3.2.1函数的单调性（一）学案

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3.2.1函数的单调性（一）
班级 姓名
学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读课本内容，完成右边的内容. 1.增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内_______上的任意两个自变量，当_______, 都有_____________，那么就说函数在区间上是_____________.2.减函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内________上的任意两个自变量，当________, 都有_____________，那么就说函数在区间上是_____________.3.单调区间：如果函数在区间上 或 ，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的 。【即时训练1】已知函数的图象如图所示，则（ ）A.函数在区间上是减函数B.区间是函数的一个单调递增区间C.函数在区间上是减函数D.区间是函数的一个单调递增区间例1、根据定义，研究函数的单调性。小结： 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→定号→下结论.
利用定义法证明函数的单调性 变式1、用函数单调性的定义证明：f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．
利用定义法证明函数的单调性 变式2、证明函数在区间上单调递增。
课堂检测
1、函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. R D.不存在
2、函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．和 D．
3、在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4、函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
课后作业
一、基础训练题
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
A　　　　 　 B　　 　C　　　 　D
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3
3．设函数f(x)＝(1－2a)x＋b是R上的增函数，则有(　　)
A．a＜ B．a＞ C．a＜－ D．a＞－
4．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞,－2]时是减函数，x∈[－2,＋∞)时是增函数，则f(1)等于(　　)
A．－3 B．13 C．7 D．由m而定的常数
5．函数f(x)＝在R上是(　　)
A．减函数 B．增函数 C．先减后增 D．无单调性
6．(多选题)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
7．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是(　　)
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
8．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．
9．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是_______．
①y＝a＋f(x)(a为常数)； ②y＝a－f(x)(a为常数)； ③y＝；④y＝[f(x)]2.
10．用函数单调性的定义证明函数f(x)＝－x2＋2x在上的单调递增．
11．用函数单调性的定义证明函数在上是增函数.
综合训练题
12．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是单调递减的，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
13．(多选题)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)f(x2)
三、能力提升题
14．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
3.2.1函数的单调性（一）
参考答案
1、【答案】B　
【解析】由图可知，选项B是定义域上的增函数，选项ACD不具有单调性．故选B.]
2、【答案】B
【解析】画图可知，y＝x2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数．
3、【答案】A
【解析】由f(x)＝(1－2a)x＋b是R上的增函数，得1－2a＞0，即a＜.
4、【答案】B
【解析】由题意知＝－2，∴m＝－8 ∴f(x)＝2x2＋8x＋3 f(1)＝2＋8＋3＝13.
5、【答案】B
【解析】画出函数图形得出结果
6、【答案】ABD　
【解析】易知选项A，B，D在区间(0，＋∞)上是单调递增的，C是减函数，故选ABD.
7、【答案】C　
【解析】分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在
(－∞，1]上递增，选C.]
【答案】②③　
【解析】f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，均为递增函数，故选②③.
9、【答案】(0，＋∞)
【解析】由题意得m－1＜2m－1 ∴m＞0.
10、解析：用定义加以证明．
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1＜x2.
则f(x1)－f(x2)＝(－x＋2x1)－(－x＋2x2)
＝2(x1－x2)－(x1＋x2)(x1－x2)
＝(x1－x2)[2－(x1＋x2)]
∵x1＜x2＜1.∴x1－x2＜0，x1＋x1＜2. ∴2－(x1＋x2)＞0，
∴(x1－x2)[2－(x1＋x2)]＜0 即f(x1)－f(x2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增．
11、证明：设，而，
由，得，
即，所以函数在上是增函数.
12、【答案】B　
【解析】由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，
故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，
且对称轴为直线x＝－<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．
13、【答案】AB　
【解析】由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上单调递增，
则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；
对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，
所以无法判断f(x)的单调性，故C，D不正确．
14、解　在定义域内任取x1，x2，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
∵a>b>0，∴b－a<0，且x2－x1>0.
只有当x1当x10，则f(x1)>f(x2)．
∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
函数的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)．
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