第三章 函数概念与性质 章末检测试题（含解析）

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第三章 函数的概念与性质章末检测试题（解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A.y=x+1与 B. 与
C. 与 D.与
3.函数的图象是
4.若函数满足，则 ( )
A. B. C. D.
5.函数的图像（ ）.
A.关于轴对称 B.关于直线对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线对称
6.已知幂函数y=(m2-3m-3)是偶函数，则实数m的值是（ ）.
A.4 B.-1 C. D.4或-1
7.某手机生产线的年固定成本为万元，每生产千台需另投入成本万元．当年产量不足千台时，万元；当年产量不小于千台时，万元，每千台产品的售价为万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为( )千台时，该厂当年的利润最大.
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
8.设函数的图像关于轴对称，又已知在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列说法中正确的有（ ）
A.若任意，当时，，则在上为减函数；
B.函数在上是增函数； C.函数在定义域上是增函数；
D.函数的单调递减区间是(-∞，0）和（0，+∞）
10.已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在区间上单调递减
C．的最大值为 D．的最小值为
11.设函数，则（ ）
A．存在实数a，使f(x)的定义域为R
B．若函数f(x)在区间[0，+∞）上递增，则a∈[-1,0]
C．函数f(x)一定有最小值 D．对任意的负实数a，f(x)的值域为[0，+∞）
12.华为通信技术对未来的移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等会起着巨大作用，其编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，已知定义在上不恒为的函数，对任意有：且满足，则（ ）
A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，那么___________．
14.设函数的图像关于y轴对称，且其定义域为[a-1,2a](a,b∈R)，则函数在x∈[a-1,2a]上的值域为 .
15.若和是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则的解析式为 .
16.知函数f(x)=若存在a,b∈R,且a≠b,使得f(a)=f(b)成立,则实数k的取值范围是　　　　 .
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分亲，18题、19题、20题、21题、23题满分各12分.
17.（本题满分10分）
已知函数（，为常数）满足，方程有唯一实数解，求：
（1）函数的解析式；
（2）函数的定义域.
18.（本题满分12分）
已知函数.
(1)求的定义域和值域；
(2)判断与的关系，并证明.
19.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f（）＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
20.（本题满分12分）
已知幂函数在上是单调递减函数.
(1)求的值；
(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
21.（本题满分12分）
某城市的供电部门规定，每户每月用电不超过200度时，收费标准为0.51元度；当用电量超过200度，但不超过400度时，超过200度的部分按0.8元度收费；当用电量超过400度时就停止供电．
（1）写出每月电费y（元）与用电量x（度）之间的关系式；
（2）某居民用户某月缴电费182元，问该居民用了多少度电？
22.（本题满分12分）
设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使函数有意义，必有
解得 ,故选A.
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A.y=x+1与 B. 与
C. 与 D.与
【答案】D
【解析】A,B,C中f(x)与g(x)的定义域不同，对D选项，f(x)=|x|,定义域为{x∈R|x≠0},而f(t)=|t|,定义域为{t∈R|t≠0},故选D.
3.函数的图象是
【答案】C
【解析】f(x)=,故选C.
4.若函数满足，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 令2x-1=t,则x=,f(t)=,f(3)=,故选B．
5.函数的图像（ ）.
A.关于轴对称 B.关于直线对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线对称
【答案】C
【解析】因为对于 x∈R,-x∈R,f(-x)=(-x)5+(-x)3+(-x)=-x5-x3-x=-f(x),则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.故选C.
6.已知幂函数y=(m2-3m-3)是偶函数，则实数m的值是（ ）.
A.4 B.-1 C. D.4或-1
【答案】A
【解析】已知函数是幂函数，则，解得或.
当时，不是偶函数；
当时，是偶函数.
综上，实数m的值是4.故选A.
7.某手机生产线的年固定成本为万元，每生产千台需另投入成本万元．当年产量不足千台时，万元；当年产量不小于千台时，万元，每千台产品的售价为万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为( )千台时，该厂当年的利润最大.
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
【答案】C
【解析】当08.函数的图像关于轴对称，又已知在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B　
【解析】因为函数f(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x),则不等式等价于,即.当x>0,f(x)<0,又已知f(x)在(0,+∞)上为减函数，且f(1)=0,所以f(x)<0=f(1),即x>1;当x<0,-x>0,即为f(x)>0,f(-x)>0=f(1),所以0<-x<1,则-1选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列说法中正确的有（ ）
A.若任意，当时，，则在上为减函数；
B.函数在上是增函数； C.函数在定义域上是增函数；
D.函数的单调递减区间是(-∞，0）和（0，+∞）
【答案】AD
【解析】A选项时减函数定义的变形；函数y=x2在（-∞，0）上是减函数，所以B错误；函数y=在(-∞，0）和（0，+∞）上分别是递增的，但在整个定义域上不是增函数；函数有两个递减区间，分别是(-∞，0）和（0，+∞）.故选AD.
10.已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在区间上单调递减
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】由于函数f(x)的定义域[-1,2]不关于原点对称，A错误；
当0≤x≤2,f(x)=-x2+x=-(x-)2+,f(x)在[,1]单调递减，B正确；显然C正确；
因为f(-1)=0,f(0)=0,f(2)=-2,所以f(x)的最小值为-2，D正确.
故选BCD.
11.设函数，则（ ）
A．存在实数a，使f(x)的定义域为R
B．若函数f(x)在区间[0，+∞）上递增，则a∈[-1,0]
C．函数f(x)一定有最小值 D．对任意的负实数a，f(x)的值域为[0，+∞）
【答案】ABG
【解析】因为f(x)=,当a=-时，f(x)=,其定义域为R,所以A正确；当a=-1时，f(x)在定义域[-1,+∞）为增函数,当a≠-1时，若函数f(x)在区间[0，+∞）上递增，则[0，+∞） [+∞）,即,解得-112.华为通信技术对未来的移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等会起着巨大作用，其编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，已知定义在上不恒为的函数，对任意有：且满足，则
A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数
【答案】AD
【解析】由题意可知：，
令，则，
令则，即，
令则即
令，则
也即， 所以函数为奇函数，
故选
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，那么___________．
【答案】2
【解析】由题意得f(3)=f(7)=2
设函数的图像关于y轴对称，且其定义域为[a-1,2a](a,b∈R)，则函数在x∈[a-1,2a]上的值域为 .
【答案】[-3,-]
【解析】因为f(x)的图象关于y轴对称，且其定义域为[a-1,2a](a,b∈R),则a-1+2a=0,b+3=0,解得a=,b=-3,f(x)=3x2-3,x∈[-,]，f(x)min=f(0)=-3,f(x)max=f(-)=f()=-,则f(x)的值域为[-3,-].
15.若和是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则的解析式为 .
【答案】
【解析】 ①， 因为是奇函数，是偶函数，
所以， ②．
由①、②解得
故答案为
16.知函数f(x)=若存在a,b∈R,且a≠b,使得f(a)=f(b)成立,则实数k的取值范围是　　　　 .
【答案】k<2或k>3.．
【解析】依题意,在定义域内, f(x)不是单调函数.
易知f(x)=2x2,x>1为增函数,且x=1时,2x2=2.
则<1或-1+k>2,解得k<2或k>3.
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分，18题、19题、20题、21题、22题满分各12分.
17.已知函数（，为常数）满足，方程有唯一实数解，求：
（1）函数的解析式；
（2）函数的定义域.
【答案】（1） （2）
【解析】 (1），，即①.又方程有唯一实数解，，整理得.，解得.将代入①式得，.
（2）要使函数式有意义，则，，即函数的定义域为.
18.已知函数.
(1)求的定义域和值域；
(2)判断与的关系，并证明.
【答案】（1）定义域为,值域为;
（2）(证明见解析）．
【解析】（1）由，解得，
所以函数的定义域为；
若，；
若，，
当时，，则，
所以；
当时，，则，
所以，
综上，函数的值域为；
2），证明如下：
因为，
所以，，
所以.
19.已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f（）＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
【答案】(1)f(x)＝,(2)详见解析
【解析】(1)由题意，得∴
故f(x)＝.
(2)任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－10,1＋x>0.
又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
20.已知幂函数在上是单调递减函数.
(1)求的值；
(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)-2；(2)a≥0.
【解析】（1）因为幂函数在上是单调递减函数，
则，解得，，因此，.
（2）由（1）可得，对任意的，恒成立，
可得，
令，其中，则函数在上单调递减，
所以，，故.
21.某城市的供电部门规定，每户每月用电不超过200度时，收费标准为0.51元度；当用电量超过200度，但不超过400度时，超过200度的部分按0.8元度收费；当用电量超过400度时就停止供电．
（1）写出每月电费y（元）与用电量x（度）之间的关系式；
（2）某居民用户某月缴电费182元，问该居民用了多少度电？
【答案】⑴y=；⑵300度.
【解析】(1)由题意： 当0≤x≤200时，y=0.51x ；
当200则y=
（2）∵102<182∴小李家在6月份的用电量在(200，400)之间，
∴102 + 0.8(x-200)=182；解得x=300（度）；
故小李家在6月份的用电量为300度．
22.设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
【答案】略
【解析】(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),∴g(-2-x)=.
∴g(x)+g(-2-x)=+=10.
即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立.∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.
(2)g(x)==5-,易知g(x)在上单调递增,∴g(x)在x∈上的值域为[-1,4].
记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.
若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈使得h(x1)=g(x2)成立,则A [-1,4]. (5分)
∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2).
①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,∴函数h(x)在[0,2]上单调递增.
易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,
∴h(2)=3-m,则A=[m+1,3-m].
由A [-1,4],得解得-1≤m≤0.
②当0<<1,即021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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