苏教版六年级数学上册第一单元长方体和正方体（知识点梳理+能力百分练）一（含解析）

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苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体（知识点梳理+能力百分练）一
知识点梳理
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段，叫作棱；棱和棱相交的点，叫作顶点。
2、①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形）;一般情况下，棱有3组，每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
3、物体所占空间的大小，是物体的体积。容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
4、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别记作厘米3、分米3和米3 。
5、常见的容积单位：毫升和升，分别用字母mL和L表示。
1升=1分米3(1 L=1 dm3)
1毫升=1厘米3(1 ml=1 cm3)
1升= 1000毫升(1 L= 1000 mL)
6、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。已知长方体的棱长总和及长、宽、高三项中的两项，求另外一项，用“棱长总和+4-已知的两项”。
7、正方体的棱长总和=棱长×12。已知正方体的棱长总和，求棱长，用“棱长总和÷12”。
8、正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，并且相对的面完全隔开。长方体的展开图是由6个长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的组合图形，相对的面完全相同且完全隔开。
9、由长方体或正方体的展开图判断哪两个面是一组相对的面，可以根据长方体或正方体展开图的特点去判断，也可以用实物折--折，直观地找一找。
10、长方体6个面的面积之和就是长方体的表面积。
11、长方体表面积的计算方法：
长方体的表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、正方体的表面积=棱长×棱长×6
13、在解决有关长方体或正方体表面积的实际问题时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量，有时不需要计算6个面的面积和。
14、长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。正方体的体积=棱长×棱长×
棱长，用字母表示为V=a3。长方体(正方体)的体积还可以用底面积×高来计算，如果体积用V表示，底面积用S表示，高用h表示，那么长方体(正方体)通用的体积计算公式用字母表示为V=Sh。
15、已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得第三个量。V= Sh；S=；h=
16、相邻体积单位或容积单位之间的进率是1000。体积单位、容积单位之间的换算，把高级单位化成低级单位要乘进率，把低级单位化成高级单位要除以进率。
17、在测量不规则物体的体积时，升高的那部分水的体积(或水满杯时溢出的水的体积)就相当于不规则物体的体积。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．一个苹果的体积最接近（ ）。
A．3立方米 B．30立方分米 C．300立方厘米 D．3000立方毫米
2．下图是一个正方体的展开图，与6号面相对的是（ ）号面。
A．4 B．3 C．2 D．1
3．一个长方体和一个正方体正好可以拼成一个新的长方体，它的表面积比原来长方体增加了8平方米，原来正方体的表面积是（ ）平方米。
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（ ）平方厘米。
A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab
5．图（ ）是下面正方体的展开图。
A．B．C．D．
6．以下是长方体的四个面，另2个面的面积和是（ ）。
A．28平方厘米 B．20平方厘米 C．70平方厘米 D．35平方厘米
7．一根长方体木料，长2.7米，宽和高都是2分米。把它锯成3段，表面积增加（ ）平方分米。
A．12 B．14 C．16 D．18
8．小芳用1立方厘米的小正方体摆成一个长方体，从正面和上面看到的是如下所示的图形。这个长方体的表面积是（ ）。
A．24平方厘米 B．36平方厘米
C．26平方厘米 D．52平方厘米
二、填空题（共16分）
9．把一个长8厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块锯成两个同样大的小长方体，表面积至少增加________平方厘米。
10．一个长方体的底面是周长20cm的正方形，高4cm，这个长方体的表面积是( )。
11．一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体盒子里，最多能放下( )个棱长是2分米的正方体木块。
12．在下图中添上一个正方形、使它能围成一个正方体，共有（ ）种添加方法。
13．把4块相同的长方体的砖（横截面为正方形），拼成如图所示的大正方体，已知拼成的正方体的体积是6×6×6立方分米，则原来每块砖的表面积是( )平方分米。
14．用3个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少( )平方厘米。
15．小明用一根长为60厘米的铁丝做成一个长5厘米，宽4厘米的长方体框架，如果用彩纸贴满长方体的各个面，至少要用彩纸( )平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。
16．一个水池长5分米、宽3分米、高2分米，里面蓄满水，现将一根长3分米，宽2分米、高6分米的长方体石柱竖着立在水池里，水池的水溢出( )立方分米。
三、判断题（共8分）
17．一个棱长是2分米的正方体，切成完全一样的两个长方体，表面积增加8平方分米。( )
18．将两个棱长为3cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少18cm2。( )
19．从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积减少了。( )
20．一盒果汁的包装盒上标注“净含量600m1”，从外面量，长方体包装盒的长是10厘米，宽4厘米，高15厘米，这个标注是真实的。( )
四、计算题（共12分）
21．（6分）求正方体体积。（单位：分米）
22．（6分）求出下列图形的体积（单位：分米）
五、作图题（共6分）
23．（6分）一个长方体如图，请画出它的展开图。
六、解答题（共42分）
24．（6分）一个长方体鱼缸，从里面量长40厘米，宽35厘米。现将一只乌龟放入缸中完全浸没，水面上升了0.6厘米，这只乌龟的体积是多少立方厘米？
25．（6分）光明小学修筑一条长60米、宽12米的直跑道。先铺上0.5米厚的三合土，再铺上0.05米厚的塑胶。需要三合土、塑胶各多少立方米？
26．（6分）一节长方体的通风管长是3分米，宽是2分米，高是8分米。做一节这样的通风管至少需要多大的铁皮？
27．（6分）2021年11月。迎泽大街东延段正式通车。在施工的过程中，一个施工队要在一块长120米，宽30米的长方形路面上铺设0.2米厚的水稳层（水泥沙石的混合体），铺设的水稳层的体积是多少立方米？
28．（6分）一个长方体无盖玻璃鱼缸，长10分米，宽6分米、高5分米，做这样一个鱼缸至少需要玻璃多少平方米？如果在这个鱼缸内注入2.5分米深的水、这时鱼缸中有水多少升？
29．（6分）要粉刷一间长8米，宽6米，高4.2的教室顶面和四面墙壁，教室的门窗和黑板的面积一共是25.6平方米。一共要粉刷多少平方米？如果每平方米用0.6千克涂料，共需要多少千克涂料？
30．（6分）一个无盖的长方体鱼缸，长12分米，宽8分米，高5分米，做这个鱼缸需要玻璃多少平方分米？鱼缸可以装水多少升？
参考答案
1．C
【分析】1立方米大约有1台洗衣机那么大，1立方分米大约有1个粉笔盒那么大，1立方厘米大约有1个小纽扣那么大，再结合题中所给的单位和数值，逐项分析，得出最接近苹果体积的选项。
【详解】一个苹果的体积：
A．3立方米太大，不符合实际，错误；
B．30立方分米太大，不符合实际，错误；
C．300立方厘米符合实际情况，正确；
D．3000立方毫米相当于3立方厘米，太小了，不符合实际，错误。
故答案为：C
【点睛】此类问题要联系实际及所给的单位和数值，不能和实际相违背。
2．B
【分析】观察正方体展开图可知，它的展开图属于“2－2－2”型，即1和4是相对面，3和6是相对面，2和5是相对面，据此选择。
【详解】由分析可知：与6号面相对的是3号面。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查正方体展开图的特征，可以动手实际操作下。
3．D
【分析】如图所示，，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了正方体4个侧面的面积，根据增加部分的面积表示出正方体一个面的面积，最后乘6求出正方体的表面积，据此解答。
【详解】如图所示：
8÷4×6
＝2×6
＝12（平方米）
所以，原来正方体的表面积是12平方米。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，根据增加部分的面积求出正方体一个面的面积是解答题目的关键。
4．C
【分析】由题意知：增加的表面积实际上就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可。
【详解】（a＋b）×2×3
＝（a＋b）×6
＝6（a＋b）平方厘米
表面积增加6（a＋b）平方厘米。
故答案为：C。
【点睛】理解增加的表面积就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积是解答本题的关键。
5．C
【分析】要判断所给四个展开图中，哪个不是正方体的展开图，关键是判断画有圆圈的面和涂色的面的位置关系；观察正方体可知，画有圆圈的面和涂色的面相邻；接下来，判断四个展开图折成正方体后这两个面的位置关系即可得到答案。
【详解】A选项：不能折叠成正方体，不是所给正方体的展开图；
B选项：能折叠成正方体，但阴影面和圆形面是相对的，不是所给正方体的展开图；
C选项：能折叠成正方体，阴影面和圆形面是相邻的，是所给正方体的展开图；
D选项： 能折叠成正方体，但阴影面和圆形面是相对的，不是所给正方体的展开图；
故答案为：C
【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。
6．C
【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。如果把长7厘米、宽2厘米的两个面作为前、后面，长5厘米和宽2厘米的两个面作为左、右面，那么它应该还有2个面，为长7厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，代入数据求解即可。
【详解】由分析可得：
另2个面面积和：
7×5×2
＝35×2
＝70（平方厘米）
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了长方体的特征，以及展开图的形状，根据长方形的面积公式求解即可。
7．C
【分析】一根长方体木料，长2.7米，宽和高都是2分米，把它锯成3段，则需要锯2次，锯一次则增加两个面的面积，锯2次，共增加4个面的面积，据此计算即可。
【详解】2×2×4
＝4×4
＝16（平方分米）
一根长方体木料，长2.7米，宽和高都是2分米。把它锯成3段，表面积增加16平方分米。
故答案为：C
【点睛】明确锯成的段数与增加的面的个数是解答本题的关键。
8．D
【分析】根据从正面和上面看到的形状可知，该长方体长4厘米、宽3厘米、高2厘米；根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。
【详解】由分析得：
（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
这个长方体的表面积是52平方厘米。
故答案为：D
【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是确定拼成的长方体的长、宽、高。
9．60
【分析】把一个长方体截成两个同样大小的小长方体，有3种不同的截法，要使表面积增加的最少，也就是把长方体的最小面平行截开，表面积增加两个截面的面积，根据长方形的面积公式：长×宽，把数据代入公式解答。
【详解】6×5×2
＝30×2
＝60（平方厘米）
即表面积至少增加60平方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用，长方形面积公式及应用，关键是明确：要使表面积增加的最少，也就是把长方体的最小面平行截开。
10．130cm2/130平方厘米
【分析】已知长方体的底面周长是20cm的正方形，高4cm，由此可知长方体的4个侧面是完全相同的长方形，用底面周长×高＋两个底面积，就是长方体的表面积。
【详解】底面边长：
20÷4＝5（cm）
表面积：
5×5×2＋20×4
＝25×2＋80
＝50＋80
＝130（cm2）
这个长方体的表面积是130cm2。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积的计算，首先求出底面边长，再根据表面积公式解答即可。
11．12
【分析】先求出每条棱长上最多能放的块数，再借助长方体的体积公式进行计算即可解答。
【详解】6÷2＝3（个）
4÷2＝2（个）
5÷2＝2（个）……1（分米）
3×2×2
＝6×2
＝12（个）
一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体盒子里，最多能放下12个棱长是2分米的正方体木块。
【点睛】本题重点考查长方体切割问题的应用，同时熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键。
12．4
【分析】根据正方体展开图的中的“1－3－2”结构和“3－3”结构进行解答。
【详解】
一共有4种添加方法。
在下图中添上一个正方形、使它能围成一个正方体，共有4种添加方法。
【点睛】本题考查正方体展开图的特征，熟记正方体展开图的特征是解答本题的关键。
13．90
【分析】由于拼成的正方体的体积是6×6×6，可知这个正方体的棱长是6分米，由此即可知道原来长方体的长是6分米，两个高加在一起是6分米，则一个高是6÷2＝3（分米），由于横截面是正方形，则宽也是3分米，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。
【详解】由分析可知：
原来长方体的长是6分米
6÷2＝3（分米）
（6×3＋6×3＋3×3）×2
＝（18＋18＋9）×2
＝45×2
＝90（平方分米）
所以原来每块砖的表面积是90平方分米。
【点睛】本题主要考查正方体的体积公式以及长方体的表面积公式，熟练掌握它们公式的意义并灵活运用。
14．36
【分析】如图，3小正方体拼成一个长方体，表面积减少了4个正方形的面，用棱长×棱长×4＝减少的表面积，据此列式计算。
【详解】3×3×4
＝9×4
＝36（平方厘米）
表面积减少36平方厘米。
【点睛】关键是理解两个立体图形拼起来，因为面的数目减少，所以表面积减少。
15． 148 120
【分析】根据题意，用一根铁丝做成一个长方体的框架，那么这根铁丝的长度就是长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－（长＋宽），由此求出长方体的高；
如果用彩纸贴满长方体的各个面，求至少要用彩纸的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求解；
求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【详解】长方体的高：
60÷4－（5＋4）
＝15－9
＝6（厘米）
长方体的表面积：
（5×4＋5×6＋4×6）×2
＝（20＋30＋24）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
长方体的体积：
5×4×6
＝20×6
＝120（立方厘米）
【点睛】灵活运用长方体的棱长总和公式求出长方体的高是解题的关键，然后运用长方体的表面积、体积计算公式列式计算。
16．12
【分析】根据题意，高为2分米的水池蓄满水，把一根高6分米的长方体石柱竖着立在水池里，则浸入水中的石柱只有2分米，那么水溢出的体积等于浸入水中石柱的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出水溢出的体积。
【详解】3×2×2
＝6×2
＝12（立方分米）
水池的水溢出12立方分米。
【点睛】明确水溢出的体积等于浸入水中石柱的体积，然后根据长方体的体积公式解答。
17．√
【分析】根据题意可知，把棱长是2分米的正方体切成完全一样的两个长方体，这两个长方体的表面积和比原来正方体的表面积增加了两个切面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出这两个切面的面积与8平方分米进行比较即可。
【详解】2×2×2
＝4×2
＝8（平方分米）
8＝8
因此，题干中的说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的表面积的意义，以及正方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
18．√
【分析】由题意得：减少部分是这个正方体的两个面的面积，由此解答出正确的结果，即可判断。
【详解】3×3×2
＝9×2
＝18（cm2）
长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了18cm2。
故答案为：√
【点睛】此题抓住正方形拼组成长方形表面积变化的特点即可进行解答。
19．×
【分析】根据题意可知，长方体一个顶点切去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，同时又增加了3个小正方形的面积，所以表面积没有变化，据此解答。
【详解】根据分析可知，从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积不变。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查长方体的表面积，明确表面积的意义是解答本题的关键。
20．×
【分析】净含量600m1，是包装盒的容积。从外面量的长、宽、高，用长乘宽乘高得长方体体积，体积应大于容积。据此判断。
【详解】长方体包装盒的体积：
10×4×15
＝40×15
＝600（立方厘米）
600毫升＝600立方厘米
故原题说法错误。
【点睛】本题考查了体积和容积的区别。明确体积是从外面量的数据计算得到的，容积是从物体里面量的数据得到的。
21．27立方分米
【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式即可求解。
【详解】3×3×3
＝9×3
＝27（立方分米）
所以正方体的体积是27立方分米。
22．176立方分米
【分析】组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。
【详解】（8－4）×7×4＋4×4×4
＝4×7×4＋64
＝112＋64
＝176（立方分米）
23．见详解
【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形，相对面的面积相等，再根据长方体的展开图“一四一”型，画出这个长方体的展开图即可。
【详解】作图如下：
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。
24．840立方厘米
【分析】由题意得：乌龟的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于长40厘米，宽35厘米，高0.6厘米的长方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数值计算即可。
【详解】40×35×0.6＝840（立方厘米）
答：这只乌龟的体积是840立方厘米。
【点睛】解题关键是明确乌龟的体积等于上升的水的体积，再根据长方体体积公式计算。
25．三合土：360立方米；塑胶：36立方米
【分析】由于先铺上0.5米厚的三合土，即三合土的体积是一个长是60米，宽是12米，高是0.5的长方体；塑胶是长60米，宽12米，高0.05米的长方体，根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解。
【详解】60×12×0.5
＝720×0.5
＝360（立方米）
60×12×0.05
＝720×0.05
＝36（立方米）
答：需要三合土360立方米，塑胶36立方米。
【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握它的体积公式并灵活运用。
26．44平方分米
【分析】首先搞清这道题是求长方体的侧面积，其次这个长方体的侧面由四个长方形组成，缺少最大的两个面用铁皮最少，也就是缺少前后两个面；只求它的左右、上下4个面的面积之和；据此解答即可。
【详解】3×2×2＋2×8×2
＝12＋32
＝44（平方分米）
答：做一节这样的通风管至少需要44平方分米的铁皮。
【点睛】如能画示长方体意图会使题意更加清楚明了，有助于进一步分析和解答。
27．720立方米
【分析】水稳层的体积＝长×宽×水稳层的厚度，代入数据计算即可。
【详解】120×30×0.2
＝3600×0.2
＝720（立方米）
答：铺设的水稳层的体积是720立方米。
【点睛】此题考查了长方体的体积计算，需牢记公式并能灵活运用。
28．2.2平方米；150升
【分析】由于鱼缸是无盖的，根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解，再根据1平方米＝100平方分米，转换单位即可；由于注入2.5分米深的水，则此时水形成的形状是一个长10分米，宽6分米，高2.5分米的长方体，根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解，再根据1升＝1立方分米，由此转换单位。
【详解】10×6＋（10×5＋6×5）×2
＝60＋（50＋30）×2
＝60＋80×2
＝60＋160
＝220（平方分米）
220平方分米＝2.2平方米。
10×6×2.5
＝60×2.5
＝150（立方分米）
150立方分米＝150升
答：做这样一个鱼缸需要玻璃2.2平方米；这时鱼缸中有水150升。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积和体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用，要注意转换单位。
29．140平方米；84千克
【分析】根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入求出教室要粉刷的表面积，再减去门窗和黑板的面积25.6平方米即可，之后用粉刷的面积乘0.6即可求解。
【详解】8×6＋（8×4.2＋6×4.2）×2
＝48＋（33.6＋25.2）×2
＝48＋117.6
＝165.6（平方米）
165.6－25.6＝140（平方米）
140×0.6＝84（千克）
答：一共要粉刷140平方米；共需84千克涂料。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。
30．296平方分米；480升
【分析】根据无盖的长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求出需要玻璃多少平方分米；再根据长方体的体积公式：长×宽×高，求出鱼缸的体积，再转换成容积即可。
【详解】12×8＋（12×5＋8×5）×2
＝96＋（60＋40）×2
＝96＋100×2
＝96＋200
＝296（平方分米）
12×8×5
＝96×5
＝480（立方分米）
480立方分米＝480升
答：做这个鱼缸需要玻璃296平方分米；鱼缸可以装水480升。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积和体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
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