高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象
一、选择题
1．函数 图象的一个对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于函数 的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是偶函数
C． 的图象关于直线 对称
D． 在每一个区间 内单调递增
4．函数 ，则（ ）
A．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
B．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
C．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
D．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
5．若 ，则 的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 在区间 内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．函数 的最小值为 ．
10．不等式 的解集是 ．
11．关于函数 ，有以下命题：
①函数 的定义域是 ；
②函数 是奇函数；
③函数 的图象关于点 对称；
④函数 的一个单调递增区间为 ．
其中，正确的命题序号是 ．
三、解答题
12．当 时， 的值总不大于零，求实数 的取值范围．
13．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） .
14．函数 图象的一个对称中心是 ，其中 ，试求函数 的单调区间．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 得 ．令 得 ， 故答案为：C．
【分析】利用正切函数的图象即可得出结果。
2．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 有意义时， ∴ ，解得 ． 故答案为：A
【分析】根据函数定义域的求法真数大于零结合正切函数的增减性即可得出结果。
3．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于函数 ，根据该函数的图象知，其最小正周期为 ，A符合题意；
又 ，所以 是定义域上的偶函数，B不符合题意；
由函数 的图象知， 的图象关于直线 对称，C不符合题意；
由 的图象知， 在每一个区间 内单调递增，D不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据题意结合正切函数的单调性逐一判断即可得出结果。
4．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于函数 ，因为 ，所以它的最小正周期为 ，当 时， ，函数 单调递增，
故答案为：D.
【分析】根据题意结合正切函数的周期性和单调性逐一判断得出结论即可。
5．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】在 这个周期内， 所对应的区间是 ，故在 上， 的解集为 . 故答案为：C
【分析】首先求解出tanx的值，再结合正切函数的单调性解出x的取值范围即可。
6．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ， ，所以A选项错误；
因为 ，所以 ，故B选项正确；
，正切函数 在 上单调递增，所以 ，C选项错误；
，tan（）=tan（）=tan（），正切函数 在 上单调递增，所以 ， D选项错误。
故答案为：B.
【分析】首先利用诱导公式整理转化各个角的正切值，使其都在同一个单调区间比较即可得出结果。
7．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ， ，∴ .
当 时， ， ，∴ ，结合图象， 故答案为：D.
【分析】根据角的取值范围去绝对值再结合正弦函数和正切函数的图象性质即可得出结论。
8．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ，∴ ；当 时， ，
∴ ，∴当 时，函数 的值域为 ． 故答案为：B
【分析】首先根据角的取值范围得到正切值的取值范围，再结合函数自身的特点求出结果即可。
9．【答案】1
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，由于 ，所以当 时，函数取最小值1.
【分析】整理原有的代数式转化为关于tanx的二次函数，结合二次函数在指定区间上的最值情况求出结果即可。
10．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ， ，解得 .
【分析】根据正切函数的单调性整理化简原有的不等式，再结合正切函数的单调性即可得出结论。
11．【答案】①③
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 应满足 ， ，即 ， ，故①正确；由于 ，故②错；将 代入 得到 ，故③正确；由 ， 知函数的单调增区间为 ， ，故④错.
【分析】结合正切函数的图象以及性质逐一判断即可得出结论。
12．【答案】解：∵ x∈[，] 时，-2x∈[-，0]
故tan（-2x）∈[-，0]，
则k+tan（-2x）∈[k-，k]，
若k+tan（-2x）的值总不大于0，
则k≤0
故k的取值范围为（-∞，0]
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】结合角的取值范围得出tan(2x ）的取值，根据代数式的几何意义结合正切函数的单调性即可求出k的最小值。
13．【答案】（1）解：要使函数 有意义，必须且只需
所以函数的定义域为
（2）解：因为 ，所以 ，当 时， ，
根据正切函数图象，得 ，所以函数的定义域是
（3）解：由 ，得 ，解得 ， .
故原函数的定义域为
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意结合函数定义域的求法分母不为零以及正切函数的定义域即可得出x的取值范围。(2)根据题意结合函数定义域的求法真数大于零再结合正切函数的单调性即可求出x的取值范围。(3)根据题意结合函数定义域的求法被开方数大于等于零结合正切函数的单调性即可求出x的取值范围。
14．【答案】解：由于函数 图象的对称中心为 ，其中 ，故令 ， ，当 时， . 由于 ，所以当 时， .故函数解析式为 .
由于正切函数 在区间 上为增函数．
则令 ， ，解得 ， ，
故函数的单调增区间为 ， ，无单调减区间
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】根据题意结合函数 y = tanx 图象的对称中心即可求出 φ的值，进而求出函数的解析式再结合正切函数的单调性即可求出其单调区间。
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一、选择题
1．函数 图象的一个对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 得 ．令 得 ， 故答案为：C．
【分析】利用正切函数的图象即可得出结果。
2．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 有意义时， ∴ ，解得 ． 故答案为：A
【分析】根据函数定义域的求法真数大于零结合正切函数的增减性即可得出结果。
3．关于函数 的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是偶函数
C． 的图象关于直线 对称
D． 在每一个区间 内单调递增
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于函数 ，根据该函数的图象知，其最小正周期为 ，A符合题意；
又 ，所以 是定义域上的偶函数，B不符合题意；
由函数 的图象知， 的图象关于直线 对称，C不符合题意；
由 的图象知， 在每一个区间 内单调递增，D不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据题意结合正切函数的单调性逐一判断即可得出结果。
4．函数 ，则（ ）
A．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
B．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
C．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
D．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于函数 ，因为 ，所以它的最小正周期为 ，当 时， ，函数 单调递增，
故答案为：D.
【分析】根据题意结合正切函数的周期性和单调性逐一判断得出结论即可。
5．若 ，则 的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】在 这个周期内， 所对应的区间是 ，故在 上， 的解集为 . 故答案为：C
【分析】首先求解出tanx的值，再结合正切函数的单调性解出x的取值范围即可。
6．下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ， ，所以A选项错误；
因为 ，所以 ，故B选项正确；
，正切函数 在 上单调递增，所以 ，C选项错误；
，tan（）=tan（）=tan（），正切函数 在 上单调递增，所以 ， D选项错误。
故答案为：B.
【分析】首先利用诱导公式整理转化各个角的正切值，使其都在同一个单调区间比较即可得出结果。
7．函数 在区间 内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ， ，∴ .
当 时， ， ，∴ ，结合图象， 故答案为：D.
【分析】根据角的取值范围去绝对值再结合正弦函数和正切函数的图象性质即可得出结论。
8．函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ，∴ ；当 时， ，
∴ ，∴当 时，函数 的值域为 ． 故答案为：B
【分析】首先根据角的取值范围得到正切值的取值范围，再结合函数自身的特点求出结果即可。
二、填空题
9．函数 的最小值为 ．
【答案】1
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，由于 ，所以当 时，函数取最小值1.
【分析】整理原有的代数式转化为关于tanx的二次函数，结合二次函数在指定区间上的最值情况求出结果即可。
10．不等式 的解集是 ．
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ， ，解得 .
【分析】根据正切函数的单调性整理化简原有的不等式，再结合正切函数的单调性即可得出结论。
11．关于函数 ，有以下命题：
①函数 的定义域是 ；
②函数 是奇函数；
③函数 的图象关于点 对称；
④函数 的一个单调递增区间为 ．
其中，正确的命题序号是 ．
【答案】①③
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 应满足 ， ，即 ， ，故①正确；由于 ，故②错；将 代入 得到 ，故③正确；由 ， 知函数的单调增区间为 ， ，故④错.
【分析】结合正切函数的图象以及性质逐一判断即可得出结论。
三、解答题
12．当 时， 的值总不大于零，求实数 的取值范围．
【答案】解：∵ x∈[，] 时，-2x∈[-，0]
故tan（-2x）∈[-，0]，
则k+tan（-2x）∈[k-，k]，
若k+tan（-2x）的值总不大于0，
则k≤0
故k的取值范围为（-∞，0]
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】结合角的取值范围得出tan(2x ）的取值，根据代数式的几何意义结合正切函数的单调性即可求出k的最小值。
13．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：要使函数 有意义，必须且只需
所以函数的定义域为
（2）解：因为 ，所以 ，当 时， ，
根据正切函数图象，得 ，所以函数的定义域是
（3）解：由 ，得 ，解得 ， .
故原函数的定义域为
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意结合函数定义域的求法分母不为零以及正切函数的定义域即可得出x的取值范围。(2)根据题意结合函数定义域的求法真数大于零再结合正切函数的单调性即可求出x的取值范围。(3)根据题意结合函数定义域的求法被开方数大于等于零结合正切函数的单调性即可求出x的取值范围。
14．函数 图象的一个对称中心是 ，其中 ，试求函数 的单调区间．
【答案】解：由于函数 图象的对称中心为 ，其中 ，故令 ， ，当 时， . 由于 ，所以当 时， .故函数解析式为 .
由于正切函数 在区间 上为增函数．
则令 ， ，解得 ， ，
故函数的单调增区间为 ， ，无单调减区间
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【分析】根据题意结合函数 y = tanx 图象的对称中心即可求出 φ的值，进而求出函数的解析式再结合正切函数的单调性即可求出其单调区间。
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