第2章分式与分式方程 单元同步练习题（含解析） 鲁教版（五四制）八年级数学上册

2023-2024学年鲁教版（五四学制）八年级数学上册《第2章分式与分式方程》
单元同步练习题
一、单选题
1．在式子，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若分式的值为零，则x应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
3．如果分式中的x和y都同时缩小为原来的，那么分式的值（　　）
A．缩小到原来的 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的3倍
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
6．若分式和的值互为相反数，则的值为（ ）
A．3 B．7 C． D．
7．若解关于的分式方程时出现增根，则的值为（ ）．
A． B．2 C． D．4
8．郑州素有中国铁路心脏之称，是我国重要的交通枢纽！假期里小明和爸爸从郑州出发去某地旅游，已知两地相距约500 km，乘高铁比开小轿车少用2.7 h（假设两种出行方式的路程相同），高铁的平均速度是小轿车的2.5倍，设小轿车的平均速度是x km/h，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
10．化简的结果为 ．
11．若，则分式的值为 ．（填序号）
12．已知，则的值等于 ．
13．关于x的分式方程的解小于1，则a的取值范围是 ．
14．当 时，关于x的分式方程无解．
15．定义新运算：，若，则的值是 ．
16．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三、解答题
17．计算：
18．先化简再求值：，其中是的非负整数解．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．数学来源于生活，生活离不开数学．开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
(1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______；
(2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．
21．重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将北滨二路安全堤坝路段改建为滨江步道，一期工程共1100米，计划由甲施工队施工10天，乙施工队施工15天完成，已知甲施工队比乙施工队每天多修20米．
(1)求甲乙施工队平均每天各修多少米？
(2)因步道延长，二期工程还需修建2260米，甲施工队和乙施工队同时开工合作修建这条步道，直至完工．甲施工队按计划速度进行施工，乙施工队修建180米后，通过技术更新提高了工作效率．步道完工时，在二期工作中，乙施工队修建的长度比甲施工队修建的长度多20米．则乙施工队技术更新后每天修建多少米？
22．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
例如，．
解决问题：
(1)已知，则______；
(2)对于分式，
①按分离常数法可以拆分为______；
②若该分式值为整数，求所有满足条件的整数x的值；
(3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围______．
参考答案
1．解：根据分式的定义，在式子，，，，中，，，是分式，共3个，
故选：B．
2．解：由题意，得：且，
∴；
故选C．
3．解：分式中的x和y都同时缩小为原来的倍，即：
所以，原分式的值不变，故C符合题意；
故选：C．
4．解：
，
故选D．
5．解：根据题意可得：
右边
，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
故选：D．
6．解：由题意得：
解得：
经检验：是方程的解
故选：D
7．解：，
去分母，得：，
整理，得：．
∵解关于的分式方程时出现增根，
∴，
解得：．
故选C．
8．解：∵小轿车的平均速度是x km/h，
∴高铁的平均速度是x km/h
∵乘高铁比开小轿车少用2.7 h
∴
故选：A
9．解：分式有意义，则
解得，
故答案为：．
10．解：
故答案为：
11．解：，即，
∴，
将代入可得，
，
故答案为：．
12．解：∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：6．
13．解：两边都乘以，得，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵，
∴，解得：，
∵该分式方程的解小于1，
∴，解得：，
综上：a的取值范围是．
故答案为：．
14．解：分式方程去分母得：
，
当时，分母为零，原分式方程无解，故；
当时，原分式方程无解，故．
故答案为或．
15．解： ，
，即，
，
故答案为：．
16．解：，
解①得，；
解②得，，
∴不等式组的解集为；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴，
解得，；
，
解分式方程得， ；
∵方程的解为非负数，
∴，解得，；
综上，且，
∵a是整数，
∴的值为；
∴，
故答案为：1．
17．解：
．
18．解：原式
，
，
，
的非负整数解是、、，
，，
，，
，
原式．
19．（1）解：方程两边同时乘以，得
解得：，
检验：把代入，得，
∴原分式方程的解为．
（2）解：方程两边同时乘以，得
化简整理得
解得：，
检验：把代入，得，
∴是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
20．（1）解：∵糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，
∴在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为；
（2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜．
21．解：（1）设甲施工队每天修x米，乙施工队每天修米，由题意得，
，
解得，
经检验符合题意，
∴米．
所以甲施工队每天修56米，乙施工队每天修36米；
（2）设乙施工队技术更新后每天修建m米，
甲施工队修了米，乙施工队修了米，由题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，而且符合题意，
所以乙施工队技术更新后每天修建64米．
22．（1）解：∵，，
∴，
故答案为5；
（2）解：①，
故答案为；
②若值为整数，即为整数，亦即为整数，
故，，
∴可取0、1、3、4；
（3）解：．理由：
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即．