22.2 二次函数与一元二次方程导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程 导学案
【知识清单】
知识点01：二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）
知识要点：
　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
知识要点：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
知识要点：
　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
知识点03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）．
知识点04：抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式
抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集
△＞0 或
△＝0 （或） 无解
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
知识要点：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【典型例题】
考点1：求抛物线与x轴、y轴的交点
例1．如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于A，B两点，则不等式的解为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由抛物线与x轴的两个交点和开口向下可得不等式的解集是或，且，进而可得不等式的解为或.
【详解】解：∵抛物线交x轴于A，B两点，且抛物线开口向下，
∴不等式的解集是或，且，
∴不等式的解为或；
故选：D.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，正确理解抛物线与x轴的交点与对应不等式的关系、数形结合是解题的关键.
考点2：图象法确定一元二次方程的近似根
例2．二次函数为常数的图象如图所示，则方程有一正实数根和一负实数根的条件是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数图象，观察直线与抛物线的交点情况，从而可判断方程的解的情况．
【详解】解：观察图象可得，
当时，直线与抛物线有两个交点，一个交点在轴的左边，一个交点在轴的右边，
∴方程有一正实数根和一负实数根
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是由二次函数的图象与的交点位置确定交点横坐标的范围．
考点3：图象法解一元二次不等式
例3．二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．， B．
C． D．时，不等式一定成立
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
，
，所以不符合题意；
抛物线与轴有个交点，
，所以B不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线，
，
，所以C不符合题意；
由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方，
当时，不等式一定成立，所以D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
考点4：根据二次函数图象确定相应方程根的情况
例4．已知二次函数，y与x的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在3与4之间
【答案】D
【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图表可得，
该函数的对称轴是直线，有最大值，
抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
当时，，
抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意；
和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意；
方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
考点5：求x轴与抛物线的截线长
5．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的几组数据如下：
1 3
2 2
若点是抛物线上不同的两个点，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
3．已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　）
A． B． C．或 D．或
4．如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（ ）
x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 ……
y …… 0.24 0.89 1.56 ……
A． B．2.2 C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．二次函数，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，点的纵坐标满足，且m，n都为整数，则这样的点P有（ ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．二次函数的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为直线；②当时，或；③函数表达式为；④当时，随的增大而增大．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在二次函数中，与的部分对应值如下表：
x … 0 2 3 …
y … 8 0 0 3 …
则下列说法： ①该二次函数的图像经过原点；②该二次函数的图像开口向下；③当时，随着的增大而增大；④该二次函数的图像经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
10．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为 ．
12．有四个解，则的取值范围是 ．
13．已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．

14．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线，当y小于0时，自变量x的取值范围是 ．
15．如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ．
三、解答题
16．已知二次函数．
(1)将二次函数化成顶点式；
(2)求图像与轴，轴的交点坐标．
17．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线交抛物线于点，，为正数．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围．
18．已知二次函数．

(1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出：
①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
②当时，函数值y的取值范围．
19．如图，抛物线与直线相交于点和，抛物线还经过，

(1)求：抛物线和直线的解析式；
(2)若，则x的取值范围是______．
20．已知抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)当，时，求抛物线的顶点的坐标；
(2)求抛物线与轴的另一个交点的坐标（用含，的式子表示）；
(3)若直线经过点且与抛物线交于另一点，求抛物线的解析式．
21．已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线．
(1)求b和c的值．
(2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由．
(3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比．
参考答案
1．B
【分析】根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；
【详解】解：观察表格中的、的值，可知、是对称点，
抛物线的对称轴是直线，
点，，是抛物线上不同的两点，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．
2．D
【分析】根据二次函数的图像开口方向，对称轴位置，二次函数的图像与轴交点位置判断A，根据二次函数的图像与轴交点个数可得，从而判断B，由可得点坐标为，从而判断C和D．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，
∴，
∵二次函数的图像的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∵二次函数的图像与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴有个交点，
∴，
∴，故B选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，，
∵，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，故D选项符合题意；
∵，
∴，
即，故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，函数图像上点的坐标特殊．解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
3．C
【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，
∵，
∴图象开口向上，
∵，
∴或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．
4．B
【分析】由表格信息可得当时，；当时，，再比较，0.24哪个更接近0即可解答．
【详解】解：当时，；当时，，
∵0.24更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点坐标，一元二次方程的近似解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
5．A
【分析】根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是，又时，图象在x轴下方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：由图象可知，
当时，的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用.
6．A
【分析】画出二次函数的图象，根据图象即可求解．
【详解】解：如图

由上图得：
当时，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式问题，画出图象，会利用图象解决问题是解题的关键．
7．D
【分析】首先联立求出二次函数与一次函数的交点坐标，然后根据点的纵坐标满足，且m，n都为整数得到，然后分别代入，，求解即可．
【详解】联立二次函数与一次函数
得，
解得，
∵的纵坐标满足，且m，n都为整数，
∴，
∴当时，，
∴点P的坐标为或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或．
综上所述，这样的点P可以为或或或或或或，共7个，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出二次函数与一次函数的交点坐标．
8．C
【分析】观察函数图象可对①进行判断；观察轴上方函数图象可知自变量取值范围，对②进行判断；根据函数图象与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求表达式，对③进行判断；观察图象根据二次函数的性质对④进行判断．
【详解】解：①观察图象可知是函数图象的对称轴，故结论符合题意；
②观察图象可知函数图象开口向下，与轴交点为，，
因此时，，故结论不符合题意；
③由可知，
函数图象与轴交点为，对称轴为，
，，
，
，故结论符合题意；
④观察图象可知当时，随的增大而增大，故结论符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的性质，待定系数法求二次函数表达式，学会观察函数图象，利用数形结合思想是解决本题的关键．
9．D
【分析】结合图表可以得出当或时，，当时，，根据此三点可求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由图表可以得出当或时，；当时，；
即，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
∵图表可以得出图象经过点，
故二次函数的图像经过原点；即①正确；
∵，
∴二次函数的图像开口向上，故②错误；
∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小，故③错误；
将代入，得，
∴二次函数的图像经过点，故④正确；
∵二次函数与轴有两个交点，，
∴有两个不相等的实数根，故正确；
综上，①④⑤说法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，根据二次函数图象确定一元二次方程解的情况，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
10．D
【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解．
【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为，
此抛物线与轴的两个交点坐标为，，
则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键．
11．
【分析】先令得一元二次方程并求解可得点，的坐标，令得的值从而可得点坐标，进一步由三角形面积公式可得结论．
【详解】解：对于
令，得，
解得：， ，
， ，
，
令，则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
12．
【分析】方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，作出直线与的图像，根据图像的交点情况即可解答．
【详解】解：方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，
如图，作函数的图像和直线的图像，
由有四个解，则直线的图像与的图像应有四个交点，
∴当时，有4个交点，即有四个解．

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数图像与方程的解，根据直线与函数图像交点的个数得到方程解的个数．掌握数形结合的数学思想是解答本题的关键．
13．
【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可．
【详解】解：由图象可知，
当时，函数值的取值范围，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
14．
【分析】通过对称轴为可得，再根据图象即可解答．
【详解】解：由二次函数（a为常数），
∵当时，或，
∴,
解得：，
当y小于0时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．
15．
【分析】根据梯形面积求出，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简即可得到答案；
【详解】四边形是梯形，下底，高为3，
由，得，设，，
则，，
∵，
∴．
∴．∴①，
又顶点纵坐标②，
①÷②，得，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数的性质．
16．(1)
(2)与轴交于点，与轴交于点，
【分析】（1）用配方法化成顶点式即可；
（2）当时，求出，当时，求出，，即可得二次函数与坐标轴的交点坐标．
【详解】（1）解：
；
（2）当时，，
与轴交于点，
当时，，
，．
与轴交于点，．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式以及与坐标轴交点坐标，掌握配方法是解决此题的关键．
17．(1)，顶点坐标为
(2)，
【分析】（1）把代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；
（2）把，代入可求出m，n，求出点横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围．
【详解】（1）把代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为，
配方得：，
顶点坐标为．
（2）当时，，
即．
当时，，
解得，．
为正数，
，
．
∵，
∴开口向上，当时函数取得最小值为，
点在抛物线上且在直线的下方（不与点，重合），
．
∴当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，
．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．
18．(1)，图象见解析
(2)①或；②．
【分析】（1）将该函数一般式化为顶点式即得出其顶点坐标，再用描点法画出其图象即可；
（2）①求函数值y为正数时的自变量x的取值范围，即求图象位于x轴上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解；②根据图象可直接得出当时，函数值y的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴函数图象的顶点坐标为．
画出这个函数的图象如下，

（2）解：①由图象可知当函数值y为正数，即图象位于x轴上方时，x的取值范围为是或；
②由图象可知当时，函数值y的取值范围是．
【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标，画二次函数图象，图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键．
19．(1)，
(2)或
【分析】（1）将、、代入，将、代入，即可求解；
（2）根据在上方的函数图象对应的函数值较大，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式；
，
解得：，
直线的解析式；
（2）解：由图得
的图象在的图象上方所对应的取值范围：
或
故答案：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，根据交点求不等式的解集，掌握解法是解题的关键．
20．(1)抛物线的顶点的坐标是；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）由（1）知，，则．则利用根与系数的关系求得方程的两个根是，．从而求得抛物线与轴的交点；
（3）根据点和都在抛物线上知，即，求函数表达式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
．
把，代入上式，得．
解得．
．
抛物线的顶点的坐标是；
（2）解：由（1）知，，则．
则抛物线．
方程的两个根是，．
，
抛物线与轴的另一个公共点的坐标是；
（3）解：∵在抛物线上，由（2）知也在抛物线上，
，即，
，
①．
由得到顶点的坐标是．
把点代入直线解析式得：．
．
把代入，得．②
联立①、②并求解得：，或，．
．
，．
抛物线表达式为：．
．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．
21．(1)，；
(2)，理由见解析；
(3)2．
【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值；
（2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案；
（3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案．
【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴；
（2）解：当时，函数值y的取值范围为：；
理由：由（1）可知抛物线解析式为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为，
∵，
∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为
，
∴当时，函数值y的取值范围为：；
（3）解：联立得：，
整理得：，
设点A，B的横坐标分别为，
则，，
∴，
∵，
∴，即线段的长为，
联立得：，
整理得：，
设点C，D的横坐标分别为，
则，，
∴，
∵，
∴，即线段的长为，
∴线段与线段的长度之比为：．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键．
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