2023-2024学年湖南省天壹名校联盟高三（上）入学数学试卷（湘潭一模）（含解析）

2023-2024学年湖南省天壹名校联盟高三（上）入学数学试卷（湘潭一模）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为和，圆台的高为，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4. 若圆心在第一象限的圆过点，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5. 已知，设，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 甲、乙两位游客慕名来到张家界旅游，准备从天门山、十里画廊、袁家界、大峡谷个景点中随机选择其中一个，在甲、乙两位游客选择的景点不同的条件下，恰好有一名游客选择大峡谷景点的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，其中，则“”是“函数有两个极值点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数
B. 数据，，，，，，，的第百分位数为
C. 在残差图中，若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高
D. 若随机变量，，则
10. 如图，在平面直角坐标系中，阿基米德螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 的面积为
C. 其中
D. 若的面积为，则的值为
11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点含端点，以正方体中心为球心的球与正方体的每条棱有且只有一个公共点，则下列结论正确的是( )
A. 球的表面积为
B. 球在正方体外部的体积小于
C. 存在点，使得
D. 直线与平面所成角的正切值的最小值为
12. 已知抛物线：的焦点为，是抛物线上位于第一象限内的点，过点且斜率为的直线交抛物线的准线于点，点在准线上的射影为点若，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的标准方程为 B.
C. D. 四边形的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若向量，满足，，则向量与的夹角为______ ．
14. 已知，则的值为______ ．
15. 已知函数的定义域为，是奇函数，，，则 ______ ．
16. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列是等差数列，且．
求的通项公式；
设数列满足，证明：数列是等比数列，并求数列的前项和．
18. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若的角平分线交于点，且，求面积的最小值．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，，，，为的中点．
求证：平面；
若，平面平面，求二面角的余弦值．
20. 本小题分
某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为；该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中技能测试是否通过相互独立．
若，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更希望通过乙公司的技能测试，求的取值范围．
21. 本小题分
已知函数．
若，求的取值范围；
当时，记函数的最大值为，证明：．
22. 本小题分
已知椭圆：的左、右焦点别为，，离心率为，是椭圆上一动点，面积的最大值为．
求椭圆的标准方程；
不过原点的动直线与椭圆交于，两点，平面上一点满足，连接交椭圆于点点在线段上且不与端点重合，若，求原点到直线的距离的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由不等式，可得，即集合，
又集合，
所以．
故选：．
解一元二次不等式及集合的交运算即可求得结果．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
先利用复数的运算求出，再结合复数的几何意义求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，圆台的上、下底面圆半径分别为和，圆台的高为，
则该圆台的体积．
故选：．
根据题意，由圆台的体积公式计算可得答案．
本题考查圆台的体积计算，涉及圆台的结构特征，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设圆心的坐标为，
所以圆的方程为，由于该圆经过点；
故，解得．
故圆的方程为；
所以圆心到直线的距离．
故选：．
首先设出圆的方程为，进一步利用该圆经过点进一步求出圆的方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，画出图象：
且，，，
，．
的导数为，
可得在时递减，
即有，
的取值范围是．
故选B．
先画出函数的图象，利用对数的性质即可得出的关系式，再利用函数的单调性的性质即可求出范围．
熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和函数的单调性的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
所以，
又因为的图象关于点对称，所以，，
解得，；
又因为，所以．
故选：．
根据函数图象的相邻两条对称轴之间的距离求出和，再根据的图象关于点对称求出的值．
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设事件表示“甲、乙两位游客选择的景点不同”，事件表示“甲和乙恰好有一名游客选择大峡谷景点”，
由题意可知，，
所以．
故选：．
利用条件概率的概率公式求解．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，令，
则，
令，解得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
当，，又，
所以当，有两个根，即有两个极值点，
由于，
所以“”是“函数有两个极值点”的必要不充分条件．
故选：．
，令，求出的增减性，使直线与其图象有两个交点即可．
本题主要考查函数的极值点，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频率，故A错误；
数据，，，，，，，共个，
，
故该组数据的第百分位数为，故B正确；
由残差的定义可知，若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，
说明该模型的拟合精度越高，故C正确；
随机变量，
则，故D正确．
故选：．
对于，结合频率分布直方图的定义，即可求解；
对于，结合百分位数的求法，即可求解；
对于，结合残差的定义，即可求解；
对于，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查概率与统计的知识，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，
由题意可得：点的坐标为，
即选项A正确；
对于选项B，
由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，
则的面积为，
即选项B错误；
对于选项C，
由题意可得：，，，
则，
即选项C正确；
对于选项D，
由题意可得：的面积为，
又的面积为，
则，
则，
故选项D正确．
故选：．
先阅读题意，然后结合三角形的面积公式求解即可．
本题考查了数列的应用，重点考查了阅读理解能力及逻辑推理能力，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，如下图所示，正方体的棱切球的半径，
所以球的表面积为，故A正确；
对于，若球体、正方体的体积分别为，，
球在正方体外部的体积，故B错误；
对于，设中点为，连接，，若为中点，
则平面，在面内，所以，
在中，，，
所以，故，因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，故C正确；
对于，过点作平面，连接，
则直线与平面所成角为，
所以，
当在时，，所以，故D正确．
故选：．
利用正方体的性质，逐项计算可判断每个选项的正确性．
本题考查立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由已知可得，故A正确；
因为点在准线上的射影为点，即，
因为是抛物线上位于第一象限内的点，所以，
因为，即为的平分线，
因为是的平分线上的点，因为，，
过点作于，又，所以≌，
所以，所以与重合，所以为到边的距离，
所以，故B正确；
点是斜率为的直线与抛物线准线的交点，，如图所示，
设，则直线为，令，
得，由，
整理可得，则，
得，故，故选项C错误；
由，得直线为，令，得，
又，从而，
所以四边形的面积为，故D正确．
故选：．
由题意可得判断；由，可得，判断；利用抛物线的性质，逐项计算可判断其正确性．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，考查转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：设向量，夹角为，
因为
即，解得，
又因为，所以．
故答案为：．
根据数量积的定义以及运算律运算求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
化简，得，利用二倍角的余弦公式可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为是奇函数，所以，
又，可得，所以，所以，
所以是周期为的周期函数，
因为，所以，，
所以．
故答案为：．
根据奇偶性可得，结合可得，进而可得周期，再由求得，，结合周期性即可求解．
本题主要考查函数奇偶性的应用，抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：连接，由已知，在中，，
在中，，
则，
又，
则由余弦定理得，
解得，
由知，即，
所以在中，，即，
则，
所以双曲线的离心率．
故答案为：．
利用渐近线斜率求得，由余弦定理可得，再由勾股定理可知，然后由三角函数定义可得，即可求得离心率．
本题主要考查双曲线的简单性质．解决本题得关键在于根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，进而建立，之间的关系，属于中档题．
17.【答案】解：由数列是等差数列，可设公差为，
即为，
化为，
即有，，可得，，
则；
证明：，
，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列的前项和．
【解析】由等差数列的通项公式和恒等式的性质，求得首项和公差，可得所求；
由等比数列的定义、求和公式，可得所求．
本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以，
又，
所以，
因为，所以，即，
又，所以．
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，当且仅当时，等号成立，
所以，
故面积的最小值为．
【解析】结合诱导公式与两角和的正弦公式化简已知等式，可得，再由同角三角函数的商数关系，得解；
由，利用三角形的面积公式，推出，结合基本不等式，可得，再由，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握三角形面积公式，两角和的正弦公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：取的中点，连接，，
为中点，，而平面，平面，
平面，
，
，又，
，又，
，
为正三角形，又为的中点，
，又，
，又平面，平面，
平面，又平面，
且，，平面，
平面平面，又平面，
平面；
如图，取的中点，的中点，连接，，，
由知，又平面平面，
且平面，平面平面，
平面，
由知为正三角形，又，，
易得正三角形的边长为，又，
也是边长为的正三角形，又为中点，
，又为中点，为中点，，
，又平面，连接，
则根据三垂线定理可得：即为二面角的平面角，
又易知，，
，
，
故二面角的余弦值为．
【解析】取的中点，连接，，先证明平面平面，再根据面面平行的性质，即可证明；
根据题意易知与均是边长为的正三角形，取的中点，的中点，连接，，，，则根据三垂线定理易得：即为二面角的平面角，再解三角形，即可求解．
本题考查线面平行的证明，二面角的求解，面面平行的性质，面面垂直的性质定理，三垂线定理，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：若，
此时该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，
则该应聘者应聘甲公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率，
该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
若表示三项专业技能测试中通过的次数，
易知的所有取值为，，，，
若该应聘者应聘甲公司，
此时，，，，
所以；
该应聘者应聘乙公司，
此时，，
，，
所以，
因为该应聘者只能应聘其中一家且该应聘者更希望通过乙公司的技能测试，
所以，
解得，
又，
故的取值范围为．
【解析】由题意，代入概率公式中进行求解即可；
得到的所有取值，分别求出甲公司和乙公司对应的概率，代入期望公式中，根据该应聘者更希望通过乙公司的技能测试，列出等式求解即可．
本题考查离散型随机变量分布列的期望，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：由，得，
设，，则，
令，
则，所以在上单调递增，
，可知，
所以在上单调递减，
所以，故，
即实数的取值范围是；
证明：由可知的定义域为，
因为：，
，所以在上单调递减，
，，
存在，使得，即，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得唯一极大值，也是最大值，
所以，
令，，
则，单调递增，
故，
所以．
【解析】参变分离得到，设，求函数的最小值得出结果；
利用导数讨论函数的单调性，得出的最大值，证得结果．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：设椭圆半焦距为，点，则，
则，即．
又，，求得，，，
所以椭圆的标准方程为；
如图所示，设，，
当直线的斜率存在时，设直线：，
与联立可得，
且有，，
，
，
由，可得点为中点，可得，
且有，所以可得，
即点的坐标为，
将点代入椭圆，可得．
化简后得，
由于点，分别满足，，
代入上式可得，即，
代入韦达定理可得，满足式，
点到直线的距离，由于，
可得，，所以，
当直线的斜率不存在时，此时有，，代入，
可得，又，可得，
所以直线的方程为，点到直线的距离为，
故原点到直线的距离的取值范围为
【解析】设椭圆半焦距为，点，则，由已知可得，结合离心率可求，，进而可求椭圆的标准方程；
设，，直线斜率存在时，设直线：，与椭圆方程联立方程组，结合已知进行计算可求原点到直线的距离的取值范围，再求直线斜率不存在时原点到直线的距离即可．
本题主要考查了椭圆的标准方程，同时考查了直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
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