数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件（共36张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件（共36张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-16 07:29:49 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
空间向量
空间向量的基本概念（重点）
空间向量的线性运算（重点）
1
2
共线、共面定理
3
情景引入
这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？
正东
正北
向上
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间的夹角都为90度,
它们的合力的大小为多少N
F3
F1
F2
这需要进一步来认识空间中的向量
问题1：
问题2：
如图：已知OA=6米，
AB=6米，BC=3米，
那么OC=
空间向量的定义及相关概念
1.定义
在空间,我们把具有 和 的量叫做空间向量, 空间向量的大小叫做空间向量的 .
大小
方向
长度或模
探究新知
2.空间向量及其模的表示方法
空间向量用字母a,b,c,…表示. 空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A, 终点是B, 则向量a也可以记作 , 其模记为 .
或
A
B
a
名称 概念 记法
零向量
单位向量
相反向量
共线向量或 平行向量
相等向量
与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量
3.空间向量的相关概念
长度为0的向量
模为1的向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量
方向相同且模相等的向量
∥
注意：
∥
探究新知
类型空间向量的有关概念②③④1)平面向量的加法1：
C
A
B
首尾相接
探究 空间向量的线性运算
平面向量的加法2：
O
A
B
C
起点相同
O
A
B
起点相同
2)平面
问题 空间向量线性运算的运算律？
（1）交换律：
；
（2）结合律：
；
（3）分配律：
，
.
如何证明空间向量的加法结合律
a
c
b
在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记
则 a + (b + c)＝
(a + b ) + c＝
所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c.
a， b， c .
练习巩固
例 如图，E、F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量
(1)
(2)
(3)
(4)
练习巩固
练习 用表示.
新知探索
问题：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
新知探索
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
共面向量
平行于__________的向量叫做共面向量．
1.定义
同一个平面
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是
共面的，也可能是不共面的。
那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
如图：如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与
直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 .
O
A
l
如果直线 平行于平面 或在平面 内,那么向量 平行于平面 .
探究思考:
对平面内任意两个不共线的向量 由平面向量基本定理可知，这个平面内
的任意一个向量 都可以写成 ，其中 是唯一确定的有序实数对.
对两个不共线的空间向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么
位置关系？
反过来，向量 与向量 有什么位置关系时， ？
猜想：
如果空间两个向量 不共线，
则向量 与向量 共面 存在唯一的有序实数对 使 .
2.共面向量定理：
O
A
C
B
空间两个向量 不共线，向量 与向量 共面 存在唯一的有序
实数对 使 .
证明：（1）必要性，如果向量 与向量 共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.
使得 .
由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对
（2）充分性，如果向量 满足 ，则可选定一点O ，
作
于是
显然 都在平面 内，故 共面.
3.推论（判断点在平面内）：
M
α
引入空间任一点 ,
可变式为
空间一点 位于平面 内 存在唯一的有序实数对 使 .
推论1：空间四点 共面 存在唯一有序实数对 使
如果我们令
则 ,其中 .
推论2：空间四点 共面 存在唯一的有序实数对 使
其中 .
例 (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是
√
√
(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.
跟踪训练 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面.
(2)BD∥平面EFGH.
(2)BD∥平面EFGH.
所以EH∥BD.又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 ，则P、A、B共线
(B)若 ，则P是AB的中点
(C)若 ，则P、A、B不共线
(D)若 ，则P、A、B共线
2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点
O, , 则x的值为( )
巩固练习
3.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
4.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
巩固练习
A
B
M
C
G
D
(2)原式
5.在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
巩固练习
A
B
C
D
D
C
B
A
6.在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.
E
答案: (1)x=1
(2)x=y=1/2
巩固练习
8.已知正方体 ，点E是上底面 的中心，
求下列各式中x、y、z的值：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
9.平行六面体 ，M分 成的比为 ，N分 成的比为2，设
试用 表示 。
A
M
C
G
D
B
名称 概念 记法
零向量
单位向量
相反向量
共线向量或 平行向量
相等向量
与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量
长度为0的向量
模为1的向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量
方向相同且模相等的向量
∥
小结：
小结：
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
空间向量
空间向量的基本概念（重点）
空间向量的线性运算（重点）
1
2
共线、共面定理
3
情景引入
这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？
正东
正北
向上
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间的夹角都为90度,
它们的合力的大小为多少N
F3
F1
F2
这需要进一步来认识空间中的向量
问题1：
问题2：
如图：已知OA=6米，
AB=6米，BC=3米，
那么OC=
空间向量的定义及相关概念
1.定义
在空间,我们把具有 和 的量叫做空间向量, 空间向量的大小叫做空间向量的 .
大小
方向
长度或模
探究新知
2.空间向量及其模的表示方法
空间向量用字母a,b,c,…表示. 空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A, 终点是B, 则向量a也可以记作 , 其模记为 .
或
A
B
a
名称 概念 记法
零向量
单位向量
相反向量
共线向量或 平行向量
相等向量
与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量
3.空间向量的相关概念
长度为0的向量
模为1的向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量
方向相同且模相等的向量
∥
注意：
∥
探究新知
类型空间向量的有关概念②③④1)平面向量的加法1：
C
A
B
首尾相接
探究 空间向量的线性运算
平面向量的加法2：
O
A
B
C
起点相同
O
A
B
起点相同
2)平面
问题 空间向量线性运算的运算律？
（1）交换律：
；
（2）结合律：
；
（3）分配律：
，
.
如何证明空间向量的加法结合律
a
c
b
在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记
则 a + (b + c)＝
(a + b ) + c＝
所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c.
a， b， c .
练习巩固
例 如图，E、F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量
(1)
(2)
(3)
(4)
练习巩固
练习 用表示.
新知探索
问题：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
新知探索
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
共面向量
平行于__________的向量叫做共面向量．
1.定义
同一个平面
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是
共面的，也可能是不共面的。
那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
如图：如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与
直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 .
O
A
l
如果直线 平行于平面 或在平面 内,那么向量 平行于平面 .
探究思考:
对平面内任意两个不共线的向量 由平面向量基本定理可知，这个平面内
的任意一个向量 都可以写成 ，其中 是唯一确定的有序实数对.
对两个不共线的空间向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么
位置关系？
反过来，向量 与向量 有什么位置关系时， ？
猜想：
如果空间两个向量 不共线，
则向量 与向量 共面 存在唯一的有序实数对 使 .
2.共面向量定理：
O
A
C
B
空间两个向量 不共线，向量 与向量 共面 存在唯一的有序
实数对 使 .
证明：（1）必要性，如果向量 与向量 共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.
使得 .
由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对
（2）充分性，如果向量 满足 ，则可选定一点O ，
作
于是
显然 都在平面 内，故 共面.
3.推论（判断点在平面内）：
M
α
引入空间任一点 ,
可变式为
空间一点 位于平面 内 存在唯一的有序实数对 使 .
推论1：空间四点 共面 存在唯一有序实数对 使
如果我们令
则 ,其中 .
推论2：空间四点 共面 存在唯一的有序实数对 使
其中 .
例 (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是
√
√
(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.
跟踪训练 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面.
(2)BD∥平面EFGH.
(2)BD∥平面EFGH.
所以EH∥BD.又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 ，则P、A、B共线
(B)若 ，则P是AB的中点
(C)若 ，则P、A、B不共线
(D)若 ，则P、A、B共线
2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点
O, , 则x的值为( )
巩固练习
3.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
4.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
巩固练习
A
B
M
C
G
D
(2)原式
5.在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
巩固练习
A
B
C
D
D
C
B
A
6.在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.
E
答案: (1)x=1
(2)x=y=1/2
巩固练习
8.已知正方体 ，点E是上底面 的中心，
求下列各式中x、y、z的值：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
9.平行六面体 ，M分 成的比为 ，N分 成的比为2，设
试用 表示 。
A
M
C
G
D
B
名称 概念 记法
零向量
单位向量
相反向量
共线向量或 平行向量
相等向量
与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量
长度为0的向量
模为1的向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量
方向相同且模相等的向量
∥
小结：
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