惠州市第一中学2019年创新班自主招生考试
数学卷
选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．下列命题错误的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 D．的算术平方根是9
【答案】D
【详解】
分别根据相关知识进行判断：
A、若，则，故此命题正确，不符合题意；
B．若，所以，则，故此命题正确，不符合题意；
C．根据菱形对角线互相垂直得出，依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故此命题正确，不符合题意；
D．∵， 9的算术平方根是3，故此命题错误，符合题意．
故选D．
2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
【答案】C
【详解】
解：根据题意可得 且，
解得且 ．
故选：C．
3.化简的结果是（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】A
【详解】
原式=.
故选：A
4.如图为二次函数的图象，则下列说法：① ②
③ ④当时，，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
抛物线的开口向下，所以，故①错误；
因为对称轴为，所以，化简得，故②正确；
由图可知，当时，，即，故③正确；
由图可知，当时，，故④正确.
故选：C
5．箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
画树状图如下：
由树状图可知，共有24种等可能的结果，第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的有8种结果，∴第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率为.
故选：B
6．如图是“沃尔玛”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）
A．22元 B．23元 C．24元 D．26元
【答案】C
【详解】
解：设洗发水的原价为x元，由题意得：
x=19.2，解得：x=24．
故选：C．
7．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）
【答案】D
【详解】
解：∵为反比例函数图象上的两点，
∴，
∵动点在x轴的正半轴上运动，，
∴延长交x轴于点，当点P在点时，达到最大值，
设直线的函数解析式为，
，得，
∴直线的函数解析式为，
当y＝0时，x＝，
∴当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（，0），
故选：D．
8．如图，，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据折叠的性质可知∶
CD=AC=3，，∠ACE=∠DCE，，CE⊥AB，
∴，∠DCE+=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°， ∴∠ECF=45°， ∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°， ∴∠BFC==135°， ∴，
∵S△ABC=AC BC=AB CE， ∴AC BC=AB CE，
∵根据勾股定理求得AB=5， ∴CE= ，
∴EF=，， ∴DF=EF-ED=，
∴． ∴，
故选：B．
二、填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
9.求值： _______.
【答案】
【详解】
.
故答案为：
10．已知、是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为________．
【答案】
【详解】
∵是关于的一元二次方程的两个解,∴，
∵，∴即，解得.
故答案为：
11．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【详解】
如图所示，连接AC，
∵CD与⊙A相切，
∴CD⊥AC，
在平行四边形ABCD中，
∵AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC，∴BA⊥AC，
∵AB＝AC∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD∥BC，∴∠FAE＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，
∴，∴的长度＝，解得R＝2，
∴S阴影＝S△ACD S扇形＝×22 ＝2 ．
故答案为：2 ．
12.设，，且，则_____.
【答案】-32
【详解】
因为，所以，即，
又，所以可设为方程的两根，
则，，
可得，，
所以
故答案为：-32
13．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】
，
由①得，，由②得，，
∵此不等式组无解，∴
故答案为：
14．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算=_______．
【答案】
【详解】
因为 ，
所以
.
故答案为：.
15.不论为何值时，直线的图象恒过定点______.
【答案】
【详解】
直线可化为，
由，得，所以定点为.
故答案为：
16.在实数范围内分解因式：________.
【答案】
【详解】
.
故答案为：
17． 惠州一中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，高一创新实验班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问高一创新实验班有多少人？________．
【答案】36
【详解】
设最初篮球小组人，参加排球小组人，
∵篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等
∴篮球小组中男生，女生，排球小组男女生人数都是
∵有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，
∴,解得：
∵排球小组女生人数比男生人数少四分之一
∴,解得：
∴高一创新实验班有22+14=36人。
故答案为：36
18.已知二次函数的图象过点，则_____.
【答案】-12
【详解】
由题，得，②-①得，③-②得，代入，得，再代入①，可得，所以.
故答案为：-12
19.已知实数满足，则_____.
【答案】10
【详解】
，解得，
.
20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为___．
【答案】
【详解】连结AE，如图1，
∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=，∴AB=AC=4，
∵AD为直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的O上，
∵O的半径为2，
∴当点O、E. C共线时,CE最小,如图2
在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，
∴OC=，
∴CE=OC OE=2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2.
故答案为:2﹣2.
三、解答题（共6小题，满分70分）
21．若正数，满足，求的最小值．（10分）
【答案】
【详解】 因为，所以，所以
.
设，则，
当时取得等号.
所以，，.
因此，当，时，取得最小值
22．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1，2，…… ，规则是：第1个数是1，其后写1个2，第3个数是1，其后写2个2，……，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k＋1个1之间插入k个2（k＝1，2，3,……）.
试问：（1）第2006个数是1还是2？
（2）前2006个数的和是多少？前2006个数的平方和是多少？
（3）前2006个数两两乘积的和是多少？
【答案】
【详解】（1）把该列数如下分组：
1 第1组
2 1 第2组
2 2 1 第3组
2 2 2 1 第4组
2 2 2 2 1 第5组
-------
2 2 2 2 2 1 第n组 (有n-1个2)，
前n行共有数字个数为1+2+3+…+n=，
由于n=62时，数字个数为1953个，
所以可知，第2006个数为第63组的第53个数，是2；
（2）前2006个数的和为，
前2006个数的平方和是 ；
（3）记这2006个数为，
记，，
，
=，
.
23.某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行队列，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有多少人？
【详解】
设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人，5人，4人一列分别可以整排列，则（是正整数）
所以，
由②得.
因为c为正整数，可令，所以③（m是正整数），将③代入①，得，所以.
因为b为正整数，可令，所以④（n为正整数），
将④代入③中，得，
所以（n为正整数）
所以，当时，y有最小值52，故参加健身操比赛的职工至少有52人.
24．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）．
【详解】易知，这32人恰好是第2至第33层各住一人，对于每个乘电梯上、下梯的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数．
事实上，设住s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，且，交换两人上楼方式，其余人不变，则不满意总分不增．现分别证明如下：设电梯停在第x层，
①当时，若住在第s层的坐电梯，住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则两者不满意总分为，两者相等；
②当时，若住s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两人不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多；
③当时，若住s层的人乘电梯，住t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者的不满意总分为，前者比后者多．
今设电梯停在第x层，设有y人直接走楼梯上楼，则，那么不满意总分为．
当，时，，所以，当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）请在轴上找一点，使的周长最小，找出点的坐标；
（3）试探究：在抛物线上是否存在点，使以点为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符号条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
即，，解得，
抛物线解析式为：；
令，得点，
设直线AC的解析式为，代入得，
，解得，所以直线AC的解析式为；
（2）解：，
顶点的坐标为，
作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图1，则，
，
，此时的值最小，
而的值不变，
此时的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入解析式得：
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：存在，
过点作的垂线交抛物线于另一点，如图2，
抛物线与轴交于点，
当时，，
点，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线解析式为：，
把代入得：，
直线解析式为，
解方程组，
解得或，
则此时点坐标为；
过点作的垂线交抛物线于另一点，
则直线的解析式可设为，
把代入得，解得，
直线的解析式为：，
解方程组，
解得或，
则此时点坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为：或．
26.如图，中的中点为，弦分别交与两点.
（1）若，求的大小；
（2）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明：.
（1）连接PB，BC，则，.
因为，所以，又，
所以，又，，
所以，因此.
（2）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此.惠州市第一中学2019年创新班自主招生考试
数学卷
选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．下列命题错误的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 D．的算术平方根是9
2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
3.化简的结果是（ ）
A.1 B. C. D.
4.如图为二次函数的图象，则下列说法：① ②
③ ④当时，，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是 ( )
A． B． C． D．
6．如图是“沃尔玛”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）
A．22元 B．23元 C．24元 D．26元
7．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）
8．如图，，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
9.求值： _______.
10．已知、是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为________．
11．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____．
12.设，，且，则_____.
13．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是______．
14．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算=_______．
15.不论为何值时，直线的图象恒过定点______.
16.在实数范围内分解因式：________.
17． 惠州一中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，高一创新实验班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问高一创新实验班有多少人？________．
18.已知二次函数的图象过点，则_____.
19.已知实数满足，则_____.
20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为___．
三、解答题（共6小题，满分70分）
21．若正数，满足，求的最小值．（10分）
22．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1，2，…… ，规则是：第1个数是1，其后写1个2，第3个数是1，其后写2个2，……，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k＋1个1之间插入k个2（k＝1，2，3,……）.
试问：（1）第2006个数是1还是2？
（2）前2006个数的和是多少？前2006个数的平方和是多少？
（3）前2006个数两两乘积的和是多少？
23.某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行队列，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有多少人？
24．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）请在轴上找一点，使的周长最小，找出点的坐标；
（3）试探究：在抛物线上是否存在点，使以点为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符号条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
26.如图，中的中点为，弦分别交与两点.
（1）若，求的大小；
（2）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明：.
