2023-2024学年北京市高三（上）入学定位数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市高三（上）入学定位数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数的共轭为，若，则的实部为( )
A. B. C. D.
3. 在的展开式中，的系数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4. 直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
5. 下列函数中，没有对称中心的是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 等差数列的其前项和为，若，，则的公差为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. 已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为钝角”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 抛物线：的焦点为点关于原点的对称点为若以为圆心的圆经过点且与的两个交点为，，则下面结论正确的是( )
A. 一定是钝角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形
10. 棱长为的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 函数的定义域为______ ．
12. 过双曲线的右焦点作轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为，，若为等边三角形，则的渐近线方程为______ ，的离心率为______ ．
13. 在中，，且，则 ______ ， ______ ．
14. 函数只有一个零点，则的一个值为______ ；的最大值为______ ．
15. 已知数列的前项和为，且，其中，不同时为给出下列四个结论：
当时，为等比数列；
当时，一定不是等差数列；
当时，为常数列；
当时，是单调递增数列．
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
如图，在长方体中，侧面是正方形，且，点为的中点，点在直线上
若平面，求证：平面；
求二面角的余弦值．
17. 本小题分
已知，其中．
若，求的值；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的单调递增区间．
条件：；
条件：．
18. 本小题分
为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数均不低于千步，不超过千步，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．
试估计该单位全体员工日行步数单位：千步的平均数每组数据以该组区间的中点值为代表；
单位工会从全体员工中随机选取人，记表示人中每日健步数在千步以上的人数，求随机变量的分布列和期望；
假设单位员工甲、乙、丙三人某日健步走的步数分别为，，，且，，，且，，，则三人当日健步走的步数的方差最小时，写出，，的一组值不要求证明单位：千步
注：，其中
19. 本小题分
已知函数，曲线在的切线为．
求，的值；
求证：函数在区间上单调递增；
求函数的零点个数，并说明理由．
20. 本小题分
已知椭圆的离心率为．
求椭圆的方程；
当椭圆焦点在轴上时，直线：与椭圆的一个交点为点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，经过点且斜率为的直线与交于点，点满足轴，轴，求证：点在直线上
21. 本小题分
给定正整数，，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列记数列的项数的最小值为．
条件：的每一项都属于集合；
条件：从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列．
注：从中选取第项、第项、、第项其中形成的新数列称为的一个子数列．
分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由：
数列：，，，，，，，，；
数列：，，，，，，；
求证：；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据并集的概念运算可得答案．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，则，
由得，即．
所以的实部为．
故选：．
设复数的代数形式，根据共轭复数的概念和复数的加法运算法则可求出结果．
本题考查了共轭复数的概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：的展开式的通项公式为，，，，．
由已知得，得．
故选：．
根据二项展开式的通项公式可求出结果．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由已知得圆心为，半径，
因为圆心在直线上，
所以直线被圆所截得的弦长为．
故选：．
根据圆心在直线上可得结果．
本题主要考查直线和圆的位置关系应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：的对称中心是，不正确；
的对称中心是，不正确；
的对称中心是，，不正确；
结合指数型函数的图像可知函数无对称中心，选项正确．
故选：．
结合常见函数图像及性质分别判断各个选项即可．
本题主要考查函数的对称性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据二倍角的余弦公式可求出结果．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
可得，
而，
结合已知条件，得，整理得，解得或．
故选：．
根据题意，设公差为，进而列出关于的方程，解方程求出公差，即可得到答案．
本题主要考查了等差数列的通项与求和公式、一元二次方程的解法等知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：不共线的两个非零向量，
因为“与所成角为钝角，所以，
所以“与所成角为钝角”是“”的充要条件．
故选：．
结合向量数量积运算法则计算即可．
本题主要考查平面向量所成的角，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：不妨设，位于第一象限，位于第四象限，
因为，，
所以圆的方程为，
联立，
解得或，
所以，，
此时，
则，
所以，
又对称性得，
因为，
所以，
则一定是钝角三角形，故选项A正确，选项B错误；
又，且，
所以三角形为等腰直角三角形，
此时，
由根据对称性可得，
所以三角形为直角三角形，故选项C，选项D错误．
故选：．
由题意，联立圆和抛物线线方程求出，坐标，再利用二倍角的正切公式即可判断选项A和选项B，利用等腰直角三角形性质即可判断选项C和选项D．
本题考查抛物线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，，，
所以，
，
因为平面，
所以，故，
，故，
其中，
故，
故当时，取得最小值，此时满足要求，
所以线段的最小值为．
故选：．
建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段的最小值．
本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由函数有意义得，得．
所以函数的定义域为．
故答案为：．
根据对数函数以及幂函数的定义域列式可得结果．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：已知双曲线渐近线方程为，
若过双曲线的右焦点作轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为，，
因为是等边三角形，
此时，
所以渐近线方程为，
此时．
故答案为：；．
由题意，根据等边三角形的性质以及双曲线渐近线方程得到，再利用离心率公式即可．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：由正弦定理，得，
由余弦定理，得，得．
故答案为：；．
由正弦定理求，由余弦定理求．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：当时，，
当，令，解得，
当，令，解得，因为，故舍去，
则时，只有一个零点；
当时，令，解得，又因为，舍去；
令，解得或，又因为，所以，
若要取得这个零点，则，解得，又因为，所以；
显然当时，，舍去，且无实数解，故时，无零点；
综上：，则．
故答案为：答案不唯一满足即可；．
分，和讨论即可．
本题考查了一次函数、二次函数的性质，也考查了函数的零点、分类讨论思想，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，，记为式，
当时，，可得，
当时，，记为式，
由式与式相减，可得，即，
整理得，记为式，
对于，将代入式，可得，首项，
因此，是首项，公比为等比数列，故正确；
对于，当时，由可知是以为首项，公比为等比数列，
可得，，
因此，当时，，此时是常数列，且是等差数列，故错误正确；
对于，当时，，由前面的结论，
结合是减函数，可知是递增函数，
因此，是单调递增数列，故正确．
故答案为：．
根据题意，由化简可得，代入可判断出正确；然后利用，可判断出不正确，且正确；最后利用是减函数可判断出正确，从而得出答案．
本题主要考查数列的递推关系、等差数列与等比数列的通项与性质，属于中档题．考查了思维能力、运算能力，解题的关键点是利用构造．
16.【答案】解：连接，因为长方体，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面E.
以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
因为侧面是正方形，所以，又因为点为的中点，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
，
又由图可知二面角的为鈍二面角，
则二面角的余弦值为．
【解析】利用面面平行的判定证明平面平面，再利用面面平行的性质即可证明；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出二面角余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
17.【答案】解：，
因为，所以，
若选，，
，
令，解得，
故的单调递增区间为；
若选，，
，
令，解得，
故的单调递增区间为．
【解析】代入，计算出，结合，求出的值；
选，用三角恒等变换化简得到，利用整体法求出单调递增区间；
选，先用三角恒等变换化简得到，利用整体法求出单调递增区间．
本题主要考查三角函数的图像和性质应用，考查计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意有：
千步．
每日健步数在千步以上的概率为，
则每日健步数在千步以下的概率为，
由，
的取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
．
依题意，，，，且，，，
因为方差反映了一组数据的波动情况，
所以要使方差最小，则，，这个数据要比较集中，
故取中的最小整数，即，
取中的最大整数，即，
取最均数的数，令，得，
故或，
当时，平均数为，
方差为；
当时，平均数为，
方差为；
因为，
所以，，．
【解析】以每组数据区间的中点值乘以相应频率相加即得均值；
由，由二项分布写出离散型随机变量的分布列并计算数学期望；
根据方差定义及意义判断选取即可．
本题考查了均值和方差，考查分布列问题，是中档题．
19.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为曲线在的切线为，
所以，
解得，
又，
解得；
由知，
可得，
不妨设，函数定义域为，
因为函数在上单调递增，
所以，
此时在上恒成立，
则函数在区间上单调递增；
因为，
令，
解得，
不妨设，
由知在上单调递增，
又，，
所以存在唯一零点使得，
则存在唯一零点满足，
此时，
整理得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以
，
当时，，，
此时，
故函数的零点个数为．
【解析】由题意，对函数直接求导得，根据，即可得到答案；
易得，将函数在区间上单调递增转化成求证在上恒成立即可；
通过求导得到的最小值，利用隐零点法证明即可．
本题考查理由导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
20.【答案】解：当椭圆焦点在轴上时，，故，
解得，所以此时椭圆方程为；
当椭圆焦点在轴上时，，故，解得，
此时椭圆方程为；
故椭圆的方程为或；
由题意可知，椭圆方程为，
联立，得，
设，则，所以，
故，故，
所以经过点且斜率为的直线方程为，
联立直线与直线得，，
即，解得，
所以，又，故，
又，即满足；
所以点在直线上．
【解析】分椭圆焦点在轴和在轴上两种情况进行求解；
椭圆方程为，联立直线与椭圆方程，得到，进而得到，从而求出经过点且斜率为的直线方程，联立直线后得到，验证其在上．
本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了定值计算问题，是难题．
21.【答案】解：，，
数列和中每一项都属于集合，符合条件，
从集合中取出个不同的元素，排成一列得到，，；，，；，，；，，；，，；，，．
根据子数列的定义可知，以上个数列都是数列的子数列，故数列是数列；
而数列，，不是数列的子数列，故数列不是数列．
，若从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是数列的子数列，
则为了满足，；，；，，；，；，；；，；等数列都是的子数列，
则数列中一定有，，，，，
又为了满足，；，；，；，；等数列都为的子数列，
则数列中一定有，，，，，
则当数列为，，，，，，，时，取到的值，
故G．
，从集合中取出个不同的数排成一列，可得，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；
，，，；，，，；，，，；，，，，，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；
，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，共个数列．
故数列中一定有，，，，，，，
为保证数列的子数列中有，，，和，，，，则数列中一定有，，，，，，，，，
为保证数列的子数列中有，，，，数列中一定有，，，，，，，，，，
为保证数列的子数列中有，，，和，，，，则数列中一定有，，，，，，，，，，，，
故G．
【解析】根据数列的定义进行判断可得结论；
根据，；，；，，；，；，；；，；等数列都是的子数列，得到数列中一定有，，，，；，；，；，；，；等数列都为的子数列，得到数列中一定有，，，，，从而可得；
从集合中取出个不同的数排成一列，可得个数列，根据数列都是的子数列中应包含这个数列中的每一个数列可知数列中一定有，，，，，，，，，，，，从而可得．
本题考查数列的应用，正确理解数列的定义和的含义是解题关键．
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