解：二次函数图象在时取得最大值，
所以顶点坐标是，
故可设，
又函数过点代入得，
；
的图象是开口向下，为对称轴，
故时函数为增函数，时函数为减函数，
故当时，函数有最小值，当时，函数有最大值．
【解析】由已知先确定二次函数的顶点坐标，设出函数解析式，然后把已知点的坐标代入即可求解；
由已知结合二次函数的性质即可求解函数的最大值与最小值．
本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了二次函数最值求解，属于基础题．
18.【答案】解：抽取的总人数是：人，
手机的人数是：人，补全统计图如下：
全校用手机上网课的学生共有：名；
根据题意画树状图如下：
共有种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率为．
【解析】根据饼形图的比例，结合条形图即可；根据饼形图的比例即可得；利用树形图即可．
本题考查条形统计图，饼形统计图的有关概念，属于基础题．
19.【答案】解：，，作，则为边上的高，
，
为边上的中点．
，
．
由，可得．
由等面积可得，；
由勾股定理可得，．
【解析】根据题意可知为等腰三角形，根据三角形面积计算公式底高计算三角形面积；
利用等面积，求的内切圆的半径；
利用勾股定理，求的外接圆的半径．
本题考查了勾股定理的运用，考查了等腰三角形的高线即中线的性质，解本题的关键是掌握等腰三角形底边的高线，中线，角平分线三线合一的性质．
20.【答案】解：且，
，
，解得，
抛物线的解析式为；
过作轴于，过作轴于，
设，则，
，
，，
，∽，
，即，
，
，
，
根据二次函数的性质可知，当时，有最大值为，
面积的最大值为，此时点坐标为．
【解析】由已知先求出的坐标，然后把已知点，的坐标代入可求函数解析式；
本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．
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