人教A版（2019） 必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1．（2020高一上·合肥期末）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
故
又
即
由 ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据 ，先求出 ，利用二倍角公式可以解出结果.
2．（2020高三上·鹤岗月考）已知 为锐角， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵ 为锐角， ，∴ ，
则 ，
∴ .
故答案为：D
【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得 ，再根据两角和正切公式求结果.
3．（2020高三上·南昌月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据题中条件，根据诱导公式，以及二倍角的余弦公式，和同角三角函数基本关系，直接化简求解，即可得出结果.
4．（2020高三上·福州期中）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 ，
得 ，
则 ，
故答案为：D.
【分析】先利用诱导公式可得 ，再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.
5．（2020高二上·内蒙古期中）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，即 ，
，解得 或 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】本题首先可根据 、 以及同角三角函数关系得出 以及 ，然后根据二倍角公式对 进行化简即可得出 的值．
6．（2020高一下·奉化期中）下列四个等式：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的等式个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】①因为 ，
所以 ，
所以 ；故正确；
② ，故错误；
③ ，故错误；
④ ，
，故正确.
故答案为：B
【分析】①利用两角和的正切公式判断.②利用二倍角的正切公式判断.③利用二倍角余弦公式判断.④先通分，得到 ，再分子用两角差的正弦公式化简，分母用二倍角正弦公式化简即可.
7．（2020·湛江模拟）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，且 ，
，解得 ．又 ，
．
， ，
．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件以及 ，解得 ，再利用二倍角公式即可化简求得结果.
8．（2020高一下·吉林期中）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以
所以 .
故答案为：A.
【分析】对 两边平方，可得 ，进而可得 ，再根据 ，可知 ，由此即可求出结果.
二、多选题
9．（2020高三上·大东月考）若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】设 ， ， ，故 .
故答案为：BD.
【分析】设 ，直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式。即可得到答案。
10．（2020高三上·湖南月考）下列各式的值计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：对于A选项，因为 ，所以A不符合题意；
对于B选项，因为 ，所以B不符合题意；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以 ，所以C符合题意；
对于D选项，因为 ，所以D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.
11．（2020高一下·徐州期中）下列各式中，值为 的是（ ）
A．2sin15°cos15° B．
C．1﹣2sin215° D．
【答案】B,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：对于A，2sin15°cos15°＝sin30 ；
对于B， ；
对于C，1﹣2sin215°＝cos30 ；
对于D， .
∴值为 的是BCD.
故答案为：BCD.
【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.
12．（2020·青岛模拟）已知函数 ， ，则（ ）
A．
B． 在区间 上只有1个零点
C． 的最小正周期为
D． 为 图象的一条对称轴
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：已知函数 ， ，
则 、 正确，
、当 ， ，即 ， ， 在区间 上只有2个零点，
则 在区间 上只有1个零点错误，
、 的最小正周期为 ，正确
、当 时，函数 ， ，
所以 为 图象的一条对称轴，正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
三、填空题
13．（2020高三上·邢台月考）已知 ，则 ； .
【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由 ，
又 ，
得 ，
，
；
故答案为： ； .
【分析】利用诱导公式可求得 即可得出结果；利用诱导公式 ，再利用二倍角公式即可得出结果.
14．（2020高三上·长春开学考）若角 的终边经过点 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵角α的终边经过点P（1，-2），∴tanα=-2 tan2α= = 。
【分析】利用正切函数的定义结合二倍角的正切公式，从而求出 的值。
15．（2020高三上·天津月考）已知 ， ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，两边平方，
可得 ， ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据 得到 ， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求 ， 的值，然后利用二倍角公式化简求解.
16．（2020高三上·上海期中）函数 的最小正周期是 ．
【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以函数的最小正周期为 ．
故答案为：π．
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．
17．（2020高三上·大庆期中）已知 ，则 .
【答案】2或-1
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 或 ，
当 时，可得： ， ，
当 时，可得 ， ，
故答案为：2或-1
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合同角的三角函数关系式、两角和的正切公式进行求解即可.
18．（2020高三上·扬州月考）函数 的最小值等于 ．
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】由 ，化简 ，即可得解.
四、解答题
19．（2020高一下·荆州期末）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：由
所以 ．
则
（2）解：因为 ， ．
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)利用题意可知 ，结合两角和差正余弦公式可得 ．(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.
20．（2020高一下·抚顺期末）已知 ，其中 为锐角，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：化简 得： ，又因为 ，且 为锐角，所以可得： .
且由 可得： .
（2）解：因为 ;
所以
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）化简已知条件得 ，再与 且 为锐角联立解方程可得： ,再通过诱导公式化简并代入 与 的值即可求得答案；（2）通过二倍角公式化简并代入 即可求得答案.
21．（2020高一上·合肥期末）已知角 满足 ，求下列各式的值：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
【答案】解：由题意知 ,得 .
（Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
.
（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得 的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为 ,即可求解.（Ⅱ）将原式变形为齐次式, ,即可变形求解.
22．（2020高二上·莆田月考）已知 .
（1）若 ， ，求α的值；
（2）若 ， ，求f(x)的值.
【答案】（1）解：由题意有 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以
（2）解：因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先化简函数并根据题意建立方程 ，再结合 ，求 的值；（2）先根据已知求出 ，再根据二倍角公式求 ， ，最后代入求 .
23．（2020高一下·沈阳期末）求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
【知识点】弦切互化；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可.
24．（2020高一下·郑州期末）已知α，β为锐角， .
（1）求cos2α的值；
（2）求tan(β-α)的值.
【答案】（1）解：由 ，
得 ；
（2）解：由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），
又∵ ，
∴ ， ，
由 ，得 .
则 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，转化为齐次式求值；（2）先根据二倍角正切公式得 ，再利用两角差的正切公式得结果.
1 / 1人教A版（2019） 必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1．（2020高一上·合肥期末）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020高三上·鹤岗月考）已知 为锐角， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2020高三上·南昌月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2020高三上·福州期中）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·内蒙古期中）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·奉化期中）下列四个等式：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的等式个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2020·湛江模拟）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2020高一下·吉林期中）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高三上·大东月考）若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高三上·湖南月考）下列各式的值计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2020高一下·徐州期中）下列各式中，值为 的是（ ）
A．2sin15°cos15° B．
C．1﹣2sin215° D．
12．（2020·青岛模拟）已知函数 ， ，则（ ）
A．
B． 在区间 上只有1个零点
C． 的最小正周期为
D． 为 图象的一条对称轴
三、填空题
13．（2020高三上·邢台月考）已知 ，则 ； .
14．（2020高三上·长春开学考）若角 的终边经过点 ，则 的值为 ．
15．（2020高三上·天津月考）已知 ， ，则 的值为 .
16．（2020高三上·上海期中）函数 的最小正周期是 ．
17．（2020高三上·大庆期中）已知 ，则 .
18．（2020高三上·扬州月考）函数 的最小值等于 ．
四、解答题
19．（2020高一下·荆州期末）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
20．（2020高一下·抚顺期末）已知 ，其中 为锐角，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
21．（2020高一上·合肥期末）已知角 满足 ，求下列各式的值：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
22．（2020高二上·莆田月考）已知 .
（1）若 ， ，求α的值；
（2）若 ， ，求f(x)的值.
23．（2020高一下·沈阳期末）求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
24．（2020高一下·郑州期末）已知α，β为锐角， .
（1）求cos2α的值；
（2）求tan(β-α)的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
故
又
即
由 ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据 ，先求出 ，利用二倍角公式可以解出结果.
2．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵ 为锐角， ，∴ ，
则 ，
∴ .
故答案为：D
【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得 ，再根据两角和正切公式求结果.
3．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据题中条件，根据诱导公式，以及二倍角的余弦公式，和同角三角函数基本关系，直接化简求解，即可得出结果.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 ，
得 ，
则 ，
故答案为：D.
【分析】先利用诱导公式可得 ，再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，即 ，
，解得 或 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】本题首先可根据 、 以及同角三角函数关系得出 以及 ，然后根据二倍角公式对 进行化简即可得出 的值．
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】①因为 ，
所以 ，
所以 ；故正确；
② ，故错误；
③ ，故错误；
④ ，
，故正确.
故答案为：B
【分析】①利用两角和的正切公式判断.②利用二倍角的正切公式判断.③利用二倍角余弦公式判断.④先通分，得到 ，再分子用两角差的正弦公式化简，分母用二倍角正弦公式化简即可.
7．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，且 ，
，解得 ．又 ，
．
， ，
．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件以及 ，解得 ，再利用二倍角公式即可化简求得结果.
8．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以
所以 .
故答案为：A.
【分析】对 两边平方，可得 ，进而可得 ，再根据 ，可知 ，由此即可求出结果.
9．【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】设 ， ， ，故 .
故答案为：BD.
【分析】设 ，直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式。即可得到答案。
10．【答案】C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：对于A选项，因为 ，所以A不符合题意；
对于B选项，因为 ，所以B不符合题意；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以 ，所以C符合题意；
对于D选项，因为 ，所以D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.
11．【答案】B,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：对于A，2sin15°cos15°＝sin30 ；
对于B， ；
对于C，1﹣2sin215°＝cos30 ；
对于D， .
∴值为 的是BCD.
故答案为：BCD.
【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.
12．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：已知函数 ， ，
则 、 正确，
、当 ， ，即 ， ， 在区间 上只有2个零点，
则 在区间 上只有1个零点错误，
、 的最小正周期为 ，正确
、当 时，函数 ， ，
所以 为 图象的一条对称轴，正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
13．【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由 ，
又 ，
得 ，
，
；
故答案为： ； .
【分析】利用诱导公式可求得 即可得出结果；利用诱导公式 ，再利用二倍角公式即可得出结果.
14．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵角α的终边经过点P（1，-2），∴tanα=-2 tan2α= = 。
【分析】利用正切函数的定义结合二倍角的正切公式，从而求出 的值。
15．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，两边平方，
可得 ， ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据 得到 ， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求 ， 的值，然后利用二倍角公式化简求解.
16．【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以函数的最小正周期为 ．
故答案为：π．
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．
17．【答案】2或-1
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 或 ，
当 时，可得： ， ，
当 时，可得 ， ，
故答案为：2或-1
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合同角的三角函数关系式、两角和的正切公式进行求解即可.
18．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】由 ，化简 ，即可得解.
19．【答案】（1）解：由
所以 ．
则
（2）解：因为 ， ．
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)利用题意可知 ，结合两角和差正余弦公式可得 ．(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.
20．【答案】（1）解：化简 得： ，又因为 ，且 为锐角，所以可得： .
且由 可得： .
（2）解：因为 ;
所以
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）化简已知条件得 ，再与 且 为锐角联立解方程可得： ,再通过诱导公式化简并代入 与 的值即可求得答案；（2）通过二倍角公式化简并代入 即可求得答案.
21．【答案】解：由题意知 ,得 .
（Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
.
（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得 的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为 ,即可求解.（Ⅱ）将原式变形为齐次式, ,即可变形求解.
22．【答案】（1）解：由题意有 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以
（2）解：因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先化简函数并根据题意建立方程 ，再结合 ，求 的值；（2）先根据已知求出 ，再根据二倍角公式求 ， ，最后代入求 .
23．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
【知识点】弦切互化；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可.
24．【答案】（1）解：由 ，
得 ；
（2）解：由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），
又∵ ，
∴ ， ，
由 ，得 .
则 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，转化为齐次式求值；（2）先根据二倍角正切公式得 ，再利用两角差的正切公式得结果.
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