【精品解析】人教A版(2019) 必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式

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名称 【精品解析】人教A版(2019) 必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2020-12-31 11:31:29

文档简介

人教A版(2019) 必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1.(2020高一上·合肥期末)若 , ,则 (  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解:



由 ,
解得: .
故答案为:B.
【分析】根据 ,先求出 ,利用二倍角公式可以解出结果.
2.(2020高三上·鹤岗月考)已知 为锐角, ,则 (  )
A. B. C.2 D.3
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵ 为锐角, ,∴ ,
则 ,
∴ .
故答案为:D
【分析】先利用半角公式(或二倍角公式)求得 ,再根据两角和正切公式求结果.
3.(2020高三上·南昌月考)若 ,则 (  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;诱导公式
【解析】【解答】因为 ,
所以 .
故答案为:B.
【分析】根据题中条件,根据诱导公式,以及二倍角的余弦公式,和同角三角函数基本关系,直接化简求解,即可得出结果.
4.(2020高三上·福州期中)若 ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 ,
得 ,
则 ,
故答案为:D.
【分析】先利用诱导公式可得 ,再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.
5.(2020高二上·内蒙古期中)已知 , ,则 等于(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 , ,
所以 ,即 ,
,解得 或 ,
因为 ,所以 , ,
所以 , , , ,
因为 ,所以 , ,
解得 ,
故答案为:D.
【分析】本题首先可根据 、 以及同角三角函数关系得出 以及 ,然后根据二倍角公式对 进行化简即可得出 的值.
6.(2020高一下·奉化期中)下列四个等式:
① ;② ;③ ;④ .
其中正确的等式个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式;两角和与差的正切公式;二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】①因为 ,
所以 ,
所以 ;故正确;
② ,故错误;
③ ,故错误;
④ ,
,故正确.
故答案为:B
【分析】①利用两角和的正切公式判断.②利用二倍角的正切公式判断.③利用二倍角余弦公式判断.④先通分,得到 ,再分子用两角差的正弦公式化简,分母用二倍角正弦公式化简即可.
7.(2020·湛江模拟)已知 , ,则 (  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ,且 ,
,解得 .又 ,

, ,

故答案为:D.
【分析】根据已知条件以及 ,解得 ,再利用二倍角公式即可化简求得结果.
8.(2020高一下·吉林期中)若 ,且 ,则 的值是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
又 ,所以
所以 .
故答案为:A.
【分析】对 两边平方,可得 ,进而可得 ,再根据 ,可知 ,由此即可求出结果.
二、多选题
9.(2020高三上·大东月考)若 ,则 的值可能为(  )
A. B. C. D.
【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】设 , , ,故 .
故答案为:BD.
【分析】设 ,直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式。即可得到答案。
10.(2020高三上·湖南月考)下列各式的值计算正确的是(  )
A.
B.
C.
D.
【答案】C,D
【知识点】两角和与差的正切公式;二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解:对于A选项,因为 ,所以A不符合题意;
对于B选项,因为 ,所以B不符合题意;
对于C选项,因为 ,所以 ,
所以 ,所以C符合题意;
对于D选项,因为 ,所以D符合题意.
故答案为:CD.
【分析】根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.
11.(2020高一下·徐州期中)下列各式中,值为 的是(  )
A.2sin15°cos15° B.
C.1﹣2sin215° D.
【答案】B,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】解:对于A,2sin15°cos15°=sin30 ;
对于B, ;
对于C,1﹣2sin215°=cos30 ;
对于D, .
∴值为 的是BCD.
故答案为:BCD.
【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.
12.(2020·青岛模拟)已知函数 , ,则(  )
A.
B. 在区间 上只有1个零点
C. 的最小正周期为
D. 为 图象的一条对称轴
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;正弦函数的性质
【解析】【解答】解:已知函数 , ,
则 、 正确,
、当 , ,即 , , 在区间 上只有2个零点,
则 在区间 上只有1个零点错误,
、 的最小正周期为 ,正确
、当 时,函数 , ,
所以 为 图象的一条对称轴,正确.
故答案为:ACD.
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可.
三、填空题
13.(2020高三上·邢台月考)已知 ,则    ;    .
【答案】;
【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式
【解析】【解答】由 ,
又 ,
得 ,


故答案为: ; .
【分析】利用诱导公式可求得 即可得出结果;利用诱导公式 ,再利用二倍角公式即可得出结果.
14.(2020高三上·长春开学考)若角 的终边经过点 ,则 的值为   .
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵角α的终边经过点P(1,-2),∴tanα=-2 tan2α= = 。
【分析】利用正切函数的定义结合二倍角的正切公式,从而求出 的值。
15.(2020高三上·天津月考)已知 , ,则 的值为   .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,两边平方,
可得 , ,
∴ .
故答案为: .
【分析】根据 得到 , 将已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系式可求 , 的值,然后利用二倍角公式化简求解.
16.(2020高三上·上海期中)函数 的最小正周期是   .
【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式;余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ,
所以函数的最小正周期为 .
故答案为:π.
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式,再利用余弦型函数的周期公式,即可求得函数的最小正周期.
17.(2020高三上·大庆期中)已知 ,则    .
【答案】2或-1
【知识点】两角和与差的正切公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 或 ,
当 时,可得: , ,
当 时,可得 , ,
故答案为:2或-1
【分析】利用二倍角的余弦公式,结合同角的三角函数关系式、两角和的正切公式进行求解即可.
18.(2020高三上·扬州月考)函数 的最小值等于   .
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值;二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为 ,
所以 ,
故答案为: .
【分析】由 ,化简 ,即可得解.
四、解答题
19.(2020高一下·荆州期末)已知 .
(1)求 的值;
(2)求 的值.
【答案】(1)解:由
所以 .

(2)解:因为 , .
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)利用题意可知 ,结合两角和差正余弦公式可得 .(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.
20.(2020高一下·抚顺期末)已知 ,其中 为锐角,
(1)求 的值;
(2)求 的值.
【答案】(1)解:化简 得: ,又因为 ,且 为锐角,所以可得: .
且由 可得: .
(2)解:因为 ;
所以
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)化简已知条件得 ,再与 且 为锐角联立解方程可得: ,再通过诱导公式化简并代入 与 的值即可求得答案;(2)通过二倍角公式化简并代入 即可求得答案.
21.(2020高一上·合肥期末)已知角 满足 ,求下列各式的值:
(Ⅰ) ;
(Ⅱ) .
【答案】解:由题意知 ,得 .
(Ⅰ)由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
.
(Ⅱ)由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(Ⅰ)根据正切和角公式,展开化简可求得 的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为 ,即可求解.(Ⅱ)将原式变形为齐次式, ,即可变形求解.
22.(2020高二上·莆田月考)已知 .
(1)若 , ,求α的值;
(2)若 , ,求f(x)的值.
【答案】(1)解:由题意有 ,
因为 ,所以 ,则 ,
又因为 ,所以
(2)解:因为 , ,所以 ,
所以 ,
所以
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)先化简函数并根据题意建立方程 ,再结合 ,求 的值;(2)先根据已知求出 ,再根据二倍角公式求 , ,最后代入求 .
23.(2020高一下·沈阳期末)求下列各式的值.
(1) ;
(2) .
【答案】(1)解:原式 ;
(2)解:原式
【知识点】弦切互化;两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式
【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简即可;(2)先切化弦,再利用两角差的正弦公式化简即可.
24.(2020高一下·郑州期末)已知α,β为锐角, .
(1)求cos2α的值;
(2)求tan(β-α)的值.
【答案】(1)解:由 ,
得 ;
(2)解:由α,β为锐角,得α+β∈(0,π),2α∈(0,π),
又∵ ,
∴ , ,
由 ,得 .
则 .
【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)根据同角三角函数基本关系式,转化为齐次式求值;(2)先根据二倍角正切公式得 ,再利用两角差的正切公式得结果.
1 / 1人教A版(2019) 必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单选题
1.(2020高一上·合肥期末)若 , ,则 (  )
A. B. C. D.
2.(2020高三上·鹤岗月考)已知 为锐角, ,则 (  )
A. B. C.2 D.3
3.(2020高三上·南昌月考)若 ,则 (  )
A. B. C. D.
4.(2020高三上·福州期中)若 ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
5.(2020高二上·内蒙古期中)已知 , ,则 等于(  )
A. B. C. D.
6.(2020高一下·奉化期中)下列四个等式:
① ;② ;③ ;④ .
其中正确的等式个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2020·湛江模拟)已知 , ,则 (  )
A. B. C. D.
8.(2020高一下·吉林期中)若 ,且 ,则 的值是(  )
A. B. C. D.
二、多选题
9.(2020高三上·大东月考)若 ,则 的值可能为(  )
A. B. C. D.
10.(2020高三上·湖南月考)下列各式的值计算正确的是(  )
A.
B.
C.
D.
11.(2020高一下·徐州期中)下列各式中,值为 的是(  )
A.2sin15°cos15° B.
C.1﹣2sin215° D.
12.(2020·青岛模拟)已知函数 , ,则(  )
A.
B. 在区间 上只有1个零点
C. 的最小正周期为
D. 为 图象的一条对称轴
三、填空题
13.(2020高三上·邢台月考)已知 ,则    ;    .
14.(2020高三上·长春开学考)若角 的终边经过点 ,则 的值为   .
15.(2020高三上·天津月考)已知 , ,则 的值为   .
16.(2020高三上·上海期中)函数 的最小正周期是   .
17.(2020高三上·大庆期中)已知 ,则    .
18.(2020高三上·扬州月考)函数 的最小值等于   .
四、解答题
19.(2020高一下·荆州期末)已知 .
(1)求 的值;
(2)求 的值.
20.(2020高一下·抚顺期末)已知 ,其中 为锐角,
(1)求 的值;
(2)求 的值.
21.(2020高一上·合肥期末)已知角 满足 ,求下列各式的值:
(Ⅰ) ;
(Ⅱ) .
22.(2020高二上·莆田月考)已知 .
(1)若 , ,求α的值;
(2)若 , ,求f(x)的值.
23.(2020高一下·沈阳期末)求下列各式的值.
(1) ;
(2) .
24.(2020高一下·郑州期末)已知α,β为锐角, .
(1)求cos2α的值;
(2)求tan(β-α)的值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解:



由 ,
解得: .
故答案为:B.
【分析】根据 ,先求出 ,利用二倍角公式可以解出结果.
2.【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵ 为锐角, ,∴ ,
则 ,
∴ .
故答案为:D
【分析】先利用半角公式(或二倍角公式)求得 ,再根据两角和正切公式求结果.
3.【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;诱导公式
【解析】【解答】因为 ,
所以 .
故答案为:B.
【分析】根据题中条件,根据诱导公式,以及二倍角的余弦公式,和同角三角函数基本关系,直接化简求解,即可得出结果.
4.【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 ,
得 ,
则 ,
故答案为:D.
【分析】先利用诱导公式可得 ,再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.
5.【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 , ,
所以 ,即 ,
,解得 或 ,
因为 ,所以 , ,
所以 , , , ,
因为 ,所以 , ,
解得 ,
故答案为:D.
【分析】本题首先可根据 、 以及同角三角函数关系得出 以及 ,然后根据二倍角公式对 进行化简即可得出 的值.
6.【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式;两角和与差的正切公式;二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】①因为 ,
所以 ,
所以 ;故正确;
② ,故错误;
③ ,故错误;
④ ,
,故正确.
故答案为:B
【分析】①利用两角和的正切公式判断.②利用二倍角的正切公式判断.③利用二倍角余弦公式判断.④先通分,得到 ,再分子用两角差的正弦公式化简,分母用二倍角正弦公式化简即可.
7.【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ,且 ,
,解得 .又 ,

, ,

故答案为:D.
【分析】根据已知条件以及 ,解得 ,再利用二倍角公式即可化简求得结果.
8.【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
又 ,所以
所以 .
故答案为:A.
【分析】对 两边平方,可得 ,进而可得 ,再根据 ,可知 ,由此即可求出结果.
9.【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】设 , , ,故 .
故答案为:BD.
【分析】设 ,直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式。即可得到答案。
10.【答案】C,D
【知识点】两角和与差的正切公式;二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解:对于A选项,因为 ,所以A不符合题意;
对于B选项,因为 ,所以B不符合题意;
对于C选项,因为 ,所以 ,
所以 ,所以C符合题意;
对于D选项,因为 ,所以D符合题意.
故答案为:CD.
【分析】根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.
11.【答案】B,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式
【解析】【解答】解:对于A,2sin15°cos15°=sin30 ;
对于B, ;
对于C,1﹣2sin215°=cos30 ;
对于D, .
∴值为 的是BCD.
故答案为:BCD.
【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.
12.【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;正弦函数的性质
【解析】【解答】解:已知函数 , ,
则 、 正确,
、当 , ,即 , , 在区间 上只有2个零点,
则 在区间 上只有1个零点错误,
、 的最小正周期为 ,正确
、当 时,函数 , ,
所以 为 图象的一条对称轴,正确.
故答案为:ACD.
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可.
13.【答案】;
【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式
【解析】【解答】由 ,
又 ,
得 ,


故答案为: ; .
【分析】利用诱导公式可求得 即可得出结果;利用诱导公式 ,再利用二倍角公式即可得出结果.
14.【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵角α的终边经过点P(1,-2),∴tanα=-2 tan2α= = 。
【分析】利用正切函数的定义结合二倍角的正切公式,从而求出 的值。
15.【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,两边平方,
可得 , ,
∴ .
故答案为: .
【分析】根据 得到 , 将已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系式可求 , 的值,然后利用二倍角公式化简求解.
16.【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式;余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ,
所以函数的最小正周期为 .
故答案为:π.
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式,再利用余弦型函数的周期公式,即可求得函数的最小正周期.
17.【答案】2或-1
【知识点】两角和与差的正切公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 或 ,
当 时,可得: , ,
当 时,可得 , ,
故答案为:2或-1
【分析】利用二倍角的余弦公式,结合同角的三角函数关系式、两角和的正切公式进行求解即可.
18.【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值;二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为 ,
所以 ,
故答案为: .
【分析】由 ,化简 ,即可得解.
19.【答案】(1)解:由
所以 .

(2)解:因为 , .
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)利用题意可知 ,结合两角和差正余弦公式可得 .(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.
20.【答案】(1)解:化简 得: ,又因为 ,且 为锐角,所以可得: .
且由 可得: .
(2)解:因为 ;
所以
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)化简已知条件得 ,再与 且 为锐角联立解方程可得: ,再通过诱导公式化简并代入 与 的值即可求得答案;(2)通过二倍角公式化简并代入 即可求得答案.
21.【答案】解:由题意知 ,得 .
(Ⅰ)由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
.
(Ⅱ)由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(Ⅰ)根据正切和角公式,展开化简可求得 的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为 ,即可求解.(Ⅱ)将原式变形为齐次式, ,即可变形求解.
22.【答案】(1)解:由题意有 ,
因为 ,所以 ,则 ,
又因为 ,所以
(2)解:因为 , ,所以 ,
所以 ,
所以
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)先化简函数并根据题意建立方程 ,再结合 ,求 的值;(2)先根据已知求出 ,再根据二倍角公式求 , ,最后代入求 .
23.【答案】(1)解:原式 ;
(2)解:原式
【知识点】弦切互化;两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式
【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简即可;(2)先切化弦,再利用两角差的正弦公式化简即可.
24.【答案】(1)解:由 ,
得 ;
(2)解:由α,β为锐角,得α+β∈(0,π),2α∈(0,π),
又∵ ,
∴ , ,
由 ,得 .
则 .
【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正切公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)根据同角三角函数基本关系式,转化为齐次式求值;(2)先根据二倍角正切公式得 ,再利用两角差的正切公式得结果.
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