数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式课件（共22张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式课件（共22张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 693.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-16 08:47:23 | ||
图片预览
文档简介
(共22张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.3.3点到直线的距离公式
思考？
已知点P0(1，1)和直线l：x +y -4=0，如何求点P到直线 l 的距离？
x
o
P0
Q
l
y
点P到直线 l 的距离，是指从点P0到直线 l 的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足．
L
L1
Q
P(x0,y0)
L:Ax+By+C=0
已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？
过点P作直线L1⊥L于Q,
怎么能够得到线段PQ的长
利用两点间的距离公式求出|PQ|.
则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.
解题思路：
步 骤
(3)求出Q点的坐标；
(4)由两点间距离公式d=|PQ|.
反思：这种解法的优
缺点是什么？
分析思路一：直接法
预备知识：
对于直线 l: Ax+B y +C=0 (A≠0,B≠0)
方向向量和法向量
可表示为：
如果向量 与直线l垂直，
则称向量 为直线l的法向量.
如果向量 与直线l平行，
则称向量 为直线l的方向向量.
可表示为：
P1
P2
x
y
0
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =。
思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？
分析思路二：向量法
设 直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把, 两式相减，得 ，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量 就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，
我们取 ，从而= = 因为点在直线l上所以代入上式，得=
因此=
探究教材P76思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
x
y
O
面积法求出P0Q
求出点R 的坐标
求出点S 的坐标
利用勾股定理求出SR
用直角三角形的面积间接求法
R
S
d
求出P0R
求出P0S
分析3：面积法
x
y
P0 (x0,y0)
O
x0
y0
S
R
Q
d
独立完成推导过程
点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：
特别地，当A=0，B 0时， 直线By+C=0
特别地，当B=0，A 0时， 直线Ax+C=0
点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：
特别地，当A=0，B 0时， 直线By+C=0
特别地，当B=0，A 0时， 直线Ax+C=0
注： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,
应先化成一般式再用公式.
(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离
（1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
典例解析
例３．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
[0,10]
所以a的取值范围是[0,10].
例1： 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程.
即x+3y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
备选例题
(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
即x+3y-5=0.
注意（易错点）：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
备选例２.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5,0)到直线l的距离为3，则l的方程为________________.
解析 法一 两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，
此时A到直线l的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.
x＝2或4x－3y－5＝0
综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
小结
点到直线的距离公式的推导及其应用
点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：
课后作业
1.教材P77练习（书上）
2.教材P79习题2.3T6，11，13，14，17（作业本）
第二章 直线和圆的方程
2.3.3点到直线的距离公式
思考？
已知点P0(1，1)和直线l：x +y -4=0，如何求点P到直线 l 的距离？
x
o
P0
Q
l
y
点P到直线 l 的距离，是指从点P0到直线 l 的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足．
L
L1
Q
P(x0,y0)
L:Ax+By+C=0
已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？
过点P作直线L1⊥L于Q,
怎么能够得到线段PQ的长
利用两点间的距离公式求出|PQ|.
则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.
解题思路：
步 骤
(3)求出Q点的坐标；
(4)由两点间距离公式d=|PQ|.
反思：这种解法的优
缺点是什么？
分析思路一：直接法
预备知识：
对于直线 l: Ax+B y +C=0 (A≠0,B≠0)
方向向量和法向量
可表示为：
如果向量 与直线l垂直，
则称向量 为直线l的法向量.
如果向量 与直线l平行，
则称向量 为直线l的方向向量.
可表示为：
P1
P2
x
y
0
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =。
思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？
分析思路二：向量法
设 直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把, 两式相减，得 ，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量 就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，
我们取 ，从而= = 因为点在直线l上所以代入上式，得=
因此=
探究教材P76思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
x
y
O
面积法求出P0Q
求出点R 的坐标
求出点S 的坐标
利用勾股定理求出SR
用直角三角形的面积间接求法
R
S
d
求出P0R
求出P0S
分析3：面积法
x
y
P0 (x0,y0)
O
x0
y0
S
R
Q
d
独立完成推导过程
点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：
特别地，当A=0，B 0时， 直线By+C=0
特别地，当B=0，A 0时， 直线Ax+C=0
点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：
特别地，当A=0，B 0时， 直线By+C=0
特别地，当B=0，A 0时， 直线Ax+C=0
注： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,
应先化成一般式再用公式.
(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离
（1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
典例解析
例３．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
[0,10]
所以a的取值范围是[0,10].
例1： 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程.
即x+3y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
备选例题
(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
即x+3y-5=0.
注意（易错点）：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
备选例２.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5,0)到直线l的距离为3，则l的方程为________________.
解析 法一 两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，
此时A到直线l的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.
x＝2或4x－3y－5＝0
综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
小结
点到直线的距离公式的推导及其应用
点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：
课后作业
1.教材P77练习（书上）
2.教材P79习题2.3T6，11，13，14，17（作业本）